14.2 第5课时 两个直角三角形全等的判定 课件(共25张PPT) 2025-2026学年沪科版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 14.2 第5课时 两个直角三角形全等的判定 课件(共25张PPT) 2025-2026学年沪科版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 553.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-04 17:44:40 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
沪科版八年级数学上册
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第5课时 两个直角三角形全等的判定
(1)判定两个三角形全等，除定义外还学习了哪些方法？
(2)对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
(3)在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，∠C=∠F，△ABC与△DEF全等吗？如果相等的角为直角？
导入新课
两直角边分别相等的两直角三角形全等(SAS)；一锐角和一边分别相等的两直角三角形全等(ASA或AAS)，三边分别相等的两直角三角形全等(SSS).
满足条件SSA的两个三角形不一定全等，那么当这个相等的角为直角时，即一直角和斜边分别相等的两个直角三角形全等吗？
导入新课
高效课堂
任务一：探究直角三角形全等的判定方法（HL）
(1)如图1，Rt△ABC，其中∠C为直角.求作：Rt△A'B'C'，使∠C'为直角，A'C'=AC，A'B'=AB.
图1
作法：
①如图2，作∠MC'N=∠C=90°；
②在C'M上截取C'A'=CA；
③以点A'为圆心、AB长为半径画弧，交C'N于点B'；
④连接A'B'.
则Rt△A'B'C'就是所求作的直角三角形.
图2
高效课堂
(2)把画好的 Rt△A'B'C'剪下来，放到 Rt△ABC上，它们能重合吗？这一结果说明什么？能用文字表述吗？
两个直角三角形重合.
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
高效课堂
几何语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵ AB=DE，
AC=DF，(或BC=EF)
∴Rt△ABC≌Rt△DEF.
高效课堂
(1)HL定理仅适用于直角三角形.因此，判定两个直角三角形全等，除了用一般三角形的判定方法，还可以使用HL.
(2)HL定理将在15.4节中给出证明.
(3)应用HL定理时，要注意书写格式
高效课堂
任务二：拓展与应用
例1 已知：如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.
求证：BD=CE.
分析：要证BD=CE，结合图形只需证 Rt△ABD≌Rt△ACE 或Rt△BEC≌Rt△CDB.结合已知条件BE=CD.可用HL证 Rt△BEC≌Rt△CDB.
高效课堂
证明 ∵BD，CE 分别是△ABC的高，(已知)
∴∠BEC=∠CDB=90°.(垂直的定义)
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵ BC=CB，(公共边)
BE=CD，(已知)
∴Rt△BEC≌Rt△CDB.(HL)
∴BD=CE.(全等三角形的对应边相等)
高效课堂
判定两直角三角形全等的思路：
高效课堂
例2 已知：如图，AB=CD，BC=DA，E，F 是AC上的两点，且AE=CF.
求证：BF=DE.
高效课堂
分析：要证BF=DE，只需证△BCF和△DAE全等，或证△ABF和△CDE全等.由已知条件这两对三角形中都有两边对应相等，因此只需证它们的夹角相等即可.即证∠1=∠2或证∠BAF=∠DCE，要证∠1=∠2或证∠BAF=∠DCE，只需证△ABC与△CDA全等即可.结合已知可由SSS证明△ABC≌△CDA.也就是先证△ABC≌△CDA，再证△BCF≌△DAE或证△ABF≌△CDE.
高效课堂
证明： 在△ABC和△CDA中，
AB=CD，(已知)
∵ CA=AC，(公共边)
BC=DA，(已知)
∴△ABC≌△CDA.(SSS)
∴∠1=∠2.(全等三角形的对应角相等)
在△BCF和△DAE中，
BC=DA，(已知)
∵ ∠1=∠2，(已证)
CF=AE，(已知)
∴△BCF≌△DAE.(SAS)
∴BF=DE.(全等三角形的对应边相等)
高效课堂
例3 求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC≌△A'B'C'.AD，A'D'分别是 △ABC和△A'B'C'对应边上的高.
求证：AD=A'D'.
高效课堂
证明 ∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)
∴AB=A'B'，∠B=∠B'.(全等三角形的对应边相等、对应角相等)
∵AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的高，(已知)
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.(垂直的定义)
在△ABD 和△A'B'D'中，
∠B=∠B′，(已证)
∵ ∠ADB=∠A'D'B'，(已证)
AB=A'B'，(已证)
∴△ABD≌△A'B′D'.(AAS)
∴AD=A′D'.(全等三角形的对应边相等)
高效课堂
另证 ∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)
∴BC=B'C'，S△ABC=S△A'B'C'.(全等三角形的对应边相等、面积相等)
∵S△ABC=BC·AD，S△A'B'C'=B'C'·A'D'，
∴BC·AD=B'C'·A'D'，
∴AD=A'D'.(等式的性质)
全等三角形除对应高相等外，对应中线、对应角平分线也相等.
高效课堂
课堂评价
1.在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是( )
A.AC=A'C'，∠B=∠B' B.∠A=∠A'，∠B=∠B'
C.AB=A'B'，AC=A'C' D.AB=A'B'，∠A=∠A'
B
2.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF 的是 ( )
A.AB=DE B.∠B=∠E
C.EF=BC D.EF∥BC
C
课堂评价
3.已知：如图，点 A，E，C在同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD.
求证：BE=DE.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，(已知)
∴∠ABC=∠ADC=90°.(垂直的定义)
在Rt△ABC 和Rt△ADC 中，
∵ AC=AC，(公共边)
AB=AD，(已知)
∴Rt△ABC≌Rt△ADC.(HL)
课堂评价
∴∠BAE=∠DAE.(全等三角形的对应角相等)
在△ABE 和△ADE 中，
AB=AD，(已知)
∵ ∠BAE=∠DAE，(已证)
AE=AE，(公共边)
∴△ABE≌△ADE.(SAS)
∴BE=DE.(全等三角形的对应边相等)
课堂评价
通过本节课的学习，学到了哪些内容？学习了本节课有何感想？
判定两个三角形全等共有以下几种方法：①边角边(SAS)；②角边角(ASA)；③角角边(AAS)；④边边边(SSS)；⑤斜边直角边(HL).判定两个三角形全等，关键是熟练使用以上方法，并能结合题目条件，从各种判定方法中选择最合适的方法进行证明.
课堂评价
作业设计
基础性作业：教材例7后面的练习第1题；教材例9后面的练习第
2，3题.
提高性作业：教材习题14.2第10，11题.
感 谢 观 看
沪科版八年级数学上册
第14章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第5课时 两个直角三角形全等的判定
(1)判定两个三角形全等，除定义外还学习了哪些方法？
(2)对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
(3)在△ABC和△DEF中，若AB=DE，BC=EF，∠C=∠F，△ABC与△DEF全等吗？如果相等的角为直角？
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两直角边分别相等的两直角三角形全等(SAS)；一锐角和一边分别相等的两直角三角形全等(ASA或AAS)，三边分别相等的两直角三角形全等(SSS).
满足条件SSA的两个三角形不一定全等，那么当这个相等的角为直角时，即一直角和斜边分别相等的两个直角三角形全等吗？
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任务一：探究直角三角形全等的判定方法（HL）
(1)如图1，Rt△ABC，其中∠C为直角.求作：Rt△A'B'C'，使∠C'为直角，A'C'=AC，A'B'=AB.
图1
作法：
①如图2，作∠MC'N=∠C=90°；
②在C'M上截取C'A'=CA；
③以点A'为圆心、AB长为半径画弧，交C'N于点B'；
④连接A'B'.
则Rt△A'B'C'就是所求作的直角三角形.
图2
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(2)把画好的 Rt△A'B'C'剪下来，放到 Rt△ABC上，它们能重合吗？这一结果说明什么？能用文字表述吗？
两个直角三角形重合.
定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.
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几何语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∵ AB=DE，
AC=DF，(或BC=EF)
∴Rt△ABC≌Rt△DEF.
高效课堂
(1)HL定理仅适用于直角三角形.因此，判定两个直角三角形全等，除了用一般三角形的判定方法，还可以使用HL.
(2)HL定理将在15.4节中给出证明.
(3)应用HL定理时，要注意书写格式
高效课堂
任务二：拓展与应用
例1 已知：如图，BD，CE分别是△ABC的高，且BE=CD.
求证：BD=CE.
分析：要证BD=CE，结合图形只需证 Rt△ABD≌Rt△ACE 或Rt△BEC≌Rt△CDB.结合已知条件BE=CD.可用HL证 Rt△BEC≌Rt△CDB.
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证明 ∵BD，CE 分别是△ABC的高，(已知)
∴∠BEC=∠CDB=90°.(垂直的定义)
在Rt△BEC和Rt△CDB中，
∵ BC=CB，(公共边)
BE=CD，(已知)
∴Rt△BEC≌Rt△CDB.(HL)
∴BD=CE.(全等三角形的对应边相等)
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判定两直角三角形全等的思路：
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例2 已知：如图，AB=CD，BC=DA，E，F 是AC上的两点，且AE=CF.
求证：BF=DE.
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分析：要证BF=DE，只需证△BCF和△DAE全等，或证△ABF和△CDE全等.由已知条件这两对三角形中都有两边对应相等，因此只需证它们的夹角相等即可.即证∠1=∠2或证∠BAF=∠DCE，要证∠1=∠2或证∠BAF=∠DCE，只需证△ABC与△CDA全等即可.结合已知可由SSS证明△ABC≌△CDA.也就是先证△ABC≌△CDA，再证△BCF≌△DAE或证△ABF≌△CDE.
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证明： 在△ABC和△CDA中，
AB=CD，(已知)
∵ CA=AC，(公共边)
BC=DA，(已知)
∴△ABC≌△CDA.(SSS)
∴∠1=∠2.(全等三角形的对应角相等)
在△BCF和△DAE中，
BC=DA，(已知)
∵ ∠1=∠2，(已证)
CF=AE，(已知)
∴△BCF≌△DAE.(SAS)
∴BF=DE.(全等三角形的对应边相等)
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例3 求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC≌△A'B'C'.AD，A'D'分别是 △ABC和△A'B'C'对应边上的高.
求证：AD=A'D'.
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证明 ∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)
∴AB=A'B'，∠B=∠B'.(全等三角形的对应边相等、对应角相等)
∵AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的高，(已知)
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.(垂直的定义)
在△ABD 和△A'B'D'中，
∠B=∠B′，(已证)
∵ ∠ADB=∠A'D'B'，(已证)
AB=A'B'，(已证)
∴△ABD≌△A'B′D'.(AAS)
∴AD=A′D'.(全等三角形的对应边相等)
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另证 ∵△ABC≌△A'B'C'，(已知)
∴BC=B'C'，S△ABC=S△A'B'C'.(全等三角形的对应边相等、面积相等)
∵S△ABC=BC·AD，S△A'B'C'=B'C'·A'D'，
∴BC·AD=B'C'·A'D'，
∴AD=A'D'.(等式的性质)
全等三角形除对应高相等外，对应中线、对应角平分线也相等.
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课堂评价
1.在Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是( )
A.AC=A'C'，∠B=∠B' B.∠A=∠A'，∠B=∠B'
C.AB=A'B'，AC=A'C' D.AB=A'B'，∠A=∠A'
B
2.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF 的是 ( )
A.AB=DE B.∠B=∠E
C.EF=BC D.EF∥BC
C
课堂评价
3.已知：如图，点 A，E，C在同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB=AD.
求证：BE=DE.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，(已知)
∴∠ABC=∠ADC=90°.(垂直的定义)
在Rt△ABC 和Rt△ADC 中，
∵ AC=AC，(公共边)
AB=AD，(已知)
∴Rt△ABC≌Rt△ADC.(HL)
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∴∠BAE=∠DAE.(全等三角形的对应角相等)
在△ABE 和△ADE 中，
AB=AD，(已知)
∵ ∠BAE=∠DAE，(已证)
AE=AE，(公共边)
∴△ABE≌△ADE.(SAS)
∴BE=DE.(全等三角形的对应边相等)
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通过本节课的学习，学到了哪些内容？学习了本节课有何感想？
判定两个三角形全等共有以下几种方法：①边角边(SAS)；②角边角(ASA)；③角角边(AAS)；④边边边(SSS)；⑤斜边直角边(HL).判定两个三角形全等，关键是熟练使用以上方法，并能结合题目条件，从各种判定方法中选择最合适的方法进行证明.
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作业设计
基础性作业：教材例7后面的练习第1题；教材例9后面的练习第
2，3题.
提高性作业：教材习题14.2第10，11题.
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