苏科版（2024）九年级上册 2.2 圆的对称性 题型梳理 讲义【含答案】

苏科版（2024）九年级上册 2.2 圆的对称性
【题型1】垂径定理的概念
【典型例题】如图，P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，点A，B，C，D在圆上，弦AB和CD交于点E，则下列说法正确的是（　　）
A.若CD平分AB，则CD⊥AB
B.若CD⊥AB，则CD平分AB
C.若CD垂直平分AB，则圆心在CD上
D.若圆心在CD上，则CD垂直平分AB
【举一反三2】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有 　 　个．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的弦．该图是轴对称图形，它的对称轴是 　 　．
【举一反三4】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC＝BD．
【题型2】利用垂径定理求半径
【典型例题】如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为（　　）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【举一反三1】如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，已知AB＝4，CD＝2，点O到弦AB的距离等于1，那么这两个圆的半径之比为（　　）
A.3：2 B.：2 C.： D.5：4
【举一反三2】如图，半径为10的⊙P与y轴交于点M（0，10），N（0，﹣6），则点P坐标为 　 　．
【举一反三3】如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径长为 　 ．
【举一反三4】如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数．
（2）若CE＝，求⊙O的半径．
【举一反三5】若D是BC的中点，AD⊥BC，BC＝24，AD＝9，求⊙O的半径．
【题型3】利用圆心角、弧、弦的关系求长度
【典型例题】如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥ED，则（　　）
A.AC＝AE
B.AC＞AE
C.AC＜AE
D.AC与AE的大小关系无法确定
【举一反三1】如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　）
A.2 B.2 C. D.1
【举一反三2】如图，AB是⊙O的弦，连接BO，作AC⊥BO交BO的延长线于点C，已知OC＝，BO＝2，点D是的中点，连接CD，则CD的长为 　　 ．
【举一反三3】如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接CB．
求证：BC＝CF．
【题型4】圆心角的概念
【典型例题】如图，圆心角∠AOB＝25°，将AB旋转n°得到CD，则∠COD等于（　　）
A.25° B.25°+n° C.50° D.50°+n°
【举一反三1】如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（　　）
A.30° B.40° C.50° D.70°
【举一反三2】如图所示，AB是圆O的一条弦．且AB＝OA．则弦AB所对的圆心角是（　　）
A.60°或120° B.60° C.30°或150° D.90°
【举一反三3】如图所示，已知扇形A的圆心角和扇形B的圆心角的度数相等，则扇形A的圆心角的度数为　 　．
【举一反三4】如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于　 　°．
【举一反三5】画图并计算：在半径为10cm的圆中，有一条长10cm的弦．
（1）求此弦所对的圆心角的度数；
（2）求圆心到此弦的距离．
【举一反三6】将一个圆分割成甲、乙、丙、丁四个扇形，使它们的圆心角的度数比为1：2：3：4，分别求出这四个扇形的圆心角的度数．
【题型5】弧的概念
【典型例题】下列说法中，错误的是（　　）
①弦是直径；
②半圆是弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④能够互相重合的弧是等弧；
⑤大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　　）
①的度数＝的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦的弦长等于所对的弦的弦长．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】如图，⊙O的直径AB与弦DE交于点C，且CD＝CO．若弧AD的度数为40°，则弧AE的度数为（　　）
A.50° B.60° C.75° D.85°
【举一反三3】已知圆的半径为1，弦AB＝，则弧AB的度数是　 　．
【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝　 　．
【举一反三5】如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，求证：＝．
【题型6】利用圆心角、弧、弦的关系求角度
【典型例题】如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠COF＝（　　）
A.90° B.100° C.108° D.120°
【举一反三1】如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（　　）
A.180° B.150° C.135° D.120°
【举一反三2】如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，则∠EOB的度数为　 　．
【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC＝40°，点D为的中点，连接DC，求∠DCB的度数．
【举一反三4】如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B，若BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．
【题型7】利用垂径定理求点的坐标
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．则点C的坐标是（　　）
A.（1，2） B.（1，3） C.（2，3） D.（2，4）
【举一反三1】如图，直径为1的圆在x轴上从3开始无滑动地向左滚动两周后，此圆与x轴的交点为P，此时圆所对应的圆心坐标为（　　）
A.（0.5，3﹣3π） B.（3﹣3π，0.5） C.（2﹣2π，0.5） D.（3﹣2π，0.5）
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，直径为1个单位长度的圆与y轴交于点A（0，1），将圆沿x轴正方向滚动1周，点A到达点A′处，则点A′的坐标为 　 （用含π的式子表示）．
【举一反三3】如图，在直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点.
（1）求点C、D的坐标；
（2）求线段DE的长及点E的坐标．
【题型8】弦的概念
【典型例题】A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（　　）
A.AB＞0 B.0＜AB＜5 C.0＜AB＜10 D.0＜AB≤10
【举一反三1】半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为（　　）
A.5cm B.4cm C.6cm D.3cm
【举一反三2】已知⊙O的直径是4，⊙O上两点B、C分⊙O所得的劣弧与优弧之比为1：3，则弦BC的长为　 　．
【举一反三3】如图，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧为圆的，⊙O的半径为R，求弦AB的长．
【题型9】圆的对称性
【典型例题】下列说法中，不正确的是（　　）
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆有无数条对称轴
C.圆的每一条直径都是它的对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
【举一反三1】圆是轴对称图形，它的对称轴是（　　）
A.圆的半径 B.垂直于弦的直径 C.过圆心的直径 D.以上都不对
【举一反三2】如图，下列说法中正确的有（　　）
①圆是轴对称图形；
②线段AB是⊙O的对称轴；
③直线AB是⊙O的对称轴；
④⊙O绕圆心旋转90°后能与自身重合．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】下列说法中，表述正确的是 　 　．（填序号）
①圆是轴对称图形，每一条直径都是圆的对称轴；
②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
④圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心．
【举一反三4】如图，a，b，c中都有圆的图案，正是因为圆具有轴对称和中心对称的性质，这些图案才显得对称、美丽、和谐．
①如图的a，b，c中，是轴对称图形的是 　 　，是中心对称图形的有 　 　；
②请在图的d，e中，按要求设计：d是轴对称而非中心对称图形；e既是轴对称又是中心对称图形．
【题型10】利用垂径定理求图形的周长
【典型例题】如图，已知CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：MD＝5：8，则⊙O的周长为（　　）
A. B. C.26π D.13π
【举一反三1】已知⊙O的弦AB＝2a，圆心O到该弦的距离为b，则圆的周长为（　　）
A.2πb2 B.2πa2 C.2π D.2π（a+b）2
【举一反三2】⊙O的直径为10cm，弦AB的弦心距为3cm，则以弦AB为一边的⊙O内接矩形的周长为　 　cm．
【举一反三3】如图，是以边长为6的等边△ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上一动点，当BP经过弦AD的中点E时，四边形ACBE的周长为　 　．（结果用根号表示）
【举一反三4】如图，在⊙O中，P是弦AB上一点，AB＝10cm，PB＝4cm，OP＝2.5cm，求⊙O的周长．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的一条弦，C是AB上一点，且AC＝BC，连接OC并延长，交⊙O于点D，连接OA．若OA＝，CD＝1，求△AOC的周长．
【题型11】与垂径定理有关的最值问题
【典型例题】如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A.4 B.2 C. D.1
【举一反三1】在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（　　）
A. B.2 C.2 D.4
【举一反三2】如图，⊙O中，弦AB＝3，半径BO＝，C是AB上一点且AC＝1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是　 　．
【举一反三3】如图，已知：在⊙O中，弦AB为8，圆心O到AB的距离为3．
（1）求圆的半径；
（2）若点P是AB上的一动点，试求OP最大值和最小值．
【举一反三4】如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求圆心O到弦BC的距离；
（2）求△ABC面积的最大值．
【题型12】利用垂径定理求弦心距
【典型例题】如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝12，CE的最大值为18，则EF的长为（　　）
A.8 B.6 C.4 D.2
【举一反三1】如图，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，BC边在直径EF上，且EF＝8，则这个正方形的面积为（　　）
A.16 B.15.4 C.12.8 D.12
【举一反三2】如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？（　　）
A.3 B.4 C. D.
【举一反三3】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5cm，CD＝8cm，则弦心距OE的长为　 　cm．
【举一反三4】已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长．
【举一反三5】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长．
【题型13】利用垂径定理求弦长
【典型例题】如图，在⊙O内，以弦AB为边作等边△ABE，AE、BE的延长线交⊙O于C、D两点，过O作OF⊥BD于点F，延长FO交AC于点G，若DE＝4，EG＝6，则AB的长为（　　）
A.8 B.9 C.10 D.12
【举一反三1】如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为点D，若⊙O的直径为10，BC＝8，则AB的长为（　　）
A. B. C.8 D.10
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AE＝2，BE＝10，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　）
A. B.8 C. D.10
【举一反三3】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA＝5，AB＝8，则AD的长为 　 　．
【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF＝2，EF＝4，求线段AC长．
【举一反三5】如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．
【题型14】垂径定理的应用
【典型例题】“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，E为圆上一点，＝，EF⊥CD于点F，且EF＝2.5米，则门洞的跨径CD的长为（　　）
A.0.5米 B.1米 C.1.2米 D.1.3米
【举一反三1】如图，某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形，一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道，连车带货一起最高为多少米（　　）
A.3m B.3.4m C.4m D.2.8m
【举一反三2】中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼 考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸…”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，经测量：弦AB＝120cm，过弦AB的中点C作CD⊥AB交圆弧于点D，且CD＝30cm，则该车轮的半径等于（　　）
A.90cm B.76cm C.30cm D.75cm
【举一反三3】如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝24米，拱高CD＝9米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是　 米．
【举一反三4】某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为 　 　米．
【举一反三5】唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．
【题型15】利用垂径定理求图形的面积
【典型例题】如图，一个长为2、宽为1的矩形ABCD内接于半圆O，矩形的长BC在半圆半径上，则半圆O的面积为（　　）
A. B. C.π D.2π
【举一反三1】⊙O上有A、B、C三点，且AB⊥BC，D、E分别为AB、BC的中点，AB＝BC＝10，则四边形BDOE的形状和面积分别是（　　）
A.矩形，100 B.正方形，25 C.菱形，25 D.任意四边形，无法计算
【举一反三2】在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的面积是（　　）
A.16πcm2 B.25πcm2 C.48πcm2 D.9πcm2
【举一反三3】⊙O的直径AB＝10，弦CD＝8，且CD⊥AB于E，则△ACD的面积 　 　．
【举一反三4】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　．
【举一反三5】如图，∠A＝45°，C为⊙O的弦AB的中点，AB＝2，求⊙O的面积．
苏科版（2024）九年级上册 2.2 圆的对称性（参考答案）
【题型1】垂径定理的概念
【典型例题】如图，P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】过P点作直径AB，过点P作弦CD⊥AB，如图，连接OC，
则PC＝PD，AB＝10，
在Rt△POC中，PC＝＝4，∴CD＝2CP＝8，
∴在过点P的所有⊙O的弦中，最长的弦长为10，最短的弦长为8，
而弦长为9的有2条，∴弦长为整数的弦的条数为4．
故选：C．
【举一反三1】如图，点A，B，C，D在圆上，弦AB和CD交于点E，则下列说法正确的是（　　）
A.若CD平分AB，则CD⊥AB
B.若CD⊥AB，则CD平分AB
C.若CD垂直平分AB，则圆心在CD上
D.若圆心在CD上，则CD垂直平分AB
【答案】C
【解析】A、若CD平分AB，圆心在CD上，则CD⊥AB，故A不符合题意；
B、若CD⊥AB，圆心在CD上，则CD平分AB，故B不符合题意；
C、若CD垂直平分AB，则圆心在CD上，故C符合题意；
D、若圆心在CD上，CD不一定垂直平分AB，故D不符合题意.
故选：C．
【举一反三2】已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有 　 　个．
【答案】3
【解析】如图，过O点作半径OC⊥AB于D，
则OD＝3，
而OC＝5，∴CD＝2，
∴上有一个点到弦AB所在直线的距离为2，
而弦AB所对的优弧上有2个点到直线AB的距离为2，
∴⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的弦．该图是轴对称图形，它的对称轴是 　 　．
【答案】过圆心O且垂直于线段AB的直线
【解析】过O作直线MN⊥AB于C，
∵MN过圆心O，MN⊥AB，∴AC＝BC，
即直线MN是线段AB的对称轴，
∴该图形的对称轴是直线MN（即是过圆心O且垂直于线段AB的直线）.
【举一反三4】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC＝BD．
【答案】证明：过点O作OE⊥AB，
∵OA＝OB，∴AE＝BE，
又∵在⊙O中，∴CE＝DE，∴AC＝BD.
【题型2】利用垂径定理求半径
【典型例题】如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为（　　）
A.4cm B.5cm C.6cm D.8cm
【答案】B
【解析】AB＝8cm，AC＝6cm，∴AD＝4，AE＝3，
∵四边形OEAD是矩形，∴OA＝5．
故选：B．
【举一反三1】如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，已知AB＝4，CD＝2，点O到弦AB的距离等于1，那么这两个圆的半径之比为（　　）
A.3：2 B.：2 C.： D.5：4
【答案】C
【解析】过O点作OE⊥AB，E点为垂足，连OC，OA，如图，
则OE＝1，
∵OE⊥AB，∴CE＝DE，AE＝BE，
而AB＝4，CD＝2，∴CE＝1，AE＝2，
在Rt△OCE中，OC＝＝；
在Rt△OAE中，OA＝＝；
∴OA：OC＝：，即两个同心圆的半径之比为：．
故选：C．
【举一反三2】如图，半径为10的⊙P与y轴交于点M（0，10），N（0，﹣6），则点P坐标为 　 　．
【答案】（﹣6，2）
【解析】作PA⊥MN，交MN于点B，交⊙P于点A，连接PM，如图，
∵点M（0，10），N（0，﹣6），∴点B的坐标为（0，2），∴MB＝10﹣2＝8，
∵PM＝10，∠PBM＝90°，∴PB＝＝＝6，
∵点P在第二象限，∴点P的坐标为（﹣6，2）.
【举一反三3】如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径长为 　 ．
【答案】5
【解析】过点O作OM′⊥AB于M′，连接OA，
则AM′＝AB＝4，OM′＝3，
由勾股定理得：OA＝＝＝5，即⊙O的半径长为5.
【举一反三4】如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC．
（1）求∠B的度数．
（2）若CE＝，求⊙O的半径．
【答案】解：（1）∵AE⊥BC，AE过圆心O，∴CE＝BE，∴AC＝AB，
同理AF＝BF，AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.
（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵CD⊥AB，AC＝BC，∴∠DCB＝＝30°，∴OC＝2OE，
∵CE＝，OC2＝OE2+CE2，
即（2OE）2＝OE2+（）2，解得：OE＝1（负数舍去），
∴OC＝2OE＝2，即⊙O的半径为2．
【举一反三5】若D是BC的中点，AD⊥BC，BC＝24，AD＝9，求⊙O的半径．
【答案】解：连接OB，OC，OD，
设⊙O的半径是r，
∵D是BC的中点，OB＝OC，∴OD⊥BC，
∵AD⊥BC，∴A、D、O共线，
∵BC＝24，AD＝9，∴BD＝BC＝12，OD＝r﹣9，
∵OB2＝BD2+OD2，∴r2＝（r﹣9）2+122，∴r＝12.5．
∴⊙O的半径是12.5．
【题型3】利用圆心角、弧、弦的关系求长度
【典型例题】如图，AB、CD是⊙O的直径，AB∥ED，则（　　）
A.AC＝AE
B.AC＞AE
C.AC＜AE
D.AC与AE的大小关系无法确定
【答案】A
【解析】连接OE，如图，
∵OE＝OD，∴∠1＝∠D，
∵AB∥DE，∴∠COA＝∠D，∠1＝∠AOE，∴∠COA＝∠AOE，∴AC＝AE．
故选：A．
【举一反三1】如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　）
A.2 B.2 C. D.1
【答案】A
【解析】如图，连接OA，OB，
∵AD＝BC，∴＝，∴＝，∴∠C＝∠CAD，
∵AD⊥BC∴∠AEC＝90°，∴∠C＝∠CAD＝45°，∴∠O＝2∠C＝90°，
∴AB＝OA＝2．
故选：A．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的弦，连接BO，作AC⊥BO交BO的延长线于点C，已知OC＝，BO＝2，点D是的中点，连接CD，则CD的长为 　　 ．
【答案】
【解析】如图，连接OA、OD、AD，
∵OA＝0B＝2，OC＝，AC⊥BO，∴∠OAC＝30°，∠AOC＝60°，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
在Rt△ABC中，AC＝，
∵点D是中点，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴△AOD为等边三角形，
∴AD＝AO＝2，
在Rt△ACD中，CD＝＝．
【举一反三3】如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE＝OF．
（1）求证：AE＝BF；
（2）求证：＝．
【答案】证明：（1）过O作OM⊥AB于M，连接OA、OB，
∵OA＝OB，OE＝OF，∴AM＝BM，EM＝FM，∴AM﹣EM＝BM﹣FM，
∴AE＝BF.
（2）∵OM⊥AB，OA＝OB，OE＝OF，
∴∠AOM＝∠BOM，∠EOM＝∠FOM，
∴∠AOM﹣∠EOM＝∠BOM﹣∠FOM，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴＝．
【举一反三4】如图，AB为⊙O的直径，，CD⊥AB于点D，交BE于F，连接CB．
求证：BC＝CF．
【答案】证明：连接AE，
∵，∴∠A＝∠FBC，
∵AB为直径，∴∠E＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，
∵CD⊥AB于D，∴∠FDB＝90°，∴∠CFB+∠ABE＝90°，∴∠A＝∠CFB，
∴∠FBC＝∠CFB，∴BC＝CF．
【题型4】圆心角的概念
【典型例题】如图，圆心角∠AOB＝25°，将AB旋转n°得到CD，则∠COD等于（　　）
A.25° B.25°+n° C.50° D.50°+n°
【答案】A
【解析】∵将AB旋转n°得到CD，∴＝，∴∠COD＝∠AOB＝25°.
故选：A．
【举一反三1】如图，AB，CD是⊙O的弦，延长AB，CD相交于点E，已知∠E＝30°，∠AOC＝100°，则所对的圆心角的度数是（　　）
A.30° B.40° C.50° D.70°
【答案】B
【解析】如图，连接OA，OB，OB，OD，
∵OA＝OC，∠AOC＝100°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠E＝30°，
∴∠EAC+∠ECA＝180°﹣30°＝150°，
∴∠OAB+∠OCD＝150°﹣40°﹣40°＝70°，
∴∠AOB+∠COD＝180°×2﹣70°×2＝220°，
∴∠BOD＝360°﹣100°﹣220°＝40°.
故选：B．
【举一反三2】如图所示，AB是圆O的一条弦．且AB＝OA．则弦AB所对的圆心角是（　　）
A.60°或120° B.60° C.30°或150° D.90°
【答案】B
【解析】∵AB＝OA，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，
∴AB所对的圆心角是60°．
故选：B．
【举一反三3】如图所示，已知扇形A的圆心角和扇形B的圆心角的度数相等，则扇形A的圆心角的度数为　 　．
【答案】135°
【解析】∴此扇形的圆心角的度数为：360°×25%＝90°，
∵扇形A的圆心角和扇形B的圆心角的度数相等，
∴扇形A的圆心角的度数为：（360°﹣90°）＝135°.
【举一反三4】如图，已知AB是⊙O的直径，PA＝PB，∠P＝60°，则弧CD所对的圆心角等于　 　°．
【答案】60
【解析】连接OC，OD，∵PA＝PB，∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∵OA＝OC＝OD＝OB，∴△COA，△DOB也是等边三角形，
∴∠COA＝∠DOB＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠COA﹣∠DOB＝60°．
【举一反三5】画图并计算：在半径为10cm的圆中，有一条长10cm的弦．
（1）求此弦所对的圆心角的度数；
（2）求圆心到此弦的距离．
【答案】解：（1）如图，易知△OAB是等边三角形，
所以弦AB所对的圆心角的度数为60°.
（2）根据垂径定理得AC＝5cm，再根据勾股定理易求得OC＝5cm．
【举一反三6】将一个圆分割成甲、乙、丙、丁四个扇形，使它们的圆心角的度数比为1：2：3：4，分别求出这四个扇形的圆心角的度数．
【答案】解：∵甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为1：2：3：4，
∴各个扇形的面积分别占整个圆面积的，，，，
∴各个扇形的圆心角的度数分别＝36°，360°×＝72°，360°×＝108°，360°×＝144°，
答：甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角的度数分别是36°，72°，108°，144°．
【题型5】弧的概念
【典型例题】下列说法中，错误的是（　　）
①弦是直径；
②半圆是弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④能够互相重合的弧是等弧；
⑤大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】①过圆心的弦是直径．故①错误；
②半圆就是一条弧．故②正确；
③长度相等的两条弧不一定是等弧．故③错误；
④在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧．故④正确；
⑤大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧是劣弧．故⑤错误；
综上所述，错误的结论有3个．
故选：C．
【举一反三1】在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（　　）
①的度数＝的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦的弦长等于所对的弦的弦长．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】∵在同圆或等圆中，的长度＝的长度，
∴和所对的圆心角相等，故②正确，
∴的度数＝的度数，故①正确，
∴和是等弧，故③正确，
∴所对的弦长等于所对的弦长，故④正确．
故选：D．
【举一反三2】如图，⊙O的直径AB与弦DE交于点C，且CD＝CO．若弧AD的度数为40°，则弧AE的度数为（　　）
A.50° B.60° C.75° D.85°
【答案】B
【解析】连接OD，OE，
∵弧AD的度数为40°，∴∠AOD＝40°，
∵CD＝CO，∴∠ODE＝∠AOD＝40°，
∵OD＝OE，∴∠E＝∠D＝40°，∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠AOE＝100°﹣40°＝60°，∴弧AE的度数是60°．
故选：B．
【举一反三3】已知圆的半径为1，弦AB＝，则弧AB的度数是　 　．
【答案】90°
【解析】如图，连接OA、OB，
∵OA＝OB＝1，AB＝，∴OA2+OB2＝AB2，
∴△OAB为直角三角形，∠AOB＝90°，∴弧AB的度数为90°．
【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝　 　．
【答案】60°
【解析】∵D、C是劣弧EB的三等分点，即＝＝，
∴∠EOD＝∠DOC＝∠COB＝40°，∴∠AOE＝180°﹣3×40°＝60°．
【举一反三5】如图所示，AB、CD是⊙O的两条直径，CE∥AB，求证：＝．
【答案】证明：连接OE，
∵CE∥AB，∴∠BOC＝∠C，∠AOE＝∠E，
∵OC＝OE，∴∠C＝∠E，∴∠BOC＝∠AOE，∴＝．
【题型6】利用圆心角、弧、弦的关系求角度
【典型例题】如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC＝CD＝DE＝EF＝FB，则∠COF＝（　　）
A.90° B.100° C.108° D.120°
【答案】C
【解析】∵AC＝CD＝DE＝EF＝FB，∴＝＝＝＝＝，
∴∠COF＝×180°＝108°.
故选：C．
【举一反三1】如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（　　）
A.180° B.150° C.135° D.120°
【答案】A
【解析】∵点A、B、C、D、E五等分圆，
∴＝＝＝＝＝＝72°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，
∵∠ADB＝＝×72°＝36°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝5×36°＝180°．
故选：A．
【举一反三2】如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，则∠EOB的度数为　 　．
【答案】69°
【解析】∵CD＝OA，OA＝OD，∴CD＝OD，
∵∠C＝23°，∴∠DOC＝∠C＝23°，∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝46°，
∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝46°，∴∠DOE＝180°﹣∠E﹣∠EDO＝88°，
∵∠DOC＝23°，∴∠EOB＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝180°﹣23°﹣88°＝69°.
【举一反三3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠ABC＝40°，点D为的中点，连接DC，求∠DCB的度数．
【答案】解：∵∠ABC＝40°，∴＝80°．
∵AB是⊙O的直径，∴＝180°﹣80°＝100°．
∵D为的中点，∴＝50°，∴∠BDC＝×50°＝25°．
【举一反三4】如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B，若BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．
【答案】解：设∠B＝x，
∵BD＝OD，∴∠DOB＝∠B＝x，∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2x，
∵∠AOC＝∠A+∠B，∴2x+x＝114°，解得x＝38°，
∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°.
【题型7】利用垂径定理求点的坐标
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形．则点C的坐标是（　　）
A.（1，2） B.（1，3） C.（2，3） D.（2，4）
【答案】B
【解析】作MN⊥CD于点N，连接MC，作CE⊥OA于点E．
则四边形MNCE是矩形．
∵点A的坐标是（10，0），点B的坐标是（8，0），∴OA＝10，OB＝8，
∵四边形OCDB是平行四边形，∴CD＝OB＝8．
∵MN⊥CD于点N，∴CN＝DN＝CD＝OB＝4．
∵四边形MNCE是矩形，∴EM＝CN＝4，∴OE＝OM﹣EM＝5﹣4＝1．
在直角△CMN中，CM＝OM＝5，MN＝＝＝3．
∴CE＝MN＝3．∴C的坐标是：（1，3）．
故选：B．
【举一反三1】如图，直径为1的圆在x轴上从3开始无滑动地向左滚动两周后，此圆与x轴的交点为P，此时圆所对应的圆心坐标为（　　）
A.（0.5，3﹣3π） B.（3﹣3π，0.5） C.（2﹣2π，0.5） D.（3﹣2π，0.5）
【答案】D
【解析】圆的周长为2π×＝π，
∵直径为1的圆在x轴上从3开始无滑动地向左滚动两周后，此圆与x轴的交点为P，
∴点P的横坐标为3﹣2π，∴此时圆所对应的圆心坐标为（3﹣2π，0.5）.
故选：D．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，直径为1个单位长度的圆与y轴交于点A（0，1），将圆沿x轴正方向滚动1周，点A到达点A′处，则点A′的坐标为 　 （用含π的式子表示）．
【答案】（π，1）
【解析】∵直径为1个单位长度的圆与y轴交于点A（0，1），∴圆的周长为π，
∴将圆沿x轴正方向滚动1周，点A到达点A′处，则点A′的坐标为（π，1）.
【举一反三3】如图，在直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的⊙A与x轴交于B、C两点，与y轴交于D、E两点.
（1）求点C、D的坐标；
（2）求线段DE的长及点E的坐标．
【答案】解：（1）连接AD．
∵A（3，0），AC＝5，∴OC＝8，∴C（8，0），
在Rt△AOD中，OD＝＝4，∴D（0，4）．
（2）∵AO⊥DE，∴OD＝OE＝4，∴DE＝8，E（0，﹣4）．
【题型8】弦的概念
【典型例题】A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（　　）
A.AB＞0 B.0＜AB＜5 C.0＜AB＜10 D.0＜AB≤10
【答案】D
【解析】∵圆中最长的弦为直径，∴0＜AB≤10．
故选：D．
【举一反三1】半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为（　　）
A.5cm B.4cm C.6cm D.3cm
【答案】B
【解析】连接OA，OB，过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，
∵OA＝4，∴AC＝AO＝2，∴AB＝4cm.
故选：B．
【举一反三2】已知⊙O的直径是4，⊙O上两点B、C分⊙O所得的劣弧与优弧之比为1：3，则弦BC的长为　 　．
【答案】2
【解析】∵圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，∴劣弧的度数为90°，
∴劣弧所对的圆心角的度数90°，
∵r＝2，∴BC＝＝2．
【举一反三3】如图，在⊙O中，已知弦AB所对的劣弧为圆的，⊙O的半径为R，求弦AB的长．
【答案】解：过O作OC⊥AB于C，∴AB＝2AC，
∵弦AB所对的劣弧为圆的，∴的度数为＝×360°＝120°，∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝30°，∴OC＝OA＝R，∴AC＝OC＝R，
∴AB＝R．
【题型9】圆的对称性
【典型例题】下列说法中，不正确的是（　　）
A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B.圆有无数条对称轴
C.圆的每一条直径都是它的对称轴
D.圆的对称中心是它的圆心
【答案】C
【解析】A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B．圆有无数条对称轴，正确；
C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误；
D．圆的对称中心是它的圆心，正确.
故选：C．
【举一反三1】圆是轴对称图形，它的对称轴是（　　）
A.圆的半径 B.垂直于弦的直径 C.过圆心的直径 D.以上都不对
【答案】D
【解析】圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，
圆的半径、垂直于弦的直径和过圆心的直径都是线段.
故选：D．
【举一反三2】如图，下列说法中正确的有（　　）
①圆是轴对称图形；
②线段AB是⊙O的对称轴；
③直线AB是⊙O的对称轴；
④⊙O绕圆心旋转90°后能与自身重合．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】①圆是轴对称图形，正确；
②线段AB是⊙O的对称轴，错误；
③直线AB是⊙O的对称轴，正确；
④⊙O绕圆心旋转90°后能与自身重合，正确.
故选：C．
【举一反三3】下列说法中，表述正确的是 　 　．（填序号）
①圆是轴对称图形，每一条直径都是圆的对称轴；
②垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
④圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心．
【答案】②④
【解析】∵圆是轴对称图形，并且每条直径所在直线都是圆的对称轴，∴①的说法不正确；
∵由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，∴②的说法正确；
∵平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，且被平分的弦不能是直径，∴③的说法错误；
∵圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心，∴④的说法正确，
综上可知：说法正确的是②④.
【举一反三4】如图，a，b，c中都有圆的图案，正是因为圆具有轴对称和中心对称的性质，这些图案才显得对称、美丽、和谐．
①如图的a，b，c中，是轴对称图形的是 　 　，是中心对称图形的有 　 　；
②请在图的d，e中，按要求设计：d是轴对称而非中心对称图形；e既是轴对称又是中心对称图形．
【答案】解：①三个图形中轴对称的为a、b、c，是中心对称的为a和c.
②如图所示，d是轴对称而非中心对称图形；e既是轴对称又是中心对称图形．
【题型10】利用垂径定理求图形的周长
【典型例题】如图，已知CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM：MD＝5：8，则⊙O的周长为（　　）
A. B. C.26π D.13π
【答案】D
【解析】连接OA，如图，
∵OM：MD＝5：8，∴设OM＝5x，MD＝8x，∴OA＝13x，
∵AB⊥CD，∴AM＝BM＝AB＝×12＝6，
在Rt△OAM中，（5x）2+62＝（13x）2，解得x＝，∴OA＝，
∴⊙O的周长为2π×＝13π．
故选：D．
【举一反三1】已知⊙O的弦AB＝2a，圆心O到该弦的距离为b，则圆的周长为（　　）
A.2πb2 B.2πa2 C.2π D.2π（a+b）2
【答案】C
【解析】设⊙O的半径为R，
∵弦AB＝2a，圆心O到该弦的距离为b，∴R＝＝，
∴圆的周长C＝2πR＝2π.
故选：C．
【举一反三2】⊙O的直径为10cm，弦AB的弦心距为3cm，则以弦AB为一边的⊙O内接矩形的周长为　 　cm．
【答案】28
【解析】如图，
∵⊙O的直径为10 cm，弦AB的弦心距为3cm，∴连接OA，OA＝5cm，
在Rt△AOG中，
∵OA＝5cm，OG＝3cm，∴AG＝＝＝4．
∴AB＝2AG＝2×4＝8cm．
连接BC，则BC＝10cm，
在Rt△ABC中，
∵BC＝10cm，AB＝8cm．∴AC＝＝＝6．
∴以弦AB为一边的⊙O内接矩形的周长为2AC+2AB＝2×6+2×8＝28cm．
【举一反三3】如图，是以边长为6的等边△ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上一动点，当BP经过弦AD的中点E时，四边形ACBE的周长为　 　．（结果用根号表示）
【答案】12+6
【解析】如图，AE＝DE．
∵点B是圆心，∴BE⊥AD；
又∵是以边长为6的等边△ABC一边AB为半径的四分之一圆周，∴∠ABD＝90°，
∴∠ABE＝45°，
∴在直角三角形ABE中，利用勾股定理知，AE＝BE＝3；
∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝6，
∴四边形ACBE的周长为：AC+BC+AE+EB＝12+6.
【举一反三4】如图，在⊙O中，P是弦AB上一点，AB＝10cm，PB＝4cm，OP＝2.5cm，求⊙O的周长．
【答案】解：过作OH⊥AB于H，连接OA，
∴AH＝BH＝AB＝×10＝5（cm），
∵PB＝4cm，∴PH＝BH﹣PB＝1（cm），
∵OP＝2.5cm，∴OH2＝OP2﹣PH2＝5.25，∴OA＝＝5.5（cm），
∴圆的半径5.5cm，∴⊙O的周长＝2π×5.5＝11π（cm）．
【举一反三5】如图，AB是⊙O的一条弦，C是AB上一点，且AC＝BC，连接OC并延长，交⊙O于点D，连接OA．若OA＝，CD＝1，求△AOC的周长．
【答案】解：∵AC＝BC，∴OC⊥AB，
∵OD＝OA＝，CD＝1，∴OC＝，
在Rt△AOC中，根据勾股定理，AC＝＝＝2，
∴△AOC的周长为2++＝6．
【题型11】与垂径定理有关的最值问题
【典型例题】如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　）
A.4 B.2 C. D.1
【答案】D
【解析】连接OD，如图，
∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×2＝1，
即CD的最大值为1.
故选：D．
【举一反三1】在平面直角坐标系中，若以A（2，﹣1）为圆心，2为半径的⊙A与过点B（1，0）的直线交于C、D，则CD的最小值为（　　）
A. B.2 C.2 D.4
【答案】C
【解析】如图，连接AC，作AE⊥CD于E，
∴CE＝DE＝CD，CE＝，
∵AC＝2，∴当AE取最大值时，CE最小，即CD最小，
∴当E点与B重合时，AE最大，
∵A（2，﹣1），B（1，0），∴AB2＝（2﹣1）2+（﹣1﹣0）2＝2，
∴CE的最小值为：＝＝，∴CD的最小值为2.
故选：C．
【举一反三2】如图，⊙O中，弦AB＝3，半径BO＝，C是AB上一点且AC＝1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是　 　．
【答案】﹣1
【解析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OP、OC，
∵AB＝3，∴由垂径定理可知：BD＝AD＝AB＝，
∵BO＝，∴由勾股定理可知：OD＝，
∵AC＝1，∴CD＝AD﹣AC＝，∴由勾股定理可知：OC＝1，
在△OCP中，由三角形三边关系可知：PC＞OP﹣OC，
∴当O、C、P三点共线时，PC可取得最小值，此时PC＝OP﹣OC＝﹣1.
【举一反三3】如图，已知：在⊙O中，弦AB为8，圆心O到AB的距离为3．
（1）求圆的半径；
（2）若点P是AB上的一动点，试求OP最大值和最小值．
【答案】解：（1）连接AO，过O作OD⊥AB，
∵弦AB为8，∴AD＝4，
∵圆心O到AB的距离为3，∴DO＝3，∴AO＝＝＝5，
∴圆的半径是5.
（2）∵点P是AB上的一动点，∴OP最大值是5，OP最小值是3．
【举一反三4】如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求圆心O到弦BC的距离；
（2）求△ABC面积的最大值．
【答案】解：（1）作OH⊥BC于H，交⊙O于D，连接OB，则点D为优弧BC的中点，
∵⊙O的半径为2，弦BC的长为2，∴OB＝2，BH＝，
∴OH＝，
∴圆心O到弦BC的距离为1.
（2）延长HO与⊙O交于点D，则D为的中点，OD＝2，
当A点与D点重合时，点A到BC的距离最大，此时△ABC面积的最大，
∴DH＝OD+OH＝2+1＝3，
∴△ABC面积的最大值为：．
【题型12】利用垂径定理求弦心距
【典型例题】如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝12，CE的最大值为18，则EF的长为（　　）
A.8 B.6 C.4 D.2
【答案】D
【解析】如图，连接OA，
∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB＝12，∴AE＝AB＝6，
当C，O，E在同一条直线上时CE最长，
设半径为r，则OE＝18﹣r，
在Rt△AOE中，OE2＝OA2﹣AE2，即（18﹣r）2＝r2﹣62，解得r＝10，
∴OE＝18﹣10＝8，∴EF＝OF﹣OE＝10﹣8＝2．
故选：D．
【举一反三1】如图，正方形ABCD的顶点A、D在半圆上，BC边在直径EF上，且EF＝8，则这个正方形的面积为（　　）
A.16 B.15.4 C.12.8 D.12
【答案】C
【解析】作OH⊥AD于H，连接OA．
设正方形的边长是x，
根据垂径定理得AH＝x，
在直角三角形OAH中，根据勾股定理得x2+x2＝16，
x2＝12.8．
故选：C．
【举一反三2】如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？（　　）
A.3 B.4 C. D.
【答案】D
【解析】作OD⊥AB于点D，如图所示，
由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3，∴AB＝8，∴AD＝BD＝4，∴CD＝2，
∴OC＝＝＝.
故选：D．
【举一反三3】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5cm，CD＝8cm，则弦心距OE的长为　 　cm．
【答案】3
【解析】∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×8＝4，
在Rt△OCE中，OE＝＝＝3（cm）．
【举一反三4】已知⊙O的弦AB长为10，半径长R为7，OC是弦AB的弦心距，求OC的长．
【答案】解：连接OA．
∵OC⊥AB，弦AB长为10，∴AC＝AB＝5．
根据勾股定理，得OC＝＝＝2．
【举一反三5】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长．
【答案】解：设OF＝a，连接OC，
∵AB⊥CD，OE⊥AC，OE和OF过圆心O，∴AE＝EC，CF＝FD，
∵OB＝OC＝OA＝5，
在Rt△OAE中，，
∴AE＝EC＝4，即AC＝4+4＝8，
在Rt△AFC和Rt△OFC中，由勾股定理得：CF2＝AC2﹣AF2＝OC2﹣OF2，
即82﹣（5+a）2＝52﹣a2，解得：a＝1.4，即OF＝1.4．
【题型13】利用垂径定理求弦长
【典型例题】如图，在⊙O内，以弦AB为边作等边△ABE，AE、BE的延长线交⊙O于C、D两点，过O作OF⊥BD于点F，延长FO交AC于点G，若DE＝4，EG＝6，则AB的长为（　　）
A.8 B.9 C.10 D.12
【答案】C
【解析】∵△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，
∵OF⊥BD∴∠GFE＝90°，∴∠EGF＝90°﹣∠AEB＝30°，∴，
∴DF＝DE+EF＝4+3＝7，
∵OF过圆心O，且OF⊥BD，∴BF＝DF＝7，∴BE＝EF+BF＝3+7＝10，
∴在等边△ABE中，AB＝BE＝10．
故选：C．
【举一反三1】如图，AB、BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为点D，若⊙O的直径为10，BC＝8，则AB的长为（　　）
A. B. C.8 D.10
【答案】A
【解析】连接OB，
∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，
由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4.
故选：A．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AE＝2，BE＝10，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　）
A. B.8 C. D.10
【答案】A
【解析】过点O作OM⊥CD于点M，连接OD，
∵AE＝2，BE＝10，∴AB＝2+10＝12，
∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB＝OD＝6，∴OE＝OA﹣AE＝6﹣2＝4，
∵∠AEC＝30°，∴∠OEM＝30°，∴OM＝OE＝2，
在Rt△ODM中，DM＝＝＝4，
∴CD＝2DM＝8．
故选：A．
【举一反三3】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA＝5，AB＝8，则AD的长为 　 　．
【答案】4
【解析】∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝8，∴AE＝BE＝4，
由勾股定理得：OE＝＝＝3，∴DE＝OD+OE＝5+3＝8，
由勾股定理得：AD＝＝＝4．
【举一反三4】如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上一点，EF⊥AB于E，连接OE，AC∥OE，OD⊥AC于D，若BF＝2，EF＝4，求线段AC长．
【答案】解：设OE＝x，则OF＝x﹣2，
由勾股定理得，OE2＝OF2+EF2，即x2＝（x﹣2）2+42，解得，x＝5，
∴OF＝3，
∵AC∥OE，OD⊥AC，∴OD⊥OE，
∵OA＝OE，EF⊥AB，∴△ADO≌△OFE，∴AD＝OF＝3，
∵OD⊥AC，∴AC＝2AD＝6．
【举一反三5】如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．
【答案】解：（1）证明：∵CD⊥AB，DF⊥CG，∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠EBD＝∠FBG，∴∠CDF＝∠G，
∵∠A＝∠CDF，∴∠A＝∠G，∴CA＝CG.
（2）连接OD．
设圆的半径为r，则OE＝8﹣r．
∵CD⊥AB，AB为直径，∴DE＝EC＝4．
在Rt△OED中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得r＝5．
∴EB＝r﹣OE＝2．
在Rt△DBE中，由勾股定理得：DB2＝42+22＝20，解得．
【题型14】垂径定理的应用
【典型例题】“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中，“圆”有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图1是某园林中的圆弧形门洞，其数学模型如图2所示，该圆弧形门洞的半径为1.3米，E为圆上一点，＝，EF⊥CD于点F，且EF＝2.5米，则门洞的跨径CD的长为（　　）
A.0.5米 B.1米 C.1.2米 D.1.3米
【答案】B
【解析】由题意得：EF＝2.5米，OE＝OC＝OD＝1.3米，∴OF＝1.2米，
∵EF⊥CD，∴（米），∴CD＝2CF＝1米.
故选：B．
【举一反三1】如图，某隧道的截面是一个半径为3.4m的半圆形，一辆宽3.2m的卡车恰好能通过该隧道，连车带货一起最高为多少米（　　）
A.3m B.3.4m C.4m D.2.8m
【答案】A
【解析】过O作OE⊥AB于E，
则∠OEB＝90°，AB＝DC＝3.2m，
由垂径定理得：AE＝BE＝m＝1.6m，
在Rt△BEO中，∠BEO＝90°，BE＝1.6m，OB＝3.4m，
由勾股定理得：OE＝＝3（m），
即连车带货一起最高为3m.
故选：A．
【举一反三2】中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼 考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸…”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，经测量：弦AB＝120cm，过弦AB的中点C作CD⊥AB交圆弧于点D，且CD＝30cm，则该车轮的半径等于（　　）
A.90cm B.76cm C.30cm D.75cm
【答案】D
【解析】连接OC，设⊙O的半径为R cm，
∵C为AB的中点且CD⊥AB，AB＝120cm，CD＝30cm，
∴O，C，D三点共线，
∴OC＝OD﹣CD＝（R﹣30）cm，AC＝ cm，
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA2＝AC2+OC2，即R2＝602+（R﹣30）2，
解得R＝75，即该车轮的半径等于75cm．
故选：D．
【举一反三3】如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝24米，拱高CD＝9米，那么圆弧形桥拱所在圆的半径是　 米．
【答案】
【解析】设圆弧形桥拱所在圆心为O，连接BO，DO，
可得：AD＝BD，OD⊥AB，
∵AB＝24米，拱高CD＝9米，∴BD＝AD＝12m，
设BO＝x m，则DO＝（x﹣9）m，
根据题意可得：BD2+DO2＝BO2，即122+（x﹣9）2＝x2，解得：x＝，
即圆弧形桥拱所在圆的半径是m．
【举一反三4】某隧道口横截面如图所示，上部分是圆弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高点E与DC的距离EF为4米，且弧DC所在圆的半径为10米，则路面AB的宽度为 　 　米．
【答案】16
【解析】设圆弧形所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在EF的延长线上，连接OC，
∵OE⊥CD，∴∠CFO＝90°，CF＝DF，
在Rt△CFO中，OC＝10，OF＝OE﹣EF＝10﹣4＝6，
∴CF＝＝＝8，∴AB＝CD＝2CF＝16，
即路面AB的宽度为16米．
【举一反三5】唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长8m，设圆心为O，OC⊥AB交水面AB于点D，轮子的吃水深度CD为2m，求该桨轮船的轮子直径．
【答案】解：设半径为r m，则OA＝OC＝r m，
∴OD＝（r﹣2）m．
∵AB＝8m，OC⊥AB，∴AD＝4m．
在Rt△ODA中有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+4，解得r＝5m，
则该桨轮船的轮子直径为10m．
【题型15】利用垂径定理求图形的面积
【典型例题】如图，一个长为2、宽为1的矩形ABCD内接于半圆O，矩形的长BC在半圆半径上，则半圆O的面积为（　　）
A. B. C.π D.2π
【答案】C
【解析】∵矩形的长BC在半圆半径上，∴BC的中点O即为半圆的圆心．
过点O作OE⊥AD，连接OD，
∵AD＝2，CD＝1，∴DE＝AD＝1，∴OD＝＝＝，
∴S半圆＝π×（）2＝π．
故选：C．
【举一反三1】⊙O上有A、B、C三点，且AB⊥BC，D、E分别为AB、BC的中点，AB＝BC＝10，则四边形BDOE的形状和面积分别是（　　）
A.矩形，100 B.正方形，25 C.菱形，25 D.任意四边形，无法计算
【答案】B
【解析】∵D、E分别为AB、BC的中点，
∴OE⊥AB，OD⊥BC，BE＝AB＝5，BD＝BC＝5，∴∠BEO＝∠BDO＝90°，
而AB⊥BC，∴∠EBD＝90°，∴四边形BDOE为矩形，
而BE＝BD＝5，∴四边形BDOE为正方形，且正方形的面积＝52＝25．
故选：B．
【举一反三2】在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的面积是（　　）
A.16πcm2 B.25πcm2 C.48πcm2 D.9πcm2
【答案】B
【解析】如图所示：
∵AB＝8cm，OD＝3cm，OD⊥AB，∴AD＝AB＝4cm，
∴OA＝＝＝5cm，∴S⊙O＝52π＝25πcm2．
故选：B．
【举一反三3】⊙O的直径AB＝10，弦CD＝8，且CD⊥AB于E，则△ACD的面积 　 　．
【答案】8或32
【解析】连接OC，∵直径AB＝10，∴OA＝OC＝OB＝5，
∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，
又∵CD＝8，∴CE＝DE＝4，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，∴OE＝3，
如图，若AE＞BE，∴AE＝OA+OE＝5+3＝8，∴S△ACD＝CD AE＝×8×8＝32，
同理，若AE＜BE，则AE＝2，∴S△ACD＝CD AE＝×8×2＝8.
【举一反三4】如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，若AB＝10，CD＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　．
【答案】20
【解析】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，CD＝8，∴CH＝DH＝4，
∵OC＝OD，∴Rt△COH≌Rt△DOH（HL），∴S△COH＝S△DOH，
故图中阴影部分的面积为：S△ABD＝AB DH＝×10×4＝20．
【举一反三5】如图，∠A＝45°，C为⊙O的弦AB的中点，AB＝2，求⊙O的面积．
【答案】解：∵AC＝CB，∴OC⊥AB，
∵∠A＝45°，∴AC＝OC＝AB＝1，∴OA＝＝＝，
∴⊙O的面积＝π×（）2＝2π．