7.3 第2课时 平行线的性质 课件(共36张PPT) 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

(共36张PPT)
北师大版八年级数学上册
第七章 证明 7.3
第2课时 平行线的性质
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平行线判定的基本事实和定理分别是什么？
两条直线被第三条直线所截，则同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
这是由角的数量关系判定直线的位置关系.如果把平行线的判定定理的条件和结论互换，就可以得到平行线的性质定理，即两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.如何证明它们都是真命题？
活动一：证明“两直线平行，同位角相等”
根据“两直线平行，同位角相等”，能作出相关的图形吗？
能根据所作的图形写出已知、求证吗？
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1＝∠2.
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如何证明？
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2.如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M 存在两条直线AB和GH都与直线CD 平行.
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这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2.
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由此，我们证明了以下的性质定理.
定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
简述为：两直线平行，同位角相等.
几何语言：如图，∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).
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总结：
有时，直接证明很困难，就可以证明命题不成立，也就是假设结论不成立，推导出与已知条件、定理、基本事实相矛盾，那么假设不成立，原命题成立.
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活动二：证明“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”
利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行线”.类似地，能否利用“两直线平行，同位角相等”推理得到两直线平行，内错角之间的数量关系？
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已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵l1∥l2(已知)，
∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等).
又∵∠2＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2(等量代换).
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因此可以得到：
平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简单说成：两直线平行，内错角相等.
几何语言：如图，∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等).
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类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？ 如图，已知a∥b，那么∠2与∠4有什么关系？为什么？
∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等).
∵∠1＋∠4＝180°(补角的定义)，
∴∠2＋∠4＝180°(等量代换).
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由此得到平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单说成：两直线平行，同旁内角互补.
几何语言：如图，∵a∥b(已知)，
∴∠2＋∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补).
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活动三：解决问题
例1 如图，AB∥CD，直线AB，CD被直线AE所截.
(1)若∠1＝110°，则∠2＝______；
(2)若∠1＝110°，则∠3＝______；
(3)若∠1＝110°，则∠4＝______.
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110°
110°
70°
例2 已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠D.
求证：BD平分∠ABC.
证明：∵AD∥BC(已知)，
∴∠D＝∠DBC(两直线平行，内错角相等).
∵∠ABD＝∠D(已知)，
∴∠ABD＝∠DBC(等量代换).
∴BD平分∠ABC(角平分线的定义).
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例3 如图，直线b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角.
求证：b∥c.
证明：∵b∥a(已知)，
∴∠2＝∠1(两直线平行，同位角相等).
∴∠3＝∠1(两直线平行，同位角相等).
∴∠2＝∠3(等量代换).
∴b∥c(同位角相等，两直线平行).
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由此得到定理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
回顾前面的证明过程，总结完成一个命题的证明需要哪些主要环节.
证明一个命题的一般步骤：
(1)审，根据命题，找出命题的条件和结论.
(2)写，根据条件和结论写出已知和求证.
(3)证，从已知条件出发，根据基本事实、定义、等式性质等，演绎推理出结论.
(4)查，检查表达过程是否正确、完整.
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平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？
条件和结论互换.
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平行线的性质定理是已知两直线平行，得到角的关系；而判定定理是已知角的关系，得到两直线平行.
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1.如图，直线l1∥l2，∠1=62°，则∠2的度数为　　　　.
62°
课堂评价
2.(北师8上P193)请完成左边定理的证明：
已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.求证：∠1=∠2.
证明：∵a∥b(　　　　 )，
∴∠3=∠2( ).
∵∠1=∠3( )，
∴∠1=∠2( ).
已知
两直线平行，同位角相等
对顶角相等
等量代换
3.(北师8上P194)请完成左边定理的证明：
已知：如图，直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.求证：∠1+∠2=180°.
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠3=∠1(两直线平行，同位角相等).
∵∠2+∠3=180°(补角的定义)，
∴∠1+∠2=180°(等量代换).
4.如图，AB∥DC，在AD上取一点E，过点E作EF∥AB交BC于点F，试说明EF与DC的位置关系，并说明理由.
解：EF∥DC，理由如下：
∵AB∥DC，EF∥AB，
∴EF∥DC.
5.【例1】(北师8上P195改编)如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠C=40°，则∠D= .
100°
6.如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=35°，那么∠BED=
　　　　°.
70
7.(北师8上P196改编)如图，AB∥CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1=∠A.
(1)求证：FE∥OC；
证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠A=∠C，
∵∠1=∠A，
∴∠C=∠1，
∴FE∥OC.
(2)若∠BFE=110°，∠A=60°，
求∠B的度数.
解：由(1)知FE∥OC，∴∠BFE+∠DOC=180°.
∵∠BFE=110°，∴∠DOC=70°，∴∠AOB=∠DOC=70°，
∴∠B=180°-∠A-∠AOB=50°.
8.如图，在△ABC中，点D在BC边上，EF∥AD，分别交AB，BC于点
E，F，DG平分∠ADC，交AC于点G，∠1+∠2=180°.
(1)求证：DG∥AB；
证明：∵EF∥AD，
∴∠2+∠3=180°.
∵∠1+∠2=180°，∴∠1=∠3.∴DG∥AB.
(2)若∠B=32°，求∠ADC的度数.
解：∵DG平分∠ADC，∴∠ADC=2∠1=2∠4.
由(1)知DG∥AB，
∴∠4=∠B=32°，
∴∠ADC=2∠4=64°.
9.(北师8上P196)太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关.如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射出.如果∠BOP=45°，∠QOC=88°，那么∠ABO和∠DCO各是多少度？
解：∵AB∥PQ，∴∠ABO=∠BOP=45°.
∵CD∥PQ，∴∠DCO+∠QOC=180°，
∴∠DCO=180°-∠QOC
=180°-88°=92°.
★10.(模型观念)如图，AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上，直线EO，FO相交于直线AB，CD之间的一点O.
(1)过点O画直线MN，使MN∥CD；
解：（1）如图，MN即为所作.
答案图
(2)直线MN与AB平行吗？为什么？
（2）∵AB∥CD，MN∥CD，
∴MN∥AB.
(3)试判断∠BEO，∠DFO，∠EOF之间的关系，并说明理由.
（3）∠BEO+∠DFO=∠EOF.理由如下：
∵AB∥MN，
∴∠BEO=∠MOE，
∵MN∥CD，
∴∠DFO=∠FOM，
∴∠BEO+∠DFO=∠MOE+∠FOM，
即∠BEO+∠DFO=∠EOF.
1.本节课探究了平行线的哪些性质？
2.在探寻平行线的性质时，你经历了什么？ 这个过程中用到了哪些数学方法？ 积累了哪些活动经验？
课堂总结
基础性作业：教材习题7.3第6题.
提高性作业：教材习题7.3第7题.
拓展性作业：如图，已知∠A＝90°＋x°，∠B＝90°－x°，∠CED＝90°，4∠C－∠D＝30°，射线EF∥AC.求∠C，∠D的度数.
作业设计
感 谢 观 看