专题训练九；圆中常用辅助线的作法 同步练习【含答案】2025-2026学年人教版九年级数学上册

专题训练(九)圆中常用辅助线的作法
作法一 作半径或直径
①作半径(或直径)：构造等腰三角形或直角三角形
②连接过切点的半径或直径：见切线，连切点，得垂直
1. 如图9-ZT-1,△ABC 是⊙O 的内接三角形,∠C=30°,⊙O 的半径为5.若 P 是⊙O 上的一点,在△ABP中,PB=AB,则 PA的长为( )
A.5
2. 如图9-ZT-2,△ABC 内接于⊙O,∠ABC=65°,∠ACB=70°.若 ,则BC的长为 ( )
A.π B. C.2π
3. 如图9-ZT-3,已知锐角三角形ABC 内接于半径为 2 的⊙O,OD ⊥ BC 于 点 D,∠BAC = 60°, 则 OD=
4. 如图9-ZT-4,线段AB经过⊙O的圆心,AC,BD分别与⊙O相切于点C,D.若AC=BD=4,∠A=45°,则的长度为 ( )
A.π B.2π D.4π
5. 如图9-ZT-5,等边三角形ABC 的边长为8,以 BC上一点O 为圆心的圆分别与边 AB，AC 相切，则⊙O的半径为 ( )
A.2 B.3 C.4
6. (2022济南)已知:如图9-ZT-6,AB 为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点 C，交AB 的延长线于点 D,连接 AC,BC,∠D=30°,CE 平分∠ACB 交⊙O于点 E,过点 B 作 BF⊥CE,垂足为 F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段 BF 的长.
作法二 作弦心距：解决弦长的计算与证明问题
7.一条排水管的截面如图9-ZT-7所示，已知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=1.2m.某天下雨后，排水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD为 ( )
A.1.4m B.1.6m C.1.8m D.2m
8.如图9-ZT-8，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心是(2,a)(a>2),半径为2,函数y=x的图象被⊙P 截得的弦AB的长为2 ，则a 的值是( )
A.2
作法三 构造直径所对的圆周角：见直径，想直角
9.如图9-ZT-9,AB是⊙O的直径,∠ACD=∠CAB,AD=2,AC=4,则⊙O的半径为 （ ）
作法四 判定直线与圆相切 (作半径或作垂直)
①有交点 作半径，证垂直
10. 如图9-ZT-10,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,D为边 AB的中点,点O在边 BC 上，以点O为圆心的圆过顶点C,与边 AB交于点 D.
(1)求证:直线 AB 是⊙O的切线;
(2)若 求图中阴影部分的面积.
11. 如图9-ZT-11,AB 是⊙O 的直径,⊙O 交BC 于点D,且D是BC 的中点,DE⊥AC.
(1)求证:DE 是⊙O的切线;
(2)已知BC=8cm ,AD=3cm,求线段 AE的长.
②无交点 作垂直，证半径
12. 如图9-ZT-12,△ABC是等边三角形,AO⊥BC,垂足为O,⊙O与AC 相切于点D,BE⊥AB 交AC 的延长线于点 E,与⊙O 相交于G,F 两点.
(1)求证:AB 与⊙O相切;
(2)若等边三角形 ABC 的边长是 4，求线段BF 的长.
专题训练(九)圆中常用辅助线的作法
1. D 2. A 3. 1 4. B 5. A
6. (1)证明:连接OC.
∵CD与⊙O相切于点C,∴∠OCD=90°.
又∵∠D=30°,∴∠COD=90°-∠D=60°,
∴∠A=∠D,∴CA=CD.
(2)3
7. B 8. B 9. D
10. (1)证明:连接OD,CD.
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∵D为AB 的中点,
∴△ADC 是等边三角形,
∴∠ADC=∠ACD=60°.
∵∠ACB=90°,∴∠OCD=90°-60°=30°.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=30°,
即OD⊥AB.
又∵OD 是⊙O的半径,
∴直线 AB是⊙O的切线.
11. (1)证明:连接OD.
∵D是BC 的中点,∴BD=CD.
又∵OA=OB,∴OD∥AC.
∵DE⊥AC,∴DE⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径,∴DE 是⊙O的切线.
12. 解:(1)证明:如图,连接 OD,过点 O 作OM⊥AB,垂足为 M.
∵⊙O与AC 相切于点 D,
∴OD⊥AC.
∵△ABC 是等边三角形,AO⊥BC,
∴∠DAO=∠MAO.
又OM⊥AB,OD⊥AC,
∴OM=OD,∴AB与⊙O相切.
(2)如图,过点O作ON⊥BE,垂足为 N,连接OF.
∵△ABC 是等边三角形,AO⊥BC,
∴O是BC 的中点,∠ABC=60°,∴OB=2.
∵OM⊥AB,∴∠BOM=30°,
∵BE⊥AB,OM⊥AB,ON⊥BE,
∴四边形OMBN 是矩形,
∴ON=BM=1,BN=OM=
在 Rt△NOF 中,
∴由勾股定理得