7.2 第2课时 证明 课件(共33张PPT) 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

(共33张PPT)
北师大版八年级数学上册
第七章 证明
7.2 第2课时 证明
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环节一：自主复习
1.对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定.也就是给出它们的______.
2.判断一件事情的句子，叫作______.一般地，每个命题都由______和______两部分组成.______是已知的事项，______是由已知事项推断出的事项.
定义
命题
条件
结论
条件
结论
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3.命题通常可以写成____________________的形式，其中，_____引出的部分是条件，_____引出的部分是结论.
4.______的命题称为真命题，______的命题称为假命题.一个例子具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为______.
如果……，那么……
如果
那么
正确
不正确
反例
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环节二：问题探究
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题？看看下面几位同学的讨论：
同学 A：用以前学过的观察、实验、验证特例等方法.
同学 B：这些方法往往不可靠.
同学 C：能不能根据已经知道的真命题证实？
同学 D：那已经知道的真命题又是如何证实的？
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要说明一个命题是正确的，无论验证多少个特例，也无法保证命题的正确性.
任务一：了解基本事实与定理的概念
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3 世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名为《原本》.为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆的创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据.
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在教材上找出定义.
1.原名：数学名词称为原名.
2.公理：公认的真命题称为公理！
3.证明：演绎推理的过程称为证明.
4.定理：经过证明的真命题称为定理.
总结：每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明.
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观察并理解：
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本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，已经认识了其中的八条，它们是哪些？
1.两点确定一条直线.
2.两点之间线段最短.
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行(简述为：同位角相等，两直线平行).
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5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
说明：数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.例如，如果a＝b，b＝c，那么a＝c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果a＞b，b＞c，那么a＞c，这一性质同样可以作为证明的依据.
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例1 下列命题不是基本事实的是 ( )
A.两点确定一条直线
B.两点之间线段最短
C.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
D.三边分别相等的两个三角形全等
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C
定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别与联系是什么？
联系：这四者都是命题.
区别：定义、基本事实、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实是最原始的依据；基本事实的真实性是通过长期实践被证实的，不需要推理证明，而定理需要经过证明.命题不一定是真命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据.
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任务二：认识定理的证明
从上面这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了.例如，可以证明下面的定理.
定理1.同角(或等角)的补角相等.
定理2.同角(或等角)的余角相等.
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证明：同角的补角相等.
已知：∠1和∠2都是∠3的补角.求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠1和∠2都是∠3的补角(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(补角的定义)，
即∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠3(等式的性质).
∴∠1＝∠2(等量代换).
∴同角的补角相等.
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证明：等角的补角相等.
已知：∠1是∠3的补角，∠2是∠4的补角，且∠3＝∠4.
求证：∠1＝∠2.
证明：∵∠1是∠3的补角，∠2是∠4的补角(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°(补角的定义)，
即∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠4，(等式的性质).
又∵∠3＝∠4(已知)，
∴∠1＝∠2(等量代换).∴等角的补角相等.
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证明：同角的余角相等.
已知：∠2和∠3是∠1的余角.求证：∠2＝∠3.
证明：∵∠2和∠3是∠1的余角，
∴∠2＝90°－∠1，∠3＝90°－∠1.
∴∠2＝∠3(等量代换).
∴同角的余角相等.
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证明：等角的余角相等.
已知：∠1＝∠2，∠3和∠4分别是∠1和∠2的余角.求证：∠3＝∠4.
证明：∵∠3和∠4分别是∠1和∠2的余角，
∴∠3＝90°－∠1，∠4＝90°－∠2.
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠3＝∠4(等量代换).
∴等角的余角相等.
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证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义).
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD的补角(补角的定义).
∴∠AOC＝∠BOD(同角的补角相等).
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为了使解答更为规范和有条理，能总结证明一个命题的一般步骤吗？
(1)根据条件，必要时画出图形，并在图形上标出有关字母与符号.
(2)结合图形，写出已知、求证.
(3)分析因果关系，找出由已知推出结论的途径
(4)有条理地写出证明过程(每一步推理要有依据).
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总结：由上面的例题，可以得到定理“对顶角相等”.
1.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，AB和CD相交于点O，∠A=∠B，求证：∠C=∠D.
证明：∵∠A=∠B，
∴AC∥BD( ).
∴∠C=∠D( ).
符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”
内错角相等，两直线平行　
两直线平行，内错角相等
课堂评价
2.(北师8上P189)证明定理：同角的补角相等.
已知：∠1+∠2=∠1+∠3=180°.
求证：　 　　　.
∠2=∠3
证明：∵∠1+∠2=∠1+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，
∴∠2=∠3.
3.(北师8上P189)证明命题“同角的余角相等”是真命题.
已知：∠A+∠B=90°，　　　　+∠C=90°.
求证：　　　　　　　.
∠A
∠B=∠C
(答案不唯一)
证明：∵∠A+∠B=90°，∠A+∠C=90°，
∴∠B=90°-∠A，∠C=90°-∠A，
∴∠B=∠C.
4.【例2】下列说法正确的是( 　)
A.命题一定是正确的
B.不正确的判断就不是命题
C.定理都是真命题
D.基本事实不一定是真命题
C
5.下面关于公理和定理的联系的说法，不正确的是( 　)
A.公理和定理都是真命题
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理的正确性是人们公认的，定理的正确性需证明
B
6.(北师8上P187)请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明.
已知：如图，△ABC.
求证：　　　　　　　　， ， 　　　　　　　　.
AB+AC>BC
AB+BC>AC
AC+BC>AB
证明：由图可知，点A在线段BC外，
根据两点之间线段最短可得AB+AC>BC，
同理AB+BC>AC，AC+BC>AB.
7.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a=b+2，b=c+1，求证：b>3.
证明：∵a=b+2，b=c+1，
∴b=a-2，b=c+1，
∴a-2=c+1，∴a-c=3，
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴b>a-c，∴b>3.
8.如图，∠ACD是∠ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为条件，另一个作为结论，得出一个真命题.
①CE∥AB；②∠A=∠B；③CE平分∠ACD.
(1)由上述条件可得哪几种真命题？请按“ ”的形式一一书写出来；
解：（1）有3种真命题，分别是：
命题1：①② ③；命题2：①③ ②；命题3：②③ ①.
(2)请根据(1)中的真命题，选择一个进行证明.
（2）选择命题2：①③ ②.
证明：∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A，∠DCE=∠B.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE.
∴∠A=∠B.
★9.(推理能力)如图，已知点A，B，C在同一条直线上.
(1)请从三个论断：①AD∥BE；②∠1=∠2；③∠A=∠E，选两个作为条
件，另一个作为结论构成一个真命题：
条件：　 　　　，结论：　 　　　；(填序号)
(2)证明你所构建的是真命题.
①②
③
（2）证明：∵AD∥BE，∴∠A=∠EBC，
∵∠1=∠2，∴DE∥BC，
∴∠E=∠EBC，∴∠A=∠E.
通过本节课的学习，你有哪些收获？
课堂总结
基础性作业：教材随堂练习第1题.
提高性作业：教材习题7.2第4，5题.
作业设计
感 谢 观 看