21.3 实际问题与一元二次方程 同步练习（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.3 实际问题与一元二次方程
第 1 课时 传播与数字等代数问题
知识技能巩固练
1.有一个人患了流感后，经过两轮传染后共有144个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意可列方程 ( )
2.若两个连续奇数的积为63，则这两个数的和为 ( )
A.16 B.17 C.±16 D.±17
3.(教材习题21.3T4 变式)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.随着中考结束，初三某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送了 1980 张照片.若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为 .
5. 如图21-3-1是2024 年8月的月历,在此月历上可以用一个方框圈出4个数.若圈出的4个数中最小数与最大数的乘积为209，则这个最小数为 .
6.一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且个位上的数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数.
7.为增强学生的身体素质，提高学生足球运动的竞技水平，某市开展“希望杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场).现计划安排 21 场比赛，则应邀请多少个球队参赛
8.(教材“探究1”变式)某学校在校师生及工作人员共600 个人，其中一个学生患了某种传染病，经过两轮传染后共有64个人患了该病.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；
(2)如果不及时控制，第三轮传染后学校还有多少个人未被传染(第三轮传染后仍未有治愈者)
能力提升综合练
9.某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了 10 条航线，则这个航空公司共有飞机场 ( )
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
10.读诗词解题：(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，周瑜寿龄是何数
11.我们都知道连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段是多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有 2 条，五边形的对角线有5条.
(1)六边形的对角线有 条，七边形的对角线有 条.
(2)多边形的对角线可以共有 20 条吗 如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由.
素养提升创新练
12.[模型观念]某班共有48名同学，如果每两名同学之间仅通一次电话，那么全班同学共通多少次电话呢 我们可以用下面的方式来解决问题.
用点 A ,A ,A ,…,A 分别表示第1 名同学、第2名同学、第3 名同学……第48名同学，把该班人数x与通电话次数y之间的关系用如图21-3-2所示的模型表示：
(1)图④中 y 的值为 ,图⑤中 y 的值为 ；
(2)通过探索发现，通电话次数 y 与该班人数x 之间的关系式为 ，当x=48时,对应的y= ;
(3)若该班全体女生相互之间共通电话190次，则该班共有多少名女生
第2 课时 平均变化率与销售问题
知识技能巩固练
1.2022 年—2024 年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的年平均增长率为x，下列方程正确的是 ( )
C.5.76(1+2x)=6.58
2.某电影一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约 3.3亿元，第二天、第三天持续增长，前三天累计票房收入约 10.923 亿元.若第二天、第三天的票房收入按相同的增长率增长，则这个增长率为 ( )
A.5% B.10% C.15% D.20%
3.某商店销售连衣裙，每条盈利40 元，每天可以销售20条.商店决定降价销售，经调查，每条连衣裙每降价 1 元，商店每天可多销售2条.若商店想要每天盈利1200 元，则每条连衣裙应降价 ( )
A.5元 B.10元
C.20元 D.10元或20元
4.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由225元降至144元，则平均每次降价的百分率为 .
5.某种病毒的检测费用由 150 元/人经过两次价格调整降到 6 元/人，则平均每次降价的百分率为 .
6.台风“杜苏芮”牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款 3000 元，第三天收到捐款4320元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款的增长率；
(2)按照(1)中收到的捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款
7.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在某 APP 上对一款成本价为30元/件的小商品进行直播销售，如果按每件40 元销售，每月可售出600件.通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每月就少售出10件.为了使每月的销售利润为 10000 元，每件小商品的售价应定为多少元 这时电商每月能售出小商品多少件
能力提升综合练
8.某超市销售一批玩具，平均每天可售出 120件，每件盈利4 元.经市场调查发现：每件玩具的售价每上涨1元，平均每天的销售量就减少10件；每件玩具的售价每下降1元，平均每天的销售量就增加10件.爱动脑的嘉嘉发现：在一定范围内，每件玩具的售价上涨a 元与下降b 元平均每天所获得的利润相同，则a与b满足 ( )
A. a-b=4 B. a-b=8
C. a+b=4 D. a+b=8
9.随着旅游旺季的到来，某湿地公园的游客人数逐月增加，3月份游客人数为8万人次，5月份游客人数为12.5万人次.
(1)求这两个月中该湿地公园游客人数的月平均增长率；
(2)预计6月份该湿地公园的游客人数会继续增长，但增长率不超过前两个月的月平均增长率。已知该湿地公园6月1日至 6月10日已接待游客 6.625 万人次，则 6月份后 20天日均接待游客人数最多是多少万人次？
10.某学校为了绿化校园环境，向园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价 120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元。该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
素养提升创新练
11.[模型观念、应用意识]某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，该村在今年1月份销售256包，2，3月份该礼包十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量为400包。
(1)若设2，3月份销售量的月平均增长率为a%，求a的值；
(2)若农产品礼包成本价为每包25元，原售价为每包40元，该村在今年4月份进行降价促销。经调查发现，若该农产品礼包价格在3月份的基础上，每包降价1元，每月的销售量可增加5包，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？
第 3 课时 几何图形问题
知识技能巩固练
1.如图21-3-3，学校课外生物小组的试验园地的形状是长 35 米、宽20 米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为 ( )
A.35×20-35x-20x+2x =600
B.35×20-35x-2×20x=600
C.(35-2x)(20-x)=600
D.(35-x)(20-2x)=600
2.某农户承包了一块矩形荒地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图21-3-4所示.已知矩形荒地ABCD中,AD=52m,AB=30m,阴影部分设计为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为1400 m ，则通道宽为 ( )
A.1m B.2m
C.40 m D.1m 或40m
3. 如图21-3-5,小明同学用一张长11 cm,宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为 21 cm 的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计).设剪去的正方形边长为 x cm，则可列出关于x的方程为 .
4.一条长为12 cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形.若两个正方形的面积和为5 cm ，则这两个正方形的边长分别为 .
5.如图 21-3-6,小明家有一块长1.5m 、宽1m 的矩形地毯,为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的 2 倍，则花色地毯的宽为 m.
6.如图21-3-7，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园AB-CD(围墙MN 最长可利用25 m).试设计一种砌法，使所砌三面墙的总长度为50m，且矩形花园的面积为300 m .
7. 如图21-3-8,要在长、宽分别为50米、40米的矩形草坪内建一个正方形的观赏亭.为方便行人，分别从东、南、西、北四个方向各修一条宽度相同的矩形小路与亭子相连，若小路的宽是正方形观赏亭边长的 ，小路与观赏亭的面积之和占草坪面积的 ，求小路的宽.
能力提升综合练
8. 如图21-3-9,某小区计划在一个长16 m,宽9 m 的矩形场地ABCD 内修建若干条同样宽的小路，使竖直的小路与 AB 平行，水平的小路与AD 平行，其余部分种草.已知草坪部分的总面积为112m .设小路的宽为x m，若x满足方程 则修建小路的示意图是 ( )
9. (教材习题21.3T9 变式)如图21-3-10,有一块长5米、宽4 米的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同，其所占面积是整个地毯面积的
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价 200元，其余部分每平方米造价 100元，求地毯的总造价.
素养提升创新练
10. 已知:如图 21-3-11,在△ABC 中,∠B =90°,AB=5cm ,BC=7 cm.点 P 从点 A 开始沿AB 边向点 B 以 1 cm/s 的速度匀速运动，同时点 Q 从点 B 开始沿BC 边向点C 以2cm /s的速度匀速运动.当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为 xs(x>0).
(1) s后,△PBQ的面积为4 cm ;
(2)几秒后,PQ 的长度为 5cm
(3)△PBQ 的面积能否为 7 cm 请说明理由.
21.3第 1 课时 传播与数字等代数问题
1. A 2. C 3. C 4. x(x-1)=1980
5. 11 6. 36 或25 7. 7个
8. (1)7 个人 (2)88个人 9. B
10.解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x-3.
依题意，得
解得
若x=5，则周瑜去世时的年龄是25岁，而由题意知周瑜而立之年督东吴，所以周瑜去世时的年龄大于 30 岁，故25 不合舍去；
若x=6，则周瑜去世时的年龄是36岁，符合题意.
故周瑜去世时的年龄为36岁.
11. (1)9 14
(2)多边形的对角线可以共有20条，这个多边形的边数为8
12. (1)1015 (2)y=x(x )1128(3)20名
第 2课时 平均变化率与销售问题
1. A 2. B 3. D 4. 20% 5. 80%
6. (1)20% (2)5184元
7.解：设每件小商品的售价应定为 y元.
由题意得(y-30)[600-10(y-40)]=10000.
整理，得
解得 y =50,y =80.
当y=50时，每件小商品的售价为50元，每月能售出小商品600-10×(50-40)=500(件);当y=80时，每件小商品的售价为80元，每月能售出小商品600-10×(80-40)=200(件).
8. B 9. (1)25% (2)0.45万人次
10. 80棵
11. 解:(1)由题意,得: 解得 (不合题意，舍去).故a的值是25.
(2)设当农产品礼包每包降价 m元时，这种农产品在4月份可获利4620元。
根据 题 意,得 (40 - 25 - m) (400 +5m)=4620,
解得 不合题意，舍去).(
答：当农产品礼包每包降价4 元时，这种农产品在4月份可获利4620元.
第 3课时 几何图形问题
1. C 2. A 3. (11-2x)(7-2x)=21
4. 1 cm,2cm 5. 0.25
6. 当AB的长为15m,BC的长为20m时,可使矩形花园的面积为300m
7. 2米 8. C 9. (1) (2)2425元
10.解：由题意，得AP=x cm,BP=(5-x) cm,BQ=2x cm.
(1)由 得 2x=4,
整理，得. 解得 当x=4时,2x=8>7,
说明此时点 Q越过点C，不符合题意，舍去.所以 1 s后,△PBQ的面积为4 cm .
故答案为1.
(2)在 Rt△PBQ中,由勾股定理,得BP +
即 整理，得 解得 (不合题意，舍去)，
答:2 s后,PQ的长度为5cm.
(3)不能.理由：假设△PBQ 的面积为7 cm ,则由题意,得 因为 28=-3<0,
所以此方程无实数根，
所以△PBQ的面积不能为7 cm .