13.2 第3课时 三角形内角和定理及其推论 课件(共23张PPT) 2025-2026学年沪科版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 13.2 第3课时 三角形内角和定理及其推论 课件(共23张PPT) 2025-2026学年沪科版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 419.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-04 17:46:59 | ||
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文档简介
(共23张PPT)
沪科版八年级数学上册
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理及其推论
导入新课
如图所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC＝140°才合格，小明通过测量得到∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，爸爸让小亮解释原因，小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？
点拨：作辅助线，并利用三角形的内角和进行推理说明.
导入新课
理由：如图延长CD交AB于点E.
∵∠A＝90°，∠C＝40°
∴∠AEC＝180°－∠A－∠C＝180°－90°
－40°＝50°
∴∠BED＝180°－50°＝130°
∵∠B＝19°
∴∠BDE＝180°－∠B－∠BED＝180°－19°－130°＝31°
∴∠BDC＝180°－∠BDE＝180°－31°＝149°
与要求的∠BDC＝140°不符，所以该零件不合格.
E
高效课堂
环节一：三角形内角和定理的证明
在证明命题时，要分清命题的条件和结论.如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形；再结合图形，写出已知、求证；然后，分析题意，找出证明途径；最后有条理地写出证明过程.
证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.
提示：先把这个问题转换成数学语言，明确已知的是什么，要证的是什么，可以利用平行线转化角的方法进行说明.
高效课堂
已知：如图，△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明 如图，延长BC到点D，以点C为顶点、CD为一边作∠2＝∠B，则CE//BA.(同位角相等，两直线平行)
∴∠A＝∠1.(两直线平行，内错角相等)
∵点B，C，D在同一条直线上，(所作)
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(平角的定义)
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(等量代换)
高效课堂
在上面的证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线(如CD，CE)叫作辅助线.辅助线通常画成虚线.
几种常见的验证方法的辅助线作法：
三角形的内角和定理的证明方法很多，其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题.
环节二：三角形内角和定理的推论
问题1：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B有什么关系？为什么？
高效课堂
∠A与∠B互余.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
（三角形的内角和等于180）.
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，
即∠A与∠B互余.
高效课堂
问题2：直角三角形的两个锐角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
两个角互余的三角形是直角三角形
如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
(三角形的内角和等于180)
推论1：直角三角形的两锐角互余.
高效课堂
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°.(等式性质)
∴△ABC是直角三角形.(直角三角形的定义)
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
在前面证明三角形内角和定理时，曾经如右图那样把△ABC的一边BC延长至点D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
高效课堂
问题3：(1)三角形的外角与其相邻的内角有什么关系？
(2)三角形的外角与其不相邻的两个内角有什么关系？
解：如图.∵∠ACD(外角)＋∠ACB(相邻的内角)＝180°，
∴ACD＝180°－∠ACB.
又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＋∠BAC＝180°－∠ACB.
∴∠ACD＝∠ABC＋∠BAC.
高效课堂
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
高效课堂
例 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°.
证明 ∵∠1＝∠ABC＋∠ACB，
∠2＝∠BAC＋∠ACB，
∠3＝∠BAC＋∠ABC.
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1＋∠2＋∠3＝2(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，(三角形内角和定理)
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
高效课堂
总结：与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.三角形的外角和为360°.
课堂评价
1.如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是( )
A.120° B.90° C.100° D.30°
C
课堂评价
2.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，如果∠BAC是钝角，(1)中的结论是否还成立.
(1)∠1＝∠2.
理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴△ABD和△ACE都是直角三角形.
∴∠1＋∠A＝90°，∠2＋∠A＝90°.
∴∠1＝∠2.
课堂评价
(2)(1)中的结论仍然成立.
理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠2＋∠BAD＝90°，∠1＋∠CAE＝90°.
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠1＝∠2.
课堂评价
3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数；
(2)猜想∠BAC，∠B，∠E之间存在的等量关系，并给出证明.
课堂评价
(1)∵∠B＝42°，∠E＝26°，
∴∠ECD＝∠B＋∠E＝42°＋26°＝68°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝68°，
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝68°＋26°＝94°.
课堂评价
(2)∠BAC＝∠B＋2∠E.
证明如下：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD.
又∵∠ECD＝∠B＋∠E，
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E
＝∠B＋2∠E，
即∠BAC＝∠B＋2∠E.
课堂总结
1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2.学习了本节课你有何感想，请畅所欲言.
总结：在应用外角性质时，要注意“三角形的外角”和“与它不相邻的两个内角”等字眼. 三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是解决三角形中有关角度计算和推理问题的最基本的理论依据，最基本的方法是列方程.
作业设计
基础性作业：教材推论2后面的练习第1，2题；
教材例5后面的练习第1，2题.
拓展性作业：以“三角形内角和定理的证明”为题写一篇小报告，
总结并归纳证明此定理的多种方法.
感 谢 观 看
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第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理及其推论
导入新课
如图所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC＝140°才合格，小明通过测量得到∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，爸爸让小亮解释原因，小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？
点拨：作辅助线，并利用三角形的内角和进行推理说明.
导入新课
理由：如图延长CD交AB于点E.
∵∠A＝90°，∠C＝40°
∴∠AEC＝180°－∠A－∠C＝180°－90°
－40°＝50°
∴∠BED＝180°－50°＝130°
∵∠B＝19°
∴∠BDE＝180°－∠B－∠BED＝180°－19°－130°＝31°
∴∠BDC＝180°－∠BDE＝180°－31°＝149°
与要求的∠BDC＝140°不符，所以该零件不合格.
E
高效课堂
环节一：三角形内角和定理的证明
在证明命题时，要分清命题的条件和结论.如果问题与图形有关，首先，根据条件画出图形；再结合图形，写出已知、求证；然后，分析题意，找出证明途径；最后有条理地写出证明过程.
证明“三角形的内角和等于180°”这个结论.
提示：先把这个问题转换成数学语言，明确已知的是什么，要证的是什么，可以利用平行线转化角的方法进行说明.
高效课堂
已知：如图，△ABC.
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明 如图，延长BC到点D，以点C为顶点、CD为一边作∠2＝∠B，则CE//BA.(同位角相等，两直线平行)
∴∠A＝∠1.(两直线平行，内错角相等)
∵点B，C，D在同一条直线上，(所作)
∴∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(平角的定义)
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ACB＝180°.(等量代换)
高效课堂
在上面的证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线(如CD，CE)叫作辅助线.辅助线通常画成虚线.
几种常见的验证方法的辅助线作法：
三角形的内角和定理的证明方法很多，其根本思路都是设法将问题转化为“平角”或“两直线平行，同旁内角互补”来解题.
环节二：三角形内角和定理的推论
问题1：如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B有什么关系？为什么？
高效课堂
∠A与∠B互余.
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
（三角形的内角和等于180）.
∴∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，
即∠A与∠B互余.
高效课堂
问题2：直角三角形的两个锐角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
两个角互余的三角形是直角三角形
如图，在△ABC中，∠A＋∠B＝90°.
求证：△ABC是直角三角形
证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
(三角形的内角和等于180)
推论1：直角三角形的两锐角互余.
高效课堂
∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°.(等式性质)
∴△ABC是直角三角形.(直角三角形的定义)
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
在前面证明三角形内角和定理时，曾经如右图那样把△ABC的一边BC延长至点D，得到∠ACD. 像这样，由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
高效课堂
问题3：(1)三角形的外角与其相邻的内角有什么关系？
(2)三角形的外角与其不相邻的两个内角有什么关系？
解：如图.∵∠ACD(外角)＋∠ACB(相邻的内角)＝180°，
∴ACD＝180°－∠ACB.
又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，
∴∠ABC＋∠BAC＝180°－∠ACB.
∴∠ACD＝∠ABC＋∠BAC.
高效课堂
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
高效课堂
例 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1＋∠2＋∠3＝360°.
证明 ∵∠1＝∠ABC＋∠ACB，
∠2＝∠BAC＋∠ACB，
∠3＝∠BAC＋∠ABC.
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1＋∠2＋∠3＝2(∠ABC＋∠ACB＋∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，(三角形内角和定理)
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°.
高效课堂
总结：与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.三角形的外角和为360°.
课堂评价
1.如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是( )
A.120° B.90° C.100° D.30°
C
课堂评价
2.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，如果∠BAC是钝角，(1)中的结论是否还成立.
(1)∠1＝∠2.
理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴△ABD和△ACE都是直角三角形.
∴∠1＋∠A＝90°，∠2＋∠A＝90°.
∴∠1＝∠2.
课堂评价
(2)(1)中的结论仍然成立.
理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠2＋∠BAD＝90°，∠1＋∠CAE＝90°.
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠1＝∠2.
课堂评价
3.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数；
(2)猜想∠BAC，∠B，∠E之间存在的等量关系，并给出证明.
课堂评价
(1)∵∠B＝42°，∠E＝26°，
∴∠ECD＝∠B＋∠E＝42°＋26°＝68°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝68°，
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝68°＋26°＝94°.
课堂评价
(2)∠BAC＝∠B＋2∠E.
证明如下：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD.
又∵∠ECD＝∠B＋∠E，
∴∠BAC＝∠ACE＋∠E＝∠ECD＋∠E＝∠B＋∠E＋∠E
＝∠B＋2∠E，
即∠BAC＝∠B＋2∠E.
课堂总结
1.通过本节课的学习，你学到了哪些内容？
2.学习了本节课你有何感想，请畅所欲言.
总结：在应用外角性质时，要注意“三角形的外角”和“与它不相邻的两个内角”等字眼. 三角形的内角和定理和三角形的外角的性质是解决三角形中有关角度计算和推理问题的最基本的理论依据，最基本的方法是列方程.
作业设计
基础性作业：教材推论2后面的练习第1，2题；
教材例5后面的练习第1，2题.
拓展性作业：以“三角形内角和定理的证明”为题写一篇小报告，
总结并归纳证明此定理的多种方法.
感 谢 观 看