13.2勾股定理的应用
【知识点1】勾股定理的应用 1
【题型1】利用逆定理解决面积问题 2
【题型2】水杯中的筷子问题 3
【题型3】求高度或距离 4
【题型4】网格问题 6
【题型5】最短路径问题 8
【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 9
【知识点1】勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
1.（2024秋 焦作期末）如图所示，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：cm,那么A．B两点之间的距离为（ ）
A．8cm B．8cm C．16cm D．16cm
2.（2025春 昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（ ）亩（1亩=240平方步）
A．2 B．3 C．4 D．5
【题型1】利用逆定理解决面积问题
【典型例题】如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（ ）
A.48 B.54 C.24 D.60
【举一反三1】如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）
A.3 B.6 C.10 D.16
【举一反三2】如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ．
【举一反三3】如图，在四边形 中，，求四边形的面积．
【题型2】水杯中的筷子问题
【典型例题】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ）
A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺
【举一反三1】如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ．
【举一反三3】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？
【举一反三4】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．
【题型3】求高度或距离
【典型例题】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（ ）
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
【举一反三1】如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（ ）米.
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
【举一反三3】如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ．
【举一反三4】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【题型4】网格问题
【典型例题】如图，在的方格纸，每个小正方形边长均为1，已知点A，B在方格顶点上，则长为（ ）
A. B. C.2 D.
【举一反三1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．则边上的中线长为（ ）
A. B. C.4 D.5
【举一反三2】如图，点、点均在边长为的正方形网格的格点上，则线段的长度 3．(填“>”， “=”或“<”)
【举一反三3】如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则 ．
【举一反三4】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题．
(1)试判断的形状并说明理由；
(2)画出边上的高，求的长；
(3)以为边向右侧作，使是等腰三角形，则的长为________．
【举一反三5】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．
甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．
甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．”
解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
______，______，
______．
______．
是角三角形．
乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．”
解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
（______）
______．
又在中，，
______，
，
是直角三角形．
【题型5】最短路径问题
【典型例题】如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（ ）
A. B.10 C. D.
【举一反三1】如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ．
【举一反三3】(1)如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(2)如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度．
【题型6】勾股定理逆定理的实际应用
【典型例题】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（ ）平方里．
A. B. C. D.
【举一反三1】两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A.东偏南 B.北偏西 C.东偏南或西偏北 D.无法确定
【举一反三2】如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是 ．
【举一反三3】木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线为，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）
【举一反三4】如图，热气球探测器显示，从热气球A处到一栋高楼顶部的距离，到高楼底部的距离，热气球A处到这栋高楼外墙D处的距离为，又测得，求这栋楼的高度．
【举一反三5】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积．13.2勾股定理的应用
【知识点1】勾股定理的应用 1
【题型1】利用逆定理解决面积问题 3
【题型2】水杯中的筷子问题 6
【题型3】求高度或距离 8
【题型4】网格问题 11
【题型5】最短路径问题 16
【题型6】勾股定理逆定理的实际应用 19
【知识点1】勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
1.（2024秋 焦作期末）如图所示，有一“工”字形的机器零件，它是轴对称图形，图中所有的角都是直角，图中数据单位：cm,那么A．B两点之间的距离为（ ）
A．8cm B．8cm C．16cm D．16cm
【答案】D
【分析】先构造直角三角形ACB，根据题意可得到AC、BC的长，然后根据勾股定理可以求得AB的长，本题得以解决．
【解答】解：作BC⊥AC于点C，如图所示，
由图可得，BC=5+6+5=16cm,AC=20-（20-12）÷2=20-8÷2=20-4=16cm,
∴cm,
即A．B两点之间的距离为16cm,
故选：D．
2.（2025春 昭通期中）《算法统宗》记载“昨日丈量田地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘？”译文：“昨天量了田地回到家里，记得长方形田的长为30步，宽及其对角线之和为50步，不知该田有几亩？”请运用所学知识求解这块地有（ ）亩（1亩=240平方步）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】设长方形田的宽为x步，则其对角线的长为（50-x）步，根据勾股定理可得x2+302=（50-x）2，解方程求出宽，再根据长方形面积公式求出面积即可得到答案．
【解答】解：设长方形田的宽为x步，
根据题意得x2+302=（50-x）2，
解得x=16，
∴长方形田的宽为16步，
∴长方形田的面积为16×30÷240=2亩，
故选：A．
【题型1】利用逆定理解决面积问题
【典型例题】如图，已知四边形中，，，，，，则这个图形的面积为（ ）
A.48 B.54 C.24 D.60
【答案】C
【解析】如图，连接，
，，，
，
，，，
，
为直角三角形，
这个图形的面积，
故选：C．
【举一反三1】如图，在中，，以为边作正方形，若正方形的面积是13，则阴影部分的面积为（ ）
A.3 B.6 C.10 D.16
【答案】C
【解析】∵正方形的面积为13，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故选：C
【举一反三2】如图，为等边三角形内一点，，，，将绕点顺时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【解析】连接，过点D作于点F，
由题意，知，，，，
∴是等边三角形，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【举一反三3】如图，在四边形 中，，求四边形的面积．
【答案】解 连接，如图所示：
，，，
．
，
∴，
是直角三角形，，
．
【题型2】水杯中的筷子问题
【典型例题】在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，则水池的深度为（ ）
A.5尺 B.10尺 C.12尺 D.13尺
【答案】C
【解析】设水池的深度为尺，则芦苇长为尺，
根据勾股定理得：，
解得：，即：水池的深度为12尺．
故选：C．
【举一反三1】如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为，高度为，现有一根的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵将一根长为的吸管，置于底面直径为，高度为的圆柱形水杯中，
∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜对角长度，
∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，吸管长为，
最长时等于杯子斜对角长度是：，
∴a的取值范围是：，
即，
故选：C．
【举一反三2】如图是一个饮料罐，下底面直径是，上底面半径是，高是，上底面盖子的中心有一个小圆孔．若一条到达底部的直吸管如图放置，则在罐内部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）是 ．
【答案】
【解析】作于，则，根据勾股定理，即可求解．
如图所示，
依题意，，
在中，，
即，
故答案为：．
【举一反三3】一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽6尺，求竹竿长？
【答案】解 设竹竿长为x 尺，由题意，得：
解得，
答：竹竿长10尺．
【举一反三4】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道问题，大意是：如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请求出这根芦苇的长度．
【答案】解 设水池的深度为尺，
由题意得：
解得：，
则，
答：芦苇长13尺．
【题型3】求高度或距离
【典型例题】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵大风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部四尺远，问竹子折断处离地有多高？（ ）
A.尺 B.尺 C.尺 D.尺
【答案】A
【解析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：
，
解得：
所以，竹子折断处离地有尺．
故选：A．
【举一反三1】如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆，地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离是（ ）米.
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】∵钢缆是电线杆，钢缆，线段构成的直角三角形的斜边，
又∵钢缆长度为10米，从电线杆到钢缆的上端为6米，
∴米，
故选：C．
【举一反三2】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A.8米 B.10米 C.12米 D.14米
【答案】B
【解析】如图，设大树高为米，
小树高为米，
过点作于，则是长方形，
连接，
米，米，米，
在中，米，
故选：B．
【举一反三3】如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为 ．
【答案】5 m
【解析】∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=x m，
则OC=（9-x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2=BC2，
∴32+（9-x）2=x2，
解得x=5．
故答案为：5 m．
【举一反三4】如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度．
【答案】解 ，，
，
在中
，，
设秋千的绳索长为，则，
，
解得：
绳索的长度．
【题型4】网格问题
【典型例题】如图，在的方格纸，每个小正方形边长均为1，已知点A，B在方格顶点上，则长为（ ）
A. B. C.2 D.
【答案】D
【解析】由勾股定理可得：，
故选D．
【举一反三1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．则边上的中线长为（ ）
A. B. C.4 D.5
【答案】A
【解析】如图，设的中点是D，连接，
由勾股定理可得，
即边上的中线长为，
故选：A.
【举一反三2】如图，点、点均在边长为的正方形网格的格点上，则线段的长度 3．(填“>”， “=”或“<”)
【答案】＜
【解析】，
∵，，，
∴，
故答案为：<．
【举一反三3】如图，网格内每个小正方形的边长都是个单位长度，都是格点，与相交于点，则 ．
【答案】
【解析】如图，过点作，连接，
由勾股定理得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题．
(1)试判断的形状并说明理由；
(2)画出边上的高，求的长；
(3)以为边向右侧作，使是等腰三角形，则的长为________．
【答案】解 (1)是直角三角形，理由如下：
由题意得，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
(2)如图所示，点D即为所求；
取格点E，连接交于D，
∵AH=CG＝4，∠AHE=∠CGB=90°，EG=BG=3
∴,
∴，
由对项角相等得，180°-∠HAE=180°-∠GCB=90°,
∴∠ADC=∠AHC=90°,
∴为中边上的高；
∵，
∴.
(3)如图所示，即为所求；
∵BC=CD=＝5，AB＝，是直角三角形，
∴CA⊥BD
∴，
故答案为：．
【举一反三5】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，请判断的形状，并说明理由．
甲、乙两位同学运用所学知识，都说明了是直角三角形，请你根据甲、乙两位同学的思路，补全解答过程．
甲同学说：“学习了勾股定理，已知三角形的三边，可根据勾股定理逆定理判断三角形的形状．”
解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
______，______，
______．
______．
是角三角形．
乙同学说：“我可以运用全等三角形的相关知识，说明是直角三角形．”
解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
（______）
______．
又在中，，
______，
，
是直角三角形．
【答案】解 甲同学：解：是直角三角形，理由如下：
在网格中由勾股定理可以算出：，，，
，，
，
，
是角三角形．
乙同学：解：是直角三角形，理由如下：
如图，由网格可知：，，，
在和中，
．
．
又在中，，
，
，
是直角三角形．
故答案为：，，，，，，．
【题型5】最短路径问题
【典型例题】如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所爬行的最短路线长是（ ）
A. B.10 C. D.
【答案】B
【解析】如图(1)所示：
；
如图(2)所示：
．
由于，
所以最短路径为10．
故选：．
【举一反三1】如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，
∵它的每一级的长宽高分别为,
∴
即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是，
故选：C．
【举一反三2】有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ．
【答案】
【解析】如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短．
在直角中，，
∴
∴最短路线长为cm.
故答案为：．
【举一反三3】(1)如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
(2)如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度．
【答案】解 (1)如解图，圆柱体的展开图为长方形，
所以，
由题意可知，，
所以在 中，
由勾股定理得，，
所以 ，
所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是；
(2)如图，
∵盒高，盒底周长为，
，
∴蚂蚁爬行的最短路程是
，
∴蚂蚁爬行的最短路程是．
【题型6】勾股定理逆定理的实际应用
【典型例题】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？“这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，则该沙田的面积为（ ）平方里．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵一块三角形沙田，三条边长分别为里，里，里，
∴，，
∴，
∴这块沙田是直角三角形，直角边分别为5里和12里，斜边为里，
∴这块沙田的面积为（平方里），
故选．
【举一反三1】两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后，两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向为（ ）
A.东偏南 B.北偏西 C.东偏南或西偏北 D.无法确定
【答案】C
【解析】根据题意画出图形，然后在直角三角形中利用勾股定理逆定理解答．
根据题意，海里，海里，
又因为海里，， 所以，
根据勾股定理逆定理， 为直角三角形．
同理，为直角三角形． 所以，
又因为， 所以， ，
根据对顶角相等，， 则乙船的航向为东偏南或西偏北．
故选：C．
【举一反三2】如图，南北方向的海岸线上有一港口P，甲乙两艘轮船同时离开港口P，甲船以12海里/时的速度沿南偏东的方向航行；乙船以16海里/时的速度沿一固定方向航行，1.5小时后，它们分别位于点Q，R处，此时它们相距30海里，则乙船的航行方向是 ．
【答案】北偏东
【解析】由题意可得：，，，，
在中，，
，
，
是直角三角形，且，
∴
∴乙船的航行方向是北偏东．
故答案为：北偏东．
【举一反三3】木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为，宽为，对角线为，这个桌面 （填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【解析】判断以，，为边的三角形是直角三角形，即可求解．
由题意得
，
，
，
以，，为边的三角形是直角三角形，
桌面是长方形，
故答案为：合格．
【举一反三4】如图，热气球探测器显示，从热气球A处到一栋高楼顶部的距离，到高楼底部的距离，热气球A处到这栋高楼外墙D处的距离为，又测得，求这栋楼的高度．
【答案】解 ∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴．
∴这栋楼的高度为．
【举一反三5】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，．求四边形的面积．
【答案】解 ∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
