1.1.3集合的交与并 教学设计——2025-2026学年高中必修 第一册《数学》湘教版(新)

《1.1.3集合的交与并》教学设计
【教学目标】
1.能理解两个集合交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集，弄清“且”“或”的含义．
2.能用韦恩图表示集合间的运算，体会直观图对理解抽象概念的作用．
3.通过使用符号表示，集合表示，图形表示集合间的关系与运算，引导学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义．
【教学重点】
交集、并集运算的含义，利用韦恩图与数轴进行交并的运算．
【教学难点】
弄清楚交集、并集运算的含义，认识符号之间的区别与联系
【教学方法】
教师启发讲授，学生探究学习
【教学手段】
计算机、投影仪．
【核心素养】
数学抽象，直观想象，逻辑推理．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
某电子技术服务公式在报纸上刊登广告招聘工作人员，对应聘人员的要求是：
*高中或高中以上学历；
*中文打字速度达80字/min．
引导学生引导学生阅读材料，捕捉材料中信息，启发学生思考，并用数学语言表述．
问题：阅读招聘要求，能得到什么信息．
预案1）满足第一个条件的人员组成一个集合；
2) 满足第二个条件的人员组成另一个集合；
3）应聘人员是两个集合的公共元素，即既属于第一个集合，又属于第二个集合．
4）应聘人员符合集合的基本属性，即应聘人员组成一个新的集合．
思考：再来观察下列各组的三个集合，你能发现它们之间的关系吗？
（1）A={1,3,5,7,9}，B={3,4}，C={3}；
（2）A={等腰三角形}，B={直角三角形}，C={等腰直角三角形}.
预案：不难发现，上面两组集合中均有C A，C B，并且集合C是由既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合.
归纳：以上这些问题，实际上就是找两个集合公共元素组成的集合．
二、归纳探索，形成概念
（一）两个集合的交
通过以上的例子，我们可以由两个已知的集合，按照某种指定的法则：求两个集合的公共元素，得到一个新的集合，这就是两个集合的一种运算，得到的这个新集合叫作两个集合的交．
问题1：你能用准确的语言定义两个集合的交吗？
学生回答，教师或学生根据回答补充或修正，完善后，得到交集的定义．
（1）板书定义：
一般地，把所有既属于A又属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”，即A∩B={x│x∈A且x∈B}。
（2）加深对概念的理解
问题2：“且”的含义是什么？
〖设计意图〗让学生理解“且”的数学含义．
问题3：通过两个集合、的交集的定义，你能得到哪些结论？
预案（1）两个集合的交集还是一个集合，不是元素．
（2）两个集合的交集的性质：
①
②
③
④
⑤，
教师要求学生对发现的性质做合理的解释．
〖设计意图〗让学生加深对交集概念的理解．
（3）用韦恩图表示两个集合的交集
问题4：两个集合用韦恩图如何表示？如何用韦恩图表示两个集合的交集．
预案：两个集合用韦恩图表示有5种情形，学生回答不全，可以通过其他学生补充完善．
不失一般性，上图是交集的韦恩图，阴影部分表示两个集合的交集．
〖设计意图〗体会直观图对理解抽象概念的作用．
数学里常常用到交集，例如，把直线看成点的集合，两直线的交点就是它们交集的元素；一元一次不等式组的解集就是两个（或多个）一元一次不等式的解集的交集.
（4）例题讲解
例1：求下列每对集合的交集：
　　(1)A={2，3，5，7，11}，B={9，10，8，6，1，4}；
　　(2)C={x|x2－4x+3=0}，D={x|3x－x2=0}．
　　解　(1)A∩B=；
　　　　(2)C∩D={1，3}∩{3，0}={3}．
例2：设方程的全体解组成集合U，方程的全体解组成集合V，求．
解　是两个方程联立而成的方程组的解集，
解方程组可得
用符号来表示就是：
，，
通过例题，强调以下几点：
（1）两个集合中的交集的元素是两个集合的共有元素；
（2）两个集合的交集还是一个集合，最后的结果必须写出集合形式．
〖设计意图〗通过例题，再次加深学生对交集概念的理解．
（二）两个集合的并
观察下列各组的三个集合，你能发现它们之间的关系吗？
（1）A={有理数}，B={无理数}，C={实数}；
（2）A={直角三角形}，B={锐角三角形，钝角三角形}，C={三角形}.
不难发现，上面两组集合中均有A C，B C，并且集合C是由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合.
问题1：你能类比两个集合的交集的定义，得到两个集合的并集的定义吗？
（1）板书定义：
一般地，把所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”，即
A∪B={x│x∈A或x∈B}。
所谓，也就是把集合、中的元素放在一起组成的集合．
教师提醒学生注意符号符号和的区别．
（2）加深对概念的理解
问题2：“或”的含义是什么？
预案（1）：这里的“或”有三个意义，属于不属于；属于不属于；即属于又属于，即属于．
（2）根据集合的属性，既属于又属于的元素，在中只算一个元素．
〖设计意图〗让学生理解“或”的数学含义．
问题3：通过两个集合、的并集的定义，你能得到哪些结论？
预案（1）两个集合的并集还是一个集合，不是元素．
（2）两个集合的并集的性质：
①
②
③
④（U是全集）
⑤，
教师要求学生对发现的性质做合理的解释．
〖设计意图〗让学生加深对并集概念的理解．
（3）用韦恩图表示两个集合的并集
问题4：如何用韦恩图表示两个集合的并集．
前面已经给过两个集合用韦恩图表示的5种情形，
不失一般性，上图是并集的韦恩图，阴影部分表示两个集合的并集．
〖设计意图〗体会直观图对理解抽象概念的作用．
（4）例题讲解
例3：设A={0，1，4，9，16}，B= {9，4，，，1}，求A∪B．
解　A∪B ={0，1，4，9，16}∪{9，4，，，1} ，
={0，1，4，9，16，，}．
例4：求下列集合的并集：
　　(1) A=(1，3)，B=［2，5］； (2) C=［0，1］，D={x|x2<1}．
　　解　(1)A∪B=(1，3)∪［2，5］=(1，5］；
(2)C∪D =［0，1］∪{x|x2<1}
=［0，1］∪(－1，1)
　　　　　　　 =(－1，1］．
通过例题，强调以下几点：
（1）两个集合中的并集的元素是两个集合的共有元素；
（2）即属于又属于的元素，在中只算一个元素．
（3）两个集合的交集还是一个集合，最后的结果必须写出集合形式．
（4）两个连续数集的交并运算，可以利用数轴，运用数形结合思想求解．
〖设计意图〗通过例题，再次加深学生对交集概念的理解．让学生体会数形结合思想的作用．
问题5：分别求出方程x2－9=0和x2－3x+2=0的解集，由此你能运用并集的知识求出方程(x2－9)(x2－3x+2)=0的解集吗？
预案：我们可以求得方程x2－9=0的解集为A={3,-3}，方程x2－3x+2=0的解集为B={1,2}，由初中知识可知，若(x2－9)(x2－3x+2)=0，则x2－9=0或x2－3x+2=0.于是A∪B={3，-3，1，2}是方程(x2－9)(x2－3x+2)=0的解集.
问题6：交集和联立方程组的解集有关，并集和方程的解集有什么关系呢？
预案：对于右端为零的方程，如果能将其左端分解成几个因式的乘积，就能使求解的问题简化．这是数学中常常把方程化成一端为零的形式的原因．
三、掌握证法，适当延展
前面已经得到交集和并集的与子集有关的性质，，，那么，子集与集合的交并还有哪些结论呢？
问题1：如果，则，分别等于什么？你能严格证明吗？
预案：（1）学生通过前面的韦恩图1.1-4，1.1-5，容易得到如果，；
（2）严格证明时，需要注意分类讨论，即需要分是空集和不是空集两类．
问题2：如果，能得到什么结论？如果，又能得到什么结论？你能严格证明吗？
预案：（1）如果，又，所以；
（2）如果，又，所以；
综合以上两个问题，即有以下重要结论：
；
例5：设，若，求实数的值．
解：因为，所以，
所以或，
当时，，
其中时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去．
其中时，，，符合题意．
当时，，此时，与集合元素的互异性矛盾，舍去．
综上，的值是．
四、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1.小结
（1）交集、并集两种运算有何区别？
（2）通过本节课的学习，你对集合这种语言有什么感受？
（3） 数学思想方法和思维方法：数形结合，分类讨论，类比等．
2.作业
课后探究：
50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测试成绩分别合格40人和31人，两项均不合格的有4人，两项测试都及格的人数是 ．
答案；25
本题可以利用韦恩图求解，也可以使用如下的结论：
用表示集合的元素个数，则：
。