7.1 为什么要证明 课件(共27张PPT) 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

(共27张PPT)
北师大版八年级数学上册
第七章 证明
7.1 为什么要证明
在生活中，经常会根据一些现象得出一些结论.比如，连续多日清晨有雾之后是晴天，由此归纳出清晨有雾可能预示当日晴天；看到向日葵、牵牛花等多种植物向着阳光生长，由此归纳出多数植物具有向光性……这些结论好像都是自然的、正确的.
但是，数学中的结论能仅仅通过观察、归纳就确定吗？
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任务：体会证明的必要性
探究活动1：图1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？先观察，再设法检验观察到的结论.
图1中两条线段a，b的长度相等；
图2中的四边形是正方形.检验方式合理即可(测量、估算等).
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探究活动2：如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与感觉是否一致.
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约定：画出示意图如图，地球赤道与铁丝围成的圆是同心圆(π取3.14，精确到百分位).
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设地球的半径为R m，铁丝与地球赤道之间的间隙为x m，
根据题意得2π(x＋R)－2πR＝1，
解得 ，即x≈0.16.
所以铁丝与地球赤道之间的间隙为16 cm，
所以铁丝与地球赤道之间的间隙能放进一个拳头.
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探究活动3：对于自然数n，代数式n2－n＋11的值是质数吗？取n＝0，1，2，3，4，5试一试，能否由此得到结论“对于所有自然数n，n2－n＋11的值都是质数”？把计算的结果填在下表中.
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当n＝0时，代数式n2－n＋11＝02－0＋11＝11，11是质数；
当n＝1时，代数式n2－n＋11＝12－1＋11＝11，11是质数；
当n＝2时，代数式n2－n＋11＝22－2＋11＝13，13是质数；
当n＝3时，代数式n2－n＋11＝32－3＋11＝17，17是质数；
当n＝4时，代数式n2－n＋11＝42－4＋11＝23，23是质数；
当n＝5时，代数式n2－n＋11＝52－5＋11＝31，31是质数.
由此得到结论，对于n＝0，1，2，3，4，5时，n2－n＋11的值都是质数.
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而对于所有自然数n，式子的值不一定是质数，
如当n＝11时，n2－n＋11＝121，121不是质数.
故当n＝0，1，2，3，4，5时，代数式n2－n＋11的值都是质数；对于所有的自然数n，代数式n2－n＋11的值不一定是质数.
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探究活动4：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请先猜一猜，再设法检验猜想.能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
猜想：
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观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段.通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？ 在上面的问题中，怎样判断一个结论是否正确的？
观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明.
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课堂评价
1.(1)图(1)中有三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证一下.
线段b.
(2)图(2)中两条线段a与b的长度相等吗？
相等.
课堂评价
2.当n为正整数时,n2＋3n＋1的值一定是质数吗？
答案 n2＋3n＋1的值不一定是质数，理由如下：
因为n为正整数，所以当n＝1时，原式＝12＋3×1＋1＝5，是质数；
当n＝2时，原式＝22＋3×2＋1＝11，是质数；当n＝3时，原式＝32＋3×3＋1＝19，是质数；当n＝4时，原式＝42＋3×4＋1＝29，是质数；当n＝5时，原式＝52＋3×5＋1＝41，是质数；当n＝6时，原式＝62＋3×6＋1＝55，不是质数.
因此,当n为正整数时，n2＋3n＋1的值不一定是质数.
3.(北师8上P181)图中的线段a和b哪一条长？请与同伴交流，并用直尺检验你的结论.
解：图1，图3中的线段a与b一样长，图2中的线段a比b长.
4.(北师8上P181改编)当n=1，2，3，4时，代数式n2-n+5的值都是质数，那么当n为正整数时，代数式n2-n+5的值一定都是质数吗？
解：当n为正整数时，代数式n2-n+5的值不一定都是质数，如当n=5时，n2-n+5=25=52，它是合数.
5.下列说法正确的是( 　)
A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C.对于自然数n，n2+n+37一定是质数
D.有10个苹果，将它们放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
D
6.若要说明“若|a|=|b|，则a=b”是错误的，下列所举的例子正确的是( 　)
A.a=2，b=1 B.a=2，b=2
C.a=2，b=-2 D.a=-2，b=-2
C
7.若a2=b2，则a=b，请举出一个反例，说明该说法是错误的：
.
(-2)2=22，但-2≠2(答案不唯一)
8.(1)甲、乙、丙、丁四位同学在操场上踢足球，不小心打碎了玻璃窗，有人问他们时，他们这样说——甲说：“玻璃是丙也可能是丁打的.”乙说：
“肯定是丁打的.”丙说：“我没有打碎玻璃.”丁说：“我没有干这种事.”他们的老师听了后说道：“他们中有三位没有说谎”.由此我们知道，打碎玻璃的同学是( 　)
A.甲　 B.乙　 C.丙　 D.丁
D
(2)下面结论推理合理的是( 　)
A.今天是晴天，明天必然还是晴天
B.三个连续正整数的积一定能被6整除
C.小明的运气一向很好，因而他买彩票一定会中大奖
D.两个三角形有两条边和一个角对应相等，这两个三角形肯定全等
B
9.某公园计划砌一个如图甲所示的喷水池，有人改为图乙的形状，若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，你认为砌水池边沿( 　)
A.甲需要的材料多　　　
B.乙需要的材料多
C.甲、乙需要的材料一样多　　　　
D.不确定
C
10.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，现将数位上的数字对调得新两位数，那么原两位数与新两位数的和能被11整除吗？请说明理由.
解：根据题意得(10y+x)+(10x+y)
=10y+x+10x+y
=11(x+y)，
则原两位数与新两位数的和能被11整除.
★11.(推理能力)(北师8上P182改编)观察下列各式的规律：
32-12=4×2；
42-22=4×3；
52-32=4×4.
(1)猜想：(n+2)2-n2=　　　　　　　；
(2)你能应用数学方法验证上述结论吗？
4(n+1)
解：(2)(n+2)2-n2=n2+4n+4-n2=4n+4=4(n+1).
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 还有什么疑惑吗？ 与同伴交流.
课堂总结
基础性作业：教材习题7.1第1~3题.
提高性作业：教材习题7.1第4题.
作业设计
感 谢 观 看