苏科版（2024）九年级上册 2.1 圆 题型梳理 讲义【含答案】

苏科版（2024）九年级上册 2.1 圆
【题型1】同心圆
【典型例题】已知两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，那么点P在（　　）
A.小圆内 B.大圆内 C.小圆外大圆内 D.大圆外
【举一反三1】两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（　　）
A.OP＞3cm B.OP＜5cm C.3cm＜OP＜5cm D.OP＞5cm
【举一反三2】如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是（　　）
A.OA为半径的圆 B.OB为半径的圆 C.OC为半径的圆 D.OD为半径的圆
【举一反三3】已知点P是以O为圆心，分别以2cm和5cm为半径的两个同心圆所围成的圆环中的一点，则OP的取值范围是 　 　．
【举一反三4】如图，在两个同心圆中，大圆的半径OA和OB分别交小圆于点C和D，连接AD、BC，交于点P．
（1）证明：△OAD≌△OBC；
（2）证明：△PAC≌△PBD；
（3）问：点P在∠AOB的平分线上吗？为什么？
【题型2】判别一个点与圆的位置关系
【典型例题】⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，则AO的长可以是（　　）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　）
A.点A在⊙C内 B.点A在⊙C上 C.点A在⊙C外 D.无法确定
【举一反三2】在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，长为半径作⊙O．若点P的坐标为（1，1），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
【举一反三3】设OA＝m，⊙O的半径r＝n，且|m﹣1|+＝0，则点A在圆　 　．
【举一反三4】已知⊙O的半径是4cm，点A、B、C与圆心O的距离分别为4cm、3cm、5cm．则点A在　 　，点B在　 　，点C在　 　．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
【举一反三6】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP＝m，且m使关于x的方程有实数根，试确定点P与⊙O的位置．
【题型3】点与圆位置关系中的最值问题
【典型例题】已知A是⊙O上的一个动点，P是⊙O所在平面内的一个定点．若PA的最大值为9，最小值为3，则⊙O的半径为（　　）
A.6 B.12 C.3或6 D.6或12
【举一反三1】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（　　）
A.a B.b C.a+b D.a﹣b
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P是AB的中点，则OP的最小值是　 　．
【举一反三3】如图，△ABO为等边三角形，OA＝4，动点C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，点D为BC中点，连接AD，则线段AD长的最小值为　　 ．
【举一反三4】如图所示，D为等边△ABC的边BC的中点，AB＝2，动点M满足AM⊥CM．
（1）求证：点A，D，C，M在同一个圆上；
（2）连接BM，求线段BM的最大值与最小值．
【举一反三5】如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP、OM，若⊙O的半径为2，OP＝4，求线段OM的最小值．
【题型4】利用圆的性质求角度
【典型例题】有一半圆片（其中圆心角∠AED＝52°）在平面直角坐标系中，按如图所示放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O距离最大，则n为（　　）°．
A.64 B.52 C.38 D.26
【举一反三1】如图，△ABC中，∠A＝50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量∠DOE的度数是（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　）
A.10° B.15° C.20° D.25°
【举一反三3】如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为 　 　．
【举一反三4】如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，∠B＝28°，求∠BOC的度数．
【举一反三5】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
【题型5】利用圆的性质计算长度或面积
【典型例题】如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三1】如图中奥迪车商标的长为34cm，宽为10cm，则d的值为（　　）
A.14 B.16 C.18 D.20
【举一反三2】如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A、B，则△AOB的面积的最大值为　 　．
【举一反三3】如图所示，最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的几倍？阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的多少？
【举一反三4】如图，以AB为直径的圆中，点C为直径AB上任意一点，若分别以AC，BC为直径画半圆，且AB＝6cm，求所得两半圆的长度之和．
【题型6】圆的基本概念
【典型例题】某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则（　　）
A.W1＜W2 B.W1＞W2 C.W1＝W2 D.无法确定
【举一反三1】如图，甲沿着ACB（一个半圆）由A到B，乙沿着ADEFB（三个半圆）由A到B，同时出发，速度相等，则（　　）
A.甲先到 B.乙先到 C.甲、乙同时到 D.不确定
【举一反三2】如果圆的半径为4，则弦长x的取值范围是　 　．
【举一反三3】如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°．
求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
苏科版（2024）九年级上册 2.1 圆（参考答案）
【题型1】同心圆
【典型例题】已知两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，那么点P在（　　）
A.小圆内 B.大圆内 C.小圆外大圆内 D.大圆外
【答案】C
【解析】∵两个同心圆的圆心为O，半径分别是2和3，且2＜OP＜3，∴r＜OP＜R，
∴点P在小圆外大圆内．
故选：C．
【举一反三1】两个同心圆的圆心为点O，大圆的半径为5cm，小圆的半径为3cm．若点P在大圆内部但在小圆外部，则（　　）
A.OP＞3cm B.OP＜5cm C.3cm＜OP＜5cm D.OP＞5cm
【答案】C
【解析】∵P在大圆内部，∴OP＜5cm，
∵P在小圆外部，∴OP＞3cm，∴3cm＜OP＜5cm．
故选：C．
【举一反三2】如图是一个由四个同心圆构成的靶子示意图，点O为圆心，且OA＝AB＝BC＝CD＝5，那么周长是接近100的圆是（　　）
A.OA为半径的圆 B.OB为半径的圆 C.OC为半径的圆 D.OD为半径的圆
【答案】C
【解析】根据圆的周长公式，得若2πR＝100，则R≈16根据题意中的数据，OC最接近．
故选：C．
【举一反三3】已知点P是以O为圆心，分别以2cm和5cm为半径的两个同心圆所围成的圆环中的一点，则OP的取值范围是 　 　．
【答案】2cm＜OP＜5cm
【解析】∵两圆是同心圆，大圆的半径为5cm，小圆的半径为2cm，
∴点P在圆环内，则点P在大圆的内部，小圆的外部，
∴OP的取值范围是：2cm＜OP＜5cm.
【举一反三4】如图，在两个同心圆中，大圆的半径OA和OB分别交小圆于点C和D，连接AD、BC，交于点P．
（1）证明：△OAD≌△OBC；
（2）证明：△PAC≌△PBD；
（3）问：点P在∠AOB的平分线上吗？为什么？
【答案】解：（1）证明：在△OAD和△OBC中，，
∴△OAD≌△OBC（SAS）.
（2）证明：∵△OAD≌△OBC，∴∠A＝∠B．
∵OA＝OB，OC＝OD，∴OA﹣OC＝OB﹣OD，即AC＝BD，
在△PAC和△PBD中，，
∴△PAC≌△PBD（AAS）.
（3）点P在∠AOB的平分线上．理由如下：
连接OP，
∵△PAC≌△PBD，∴AP＝BP，
在△PAO和△PBO，，∴△PAO≌△PBO（SSS），∴∠AOP＝∠BOP，
∴OP平分∠AOB，即点P在∠AOB的平分线上．
【题型2】判别一个点与圆的位置关系
【典型例题】⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，则AO的长可以是（　　）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
【答案】D
【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A在⊙O外，∴点A到圆心O的距离大于圆的半径.
故选：D．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，以C为圆心，BC为半径作⊙C，则点A与⊙C的位置关系是（　　）
A.点A在⊙C内 B.点A在⊙C上 C.点A在⊙C外 D.无法确定
【答案】A
【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝8，
∵AC＝6＜BC，∴点A在⊙C内.
故选：A．
【举一反三2】在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，长为半径作⊙O．若点P的坐标为（1，1），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.不能确定
【答案】B
【解析】∵点P的坐标为（1，1），∴OP＝，
又∵以原点O为圆心，长为半径作⊙O，∴OP长等于圆O的半径长，∴点P在圆上.
故选：B．
【举一反三3】设OA＝m，⊙O的半径r＝n，且|m﹣1|+＝0，则点A在圆　 　．
【答案】内
【解析】根据非负性的性质，显然绝对值与根号里都应等于0，
从而由得m＝1，n＝3，所以m＜r，即圆心到点A的距离小于半径，
所以点A在⊙O的内部．
【举一反三4】已知⊙O的半径是4cm，点A、B、C与圆心O的距离分别为4cm、3cm、5cm．则点A在　 　，点B在　 　，点C在　 　．
【答案】圆上，圆内，圆外
【解析】∵⊙O的半径是4cm，点A、B、C与圆心O的距离分别为4cm、3cm、5cm，
∴点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外．
【举一反三5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠D＝90°，AB的中点为O．求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上．
【答案】证明：连接OC，OD，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB的中点为O，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AB，
∴A，B，C，D四点在以O为圆心，OA长为半径的圆上．
【举一反三6】设⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP＝m，且m使关于x的方程有实数根，试确定点P与⊙O的位置．
【答案】解：∵关于x的方程有实数根，
∴b2﹣4ac＝（2）2﹣4×2（m﹣1）＝8﹣8m+8≥0，∴m≤2，
∵⊙O的半径为2，点P到圆心的距离OP＝m，∴点P与⊙O的位置是：圆上或圆内．
【题型3】点与圆位置关系中的最值问题
【典型例题】已知A是⊙O上的一个动点，P是⊙O所在平面内的一个定点．若PA的最大值为9，最小值为3，则⊙O的半径为（　　）
A.6 B.12 C.3或6 D.6或12
【答案】C
【解析】若点P在圆外，则⊙O的直径为9﹣3＝6，所以⊙O的半径为3；
若点P在圆内，则⊙O的直径为9+3＝12，所以⊙O的半径为6；
综上，⊙O的半径为3或6.
故选：C．
【举一反三1】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（　　）
A.a B.b C.a+b D.a﹣b
【答案】C
【解析】空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
【举一反三2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P是AB的中点，则OP的最小值是　 　．
【答案】2.5
【解析】根据题意，当P在⊙O内，且OP+PA＝OA时，OP有最小值，如图，
∵A（8，0），⊙O半径为3，∴OA＝8，OB＝3，∴AB＝8+3＝11，
∵P是AB的中点，∴AP＝5，5，∴OP＝OA﹣AP＝8﹣5.5＝2.5，
∴OP的最小值是2.5.
【举一反三3】如图，△ABO为等边三角形，OA＝4，动点C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，点D为BC中点，连接AD，则线段AD长的最小值为　　 ．
【答案】
【解析】如图1，取OB的中点E，
在△OBC中，DE是△OBC的中位线，
∴，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，
∴求AD的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值，
如图2，
当D在线段AE上时，AD取最小值．
【举一反三4】如图所示，D为等边△ABC的边BC的中点，AB＝2，动点M满足AM⊥CM．
（1）求证：点A，D，C，M在同一个圆上；
（2）连接BM，求线段BM的最大值与最小值．
【答案】解：（1）证明：连接AD，取AC的中点O，连接OD，OM．
∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，∴AD⊥BC，
∵AM⊥CM，∴∠ADC＝∠AMC＝90°，
∵OA＝OC，∴OD＝OA＝OC＝OM，∴A，D，C，M四点共圆.
（2）连接OB．
∵AB＝AC＝BC＝2，AO＝OC，∴BO⊥AC，∴BO＝＝＝，
∵OM＝OA＝OC＝1，∴OB﹣OM≤BM≤OB+OM，∴﹣1≤BM≤+1．
∴BM的最大值为+1，最小值为﹣1．
【举一反三5】如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP、OM，若⊙O的半径为2，OP＝4，求线段OM的最小值．
【答案】解：设OP为⊙O交于点N，连接MN，OQ，如图，
∵OP＝4，ON＝2，∴N是OP的中点．
∵M是PQ的中点，N是OP的中点，∴MN为△POQ的中位线，
∴MN＝OQ＝×2＝1，
∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上．
∵当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．
【题型4】利用圆的性质求角度
【典型例题】有一半圆片（其中圆心角∠AED＝52°）在平面直角坐标系中，按如图所示放置，若点A可以沿y轴正半轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O距离最大，则n为（　　）°．
A.64 B.52 C.38 D.26
【答案】D
【解析】连接OE、OD，如图，
∵OD≤OE+DE（当O、E、D共线时取等号），
∴当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大，
则∠AED＝∠EAO+∠EOA，
而AE＝BE，所以EA＝EO＝EB，所以∠EAO＝∠EOA，
所以n＝∠AED＝26°．
故选：D．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠A＝50°，O是BC的中点，以O为圆心，OB长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，测量∠DOE的度数是（　　）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】D
【解析】如图，
根据题意得：OC＝OB＝OD＝OE，
∵∠A＝50°，∴∠B+∠C＝130°，∴∠CEO+∠BDO＝130°，∴∠AEO+∠ADO＝230°，
∴∠EOD＝360°﹣∠A﹣∠AEO﹣∠ADO＝360°﹣50°﹣230°＝80°.
故选：D．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝（　　）
A.10° B.15° C.20° D.25°
【答案】A
【解析】∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°，
∵CD＝CB，∴∠BCD＝180°﹣2×50°＝80°，∴∠ACD＝90°﹣80°＝10°.
故选：A．
【举一反三3】如图，A，B，C是⊙O上三点，∠A＝80°，∠C＝60°，则∠B的大小为 　 　．
【答案】140°
【解析】连接OB，如图，
∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA＝80°，
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠C＝60°，∴∠ABC＝∠OBA+∠OBC＝80°+60°＝140°．
【举一反三4】如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，∠B＝28°，求∠BOC的度数．
【答案】解：∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝62°，
而∠ACO＝∠BOC+∠B，∴∠BOC＝62°﹣28°＝34°．
【举一反三5】如图，CD是⊙O的直径，点A在DC的延长线上，∠A＝20°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC．
（1）求∠AOB的度数．
（2）求∠EOD的度数．
【答案】解：（1）连接OB，如图，
∵AB＝OC，OB＝OC，∴AB＝BO，∴∠AOB＝∠1＝∠A＝20°.
（2）∵∠2＝∠A+∠1，∴∠2＝2∠A，
∵OB＝OE，∴∠2＝∠E，∴∠E＝2∠A，∴∠DOE＝∠A+∠E＝3∠A＝60°．
【题型5】利用圆的性质计算长度或面积
【典型例题】如图，AB是⊙O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CH⊥AB，垂足为H，点M是BC的中点．若⊙O的半径是3，则MH长的最大值是（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A
【解析】∵CH⊥AB，垂足为H，∴∠CHB＝90°，
∵点M是BC的中点．∴MH＝BC，
∵BC的最大值是直径的长，⊙O的半径是3，∴MH的最大值为3.
故选：A．
【举一反三1】如图中奥迪车商标的长为34cm，宽为10cm，则d的值为（　　）
A.14 B.16 C.18 D.20
【答案】C
【解析】∵宽为10cm，∴圆的直径是10cm，
∴圆的重叠部分的宽是（40﹣34）÷3＝2cm，∴d＝20﹣2＝18cm．
故选：C．
【举一反三2】如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A、B，则△AOB的面积的最大值为　 　．
【答案】6
【解析】∵AB为圆的直径，∴AB＝4，
∴当点O到AB的距离最大时，△AOB的面积的最大值，
即OM⊥AB时，△AOB的面积的最大值，最大值为×3×4＝6．
【举一反三3】如图所示，最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的几倍？阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的多少？
【答案】解：3+2＝5（厘米），
（3.14×52）÷（3.14×22）
＝52÷22
＝，
（×3.14×52﹣×3.14×32﹣×3.14×22）÷（3.14×32）
＝[×（52﹣32﹣22）]÷32
＝6÷9
＝．
答：最外侧大圆的面积是半径为2厘米的小圆面积的倍，阴影部分的面积是半径为3厘米的圆的面积的．
【举一反三4】如图，以AB为直径的圆中，点C为直径AB上任意一点，若分别以AC，BC为直径画半圆，且AB＝6cm，求所得两半圆的长度之和．
【答案】解：所得两半圆的长度之和＝ 2π AC+ 2π AB
＝π （AC+BC）
＝π 6
＝3π（cm）．
答：所得两半圆的长度之和为3πcm．
【题型6】圆的基本概念
【典型例题】某公园计划砌一个形状如图（1）的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，若两种方案砌各圆形水池的周边需用的材料费分别为W1和W2，则（　　）
A.W1＜W2 B.W1＞W2 C.W1＝W2 D.无法确定
【答案】C
【解析】在图（1）中，W1＝2×2πr＝4πr，
在图（2）中，W2＝2πr+2π +2π +2π ＝2π（r+++）＝4πr，
所以W1＝W2，即两种方案各圆形水池的周边需要的材料一样多．
故选：C．
【举一反三1】如图，甲沿着ACB（一个半圆）由A到B，乙沿着ADEFB（三个半圆）由A到B，同时出发，速度相等，则（　　）
A.甲先到 B.乙先到 C.甲、乙同时到 D.不确定
【答案】C
【解析】设三个半圆的半径分别为r1、r2、r3，则半圆ACB的半径为（r1+r2+r3），
∵半圆ACB的长度为×2π×（r1+r2+r3）＝π（r1+r2+r3），
三个小半圆的长度的和为×2π×r1+×2π×r2+×2π×r3＝π（r1+r2+r3），
∴半圆ACB的长度与三个小半圆的长度的和相等，
∵甲、乙同时出发，速度相等，
∴甲、乙同时到达．
故选：C．
【举一反三2】如果圆的半径为4，则弦长x的取值范围是　 　．
【答案】0＜x≤8
【解析】∵直径为圆中最长的弦，∴0＜x≤8．
【举一反三3】如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°．
求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．
【答案】证明：取AB的中点O，连接OC，OD，
∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°，
∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OB＝OC＝OD．
∴A、B、C、D四点在同一个圆上．