第14章 全等三角形 回顾与思考 课件(共42张PPT) 2025-2026学年沪科版八年级数学上册课件

(共42张PPT)
沪科版八年级数学上册
第14章 全等三角形 本章复习课 回顾与思考
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经过本章内容的学习，相信同学们对全等三角形的知识有了一定的认识，这节课就一起来回顾本章所学的知识，反思所学.
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环节一：复习回顾
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1.全等三角形
(1)全等形：能够完全重合的两个图形叫作全等形.
(2)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
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①把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角.用符号“≌”表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应位置上.
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角；有对顶角的，两个对顶角一般是一对对应角；有公共边的，公共边一般是对应边；有公共角的，公共角一般是对应角.
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②一个图形经过平移、旋转、翻折变换后，前后两个图形全等.常见图形如下：
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2.全等三角形的判定
全等三角形判定方法除定义外还有如下方法：
(1)两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简记为“边角边”或“SAS”.
(2)有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”.
(3)三边分别相等的两个三角形全等.简记为“边边边”或“SSS”.
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(4)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简记为“角角边”或“AAS”
(5)判定两直角三角形全等，除一般三角形判定方法外，还有如下定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简记为“斜边、直角边”或“HL”.
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①两个三角形全等，通常需要三个条件，这三个条件中至少需要一条边对应相等.“HL”只适合直角三角形，其他三角形不成立.
②两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.(SSA)三个角对应相等的两个三角形不一定全等.(AAA)
③注意书写格式，线段和角的位置不能错.
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3.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等、对应角相等.
利用全等三角形的判定和性质，还可得出全等三角形的其他性质：全等三角形的对应线段(中线、高、角平分线)相等、周长相等、面积相等.
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环节二：例题解析
例1 如图，已知AC∥DF，且BE=CF.
(1)请只添加一个条件，使△ABC≌△DEF，添加的条件是_____；
(2)添加条件后，证明△ABC≌△DEF.
由已知易证得BC=EF，∠ACB=∠F，因此要证△ABC≌△DEF，由SAS，需添加AC=DF；由ASA，需添加∠B=∠DEF；由AAS，需添加∠A=∠D；对于∠B=∠DEF，也可由AB∥DE得到.
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(1)AC=DF(或AB∥DE，∠B=∠DEF，∠A=∠D)
(2)∵BE=CF，(已知)
∴BE+EC=CF+EC，(等式的性质)
即BC=EF.
∵AC∥DF，(已知)
∴∠ACB=∠F.(两直线平行，同位角相等)
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①若添加的条件是AC=DF，证明如下：
在△ABC和△DEF中，
BC=EF，(已证)
∵ ∠ACB=∠F，(已证)
AC=DF，(已知)
∴△ABC≌△DEF.(SAS)
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②若添加的条件是∠B=∠DEF，证明如下：
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠DEF，(已知)
BC=EF，(已证)
∠ACB=∠F，(已证)
∴△ABC≌△DEF.(ASA)
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③若添加的条件是AB∥DE，证明如下：
∵AB∥DE，(已知)
∴∠B=∠DEF.(两直线平行，同位角相等)
在△ABC和△DEF中，
∠B=∠DEF，(已证)
BC=EF，(已证)
∠ACB=∠F，(已证)
∴△ABC≌△DEF.(ASA)
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④若添加的条件是∠A=∠D，证明如下：
在△ABC和△DEF中，
∠A=∠D，(已证)
∵ ∠ACB=∠F，(已证)
BC=EF，(已知)
∴△ABC≌△DEF.(AAS)
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(1)证明的步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②指明范围：写出在哪两个三角形中；
③摆齐根据：用大括号括起来需要的判定条件；
④写出结论：写出全等结论.
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(2)全等三角形证明思路：
①已知两边
找夹角→SAS
找直角
找另一边→SSS
两边为直角边→SAS
两边为直角边和斜边→HL
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(2)全等三角形证明思路：
②已知一边一角
边为角的对边
边为角的邻边
找任一角→AAS
若这个角是直角，找任意一条直角边→HL
找角的另一边→SAS
找边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
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(2)全等三角形证明思路：
③已知两角
找两角的夹边→ASA
找两角夹边外的任一边→AAS
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例2 如图，已知点D在AB边上，点E在AC边上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.
求证：BD=CE.
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在△AEB和△ADC中，
∠A=∠A，(公共角)
AB=AC，(已知)
∠B=∠C，(已知)
∴△AEB≌△ADC，(ASA)
∴AD=AE.(全等三角形的对应边相等)
又∵AB=AC，(已知)
∴AB-AD=AC-AE，(等式的性质)即BD=CE.
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例3 如图，AB=DC，AE=DF，CE=BF.求证：∠AFB=∠DEC.
要证∠AFB=∠DEC，只需证△ABF≌△DCE 即可.但在△ABF和△DCE中，只有AB=DC，CE=BF，还缺∠B=∠C或AF=ED，要证∠B=∠C，只需证△ABE≌△DCF即可，这可由已知证得.
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∵CE=BF，(已知)
∴BF+EF=CE+EF，(等式的性质)
即BE=CF.
在△ABE和△DCF中，
AB=DC，(已知)
AE=DF，(已知)
BE=CF，(已证)
∴△ABE≌△DCF，(SSS)
∴∠B=∠C.
在△ABF和△DCE中，
AB=DC，(已知)
∠B=∠C(已证)
BF=CE，(已知)
∴△ABF≌△DCE，(SAS)
∴∠AFB=∠DEC.(全等三角形的对应角相等)
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例4 四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.求证：AB=CD，AD=BC.
要证AB=CD，AD=BC，连接BD，利用ASA证明△ABD≌△CDB即可.
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连接BD，如图.
∵AB∥CD，(已知)
∴∠DBA=∠BDC.
同理，∠ADB=∠CBD.
在△ABD和△CDB中，
∠ABD=∠CDB，(已证)
BD=DB，(公共边)
∠ADB=∠CBD，(已证)
∴△ABD≌△CDB，(ASA)
∴AB=CD，AD=BC.(全等三角形的对应边相等)
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规律总结：
(1)全等三角形是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中.看它们全等的条件已有哪些，还缺什么；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角、补角的性质及平行线的性质等，必要时需添加辅助线.
(2)在应用全等三角形的性质时，有时需要用到二次全等.
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例5 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①△ADC≌△CEB；
②DE=AD+BE.
图1
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例5 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=BE-AD.
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的数量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
图2
图3
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(1)AD⊥MN，BE⊥MN，又∠ACB=90°，在Rt△ADC和Rt△CEB中，直角对应相等，斜边对应相等.又∠DAC与∠BCE都为∠ACD的余角，所以∠DAC与∠BCE相等，所以△ADC≌△CEB.进一步可证得DE=AD+BE.
(2)(3)问与(1)的证明思路类似，需先证明△ADC≌△CEB，再证明DE，AD，BE三条线段之间的数量关系.
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(1)①∵AD⊥MN，BE⊥MN，(已知)
∴∠ADC=∠BEC=90°.(垂直的定义)
∵∠ACB=90°，(已知)
∴∠CAD+∠ACD=∠BCE+∠ACD=90°.
∴∠CAD=∠BCE.(同角的余角相等)
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB，(已证)
∠CAD=∠BCE，(已证)
AC=CB，(已知)
∴△ADC≌△CEB.(AAS)
②∵△ADC≌△CEB，(已证)
∴CE=AD，CD=BE.(全等三角形的对应边相等)
∴DE=CE+CD=AD+BE.
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(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE.
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB，(已证)
∵ ∠ACD=∠CBE，(已证)
AC=CB，(已知)
∴△ACD≌△CBE.(AAS)
∴CE=AD，CD=BE，(全等三角形的对应边相等)
∴DE=CD-CE=BE-AD.(等量代换)
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(3)当MN旋转到图3的位置时，AD，DE，BE满足的数量关系为DE=AD-BE.
∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE.
在△ACD和△CBE中，
∠ADC=∠CEB，(已证)
∵ ∠ACD=∠CBE，(已证)
AC=CB，(已知)
∴△ACD≌△CBE.(AAS)
∴AD=CE，CD=BE.(全等三角形的对应边相等)
∴DE=CE-CD=AD-BE.(等量代换)
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规律总结：
(1)在解这一类题时，当条件发生变化时，原题的结论和解题思路中至少有一种成立.
(2)图1的结论可推广到一般情况，即在图1中，当∠ADC=∠ACB=∠BEC，AC=BC时，有△ADC≌△CEB，这即是“一线三等角”问题.
课堂评价
1.如果△ABC与△DEF是全等三角形，那么下列说法正确的是 ( ).
①它们的周长相等； ②它们的面积相等；
③它们的每个对应角相等；④它们的每条对应边相等.
A.①②③ B.①②③④ C.①② D.①
B
课堂评价
2.如图，△ABC≌△DCB，点A与点D、点B与点C是对应点.如果BC=6 cm，AC=5 cm，AB=3 cm，那么DC的长为 ( )
A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.无法确定
A
BC=EF
∠A=∠D
∠C=∠F
3.已知：∠ABC=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，
(1)若以SAS为依据，需要添加的一个条件为__________.
(2)若以ASA为依据，需要添加的一个条件为__________.
(3)若以AAS为依据，需要添加的一个条件为__________.
课堂评价
4.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.请写出图中的全等三角形_______________(写出一对即可).
△ABD≌△ACE
课堂评价
5.如图，点B，F，C，E在一条直线上，∠A=∠D=90°，AB=DE，要使用ASA判定△ABC≌△DEF，则添加的一个条件可以是_______________.
∠B=∠E
课堂总结
1.对本章知识有了哪些新的认识？
2.弄懂了哪些之前不太清楚的知识？
作业设计
基础性作业：教材复习题A组第3，4，6，11，12，14题.
提高性作业：教材复习题B组第2题.
感 谢 观 看