人教版八年级数学上册 第14章 全等三角形 课时教案

第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
教学目标1.通过实例理解全等形的概念和特征,并能识别图形的全等；
2.知道全等三角形的有关概念,能正确地找出对应顶点、对应边、对应角；掌握全等三角形对应边相等,对应角相等的性质；
教学重点 掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质.
教学难点 理解全等三角形边、角之间的对应关系.
核心素养 1.本课时是在学生学习三角形的概念及相关知识的基础上进一步探究全等三角形，为后边的学习奠定基础；
2.学生在观察、发现生活中的全等图形及在实际操作中获得全等图形和全等三角形的体验.
教学过程
一、问题情境
1.如下图,说一说这些图形有什么共同点 你能再举出一些类似的例子吗
师生活动:教师引导学生得出图形之间都是形状、大小相同的．
追问:它们的形状相同吗 大小相同吗 你能再举出一些类似的例子吗？
二、新知形成
1.怎样验证两个三角形是否形状、大小相同
师生活动:教师引导学生提出叠合法.先进行以下操作:把一块三角尺按在纸板上,画下两个图形,判断画出的两个三角形是否形状、大小完全一样；再把两个三角形剪下来放在一起,看是否能完全重合；
最后引导学生由操作的结果得出:形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合；并下定义,能够完全重合的两个图形叫做全等形；能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2.思考(1)如下图,把沿直线平移,得到△DEF,两个三角形全等吗
(2)如下图,把沿直线翻折,得到,两个三角形全等吗
(3)如图,把绕点旋转,得到,两个三角形全等吗
师生活动:教师引导学生思考,最后得出:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都不变,即平移、翻折、旋转后的图形全等．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫做对应角.如图(1),和是对应点,和是对应边,和是对应角.
3.对于下列图形,对应边有什么关系 对应角有什么关系
性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
三、例题分析
例1.如图,,点和点是对应顶点,点和点是对应顶点.,,和的延长线相交于点,求,的度数.
解: ∵
∴
∴
在中，
∴
四、当堂训练
1.如图,△OCA≌△OBD,C和B,A和D是对应顶点,
在这两个三角形中:
相等的边是,
相等的角是.
2.如图是两个全等三角形,图中的字母表示
三角形的边长,则的度数为 66 .
3.如图,≌,∠F和∠M是对应角.在△EFG中,FG是最长边.在△NMH中,MH是最长边.已知,,.
(1)写出其他对应边及对应角；(2)求线段NM及线段HG的长度.
解:(1)对应边分别是:EF和NM,EG和NH,FG和MH；
对应角分别是:∠EGF和∠NHM,∠E和∠N；
(2)∵△NMH≌△EFG
∴,
∴.
4.如图,△AEC≌△ADB,点和点是对应顶点.
(1)写出所有的对应边和对应角；
(2)若,,且,求的度数.
解:(1)对应边分别是:AE和AD,AC和AB,EC和DB；
对应角分别是:∠A和∠A,∠AEC和∠ADB,∠ACE和∠ABD；
(2)在中,
∴
∵△AEC≌△ADB
∴
∵,,
∴ ∴.
五、课堂小结
1.什么叫做全等三角形
2.全等三角形具有哪些性质
六、课堂小测
1.如图,≌△CDA,AB和CD,BC和DA是对应边,写出其他对应边及对应角.
解:对应边为AC和CA,
对应角分别为∠B和∠D,
∠BCA和∠DAC,∠BAC和∠DCA.
2.如图,≌,∠B和∠C是对应角,AB和AC是对应边,写出其他对应边及对应角.
解:对应边分别为AN和AM,BN和CM；
对应角分别为∠2和∠1,∠BAN和∠CAM.
3.如图,≌△DEC,CA和CD,CB和CE是对应边,∠ACD和∠BCE相等吗 为什么
答:.
理由:∵≌
∴
∴
∴.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
14.2 三角形全等的判定（1）
教学目标 1.构建三角形全等条件的探索思路,体会研究几何问题的方法.2.掌握“边角边”判定,会运用“边角边”判定解决问题.
教学重点 三角形全等的条件:“SAS”的探究
教学难点 对“边边角”不一定会全等的理解.
核心素养 1.通过严谨的几何证明教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯，培养学生严谨的思维方式；
2.通过自主学习，使学生获得数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧.
教学过程
一、问题情境
1.在上一节,我们学习了全等三角形的性质,知道了全等三角形的对应边相等、对应角相等.反过来,具备什么条件的两个三角形全等呢
我们从构成三角形的元素—边、角的关系出发,研究三角形全等的判定方法.
师生活动:一定要满足三条边分别相等,三个角也分别相等,才能保证两个三角形全等吗 上述六个条件中,有些条件是相关的.能否在上述六个条件中选择部分条件,简捷地判定两个三角形全等呢
我们按照条件由少到多的顺序进行研究.
二、新知形成
1.探究1: 先任意画出一个.再画一个,使与满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的与一定全等吗
2.探究2: 如下图,直观上,如果,,的大小确定了,的形状、大小也就确定了.也就是说,在与中,如果,,,,那么,这个判断正确吗
师生活动:先任意画出一个△ABC,在透明垫板上画一个△A′B′C′,使A′B′AB,∠A∠A′, C′A′ CA(即两边和它们的夹角分别相等)．把透明垫板上画好的△A′B′C′放到△ABC上,它们全等吗
基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS ”）．
符号语言：在△ABC 和△A′B′ C′中
∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）
3.我们知道,如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等,那么这两个三角形全等吗
师生活动:举例说明:如图,,,
,但与显然不全等.
三、例题分析
例1:如图,,平分,求证:.
证明:∵平分
∴
在和中
∴(SAS)
∴
四、当堂训练
1.如图,,,.求证:.
证明:在和中
∴
∴
∴
∴.
2.如图,两车从南北方向的路段AB的一端A出发,分别向东、向西行进相同的距离,到达C,D两地.此时C,D到B的距离相等吗 为什么
答:.
理由:根据题意,得,
在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD()
∴.
3.如图,把两根钢条的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳).在图中,要测量工件内槽宽的长,只要测量什么 为什么
答:只要测量出的长,就能得到工件内槽宽.
理由:根据题意,得,
在和中
∴≌()
∴.
五、课堂小结
1.“边角边”判定两个三角形全等的方法.
2.在判定两个三角形全等时,要注意使用公共边和公共角.
3.能识别图中隐含的条件,准备条件证明三角形全等.
六、课堂小测
1.如图,.求证:.
证明:在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD(SAS)
∴.
2.如图,AC和BD相交于点O,.求证:DC//AB.
证明:在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD()
∴
∴.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
14.2 三角形全等的判定（2）
教学目标 1. 理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法.
2. 经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程,能运用已学三角形判定法解决实际问题..
教学重点 应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等.
教学难点 根据问题中所述的条件和结论,如何选择适当的方法来证明两个三角形全等.
核心素养 1.让学生在数学学习的过程中获得解决问题的经验，逐步养成良好的个性思维品质；
2.通过课堂学习培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神.
教学过程
一、问题情境
1.复习旧知:
三角形中已知三个元素,包括哪几种情况
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
师生活动:引导学生情况探究,在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了两边一角的情况,我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.
二、新知形成
1.如图,直观上,只要, ,的大小确定了,的形状,大小也就确定了.也就是说,在与中,如果,,
,那么. 这个判断正确吗
师生活动:学生动手操作,感知问题的规律,画图步骤如下：
画一个△A′B′C′,使A′B′AB,∠A′∠A,∠B′∠B (1)画A′B′AB； (2)在A′B′的同旁画∠DA′B′∠A,∠EBA′∠B,A′D,B′E交于点C′.
1.把透明垫板上画好的三角形和原三角形重叠,观察能重合吗
2.实际演示：采用几何画板的形式进行探究.通过动手操作和动画演示.
基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS” )．
符号语言：
在△ABC 和△A′B′ C′中
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)
2. 同学们,两边一夹角能否判定三角形全等的情况已经得到解决,请解决下面的问题,并思考你能得到什么结论
如图,在△ABC和△DEF中,∠A∠D,∠B∠E,BCEF,
求证:△ABC≌△DEF．
从而得出下面的结论:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(简写成“角角边”或“AAS”)
三、例题分析
例1:如图,点在上,点在上,,,
求证:.
证明:在和中
∴(ASA)
∴
四、当堂训练
1.如图,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为,,.
求证:.
证明:∵AB⊥BC,AD⊥DC
∴∠B ∠D
在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC(AAS)
∴.
2.如图,A,C,D,B四点共线,且,,.
求证:.
证明:∵
∴即
在△ADE和△BCF中
∴△ADE≌△BCF(ASA)
∴.
3.如图,要测量池塘两岸相对的两点A,B的距离,可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C,D,使,再画出BF的垂线DE,使E与A,C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长.为什么
证明:∵AB⊥BF,DE⊥BF
∴
在△ABC和△EDC中
∴△ABC≌△EDC(ASA)
∴.
五、课堂小结
(1)本节课学习了几种判断两个三角形全等的方法 分别是什么 它们之间有什么相同点和不同点
(2)是不是满足任意的“三个条件”都能判定两个三角形全等
(3)现在,你知道了哪些三角形全等的判定方法
六、课堂小测
1.如图,,.求证:.
证明:在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA(AAS)
∴.
2.如图,.求证:.
证明:∵
∴
在△ABC和△ABD中
∴△ABC≌△ABD()
∴.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
14.2 三角形全等的判定（3）
教学目标 1.理解并掌握“边边边”(SSS)判定定理,能运用该定理判定两个三角形全等,会用直尺和圆规作一个三角形与已知三角形三边相等.
2. 通过探究三角形全等条件的过程,体会分类讨论、转化等数学思想,提高逻辑推理能力和空间想象能力.
教学重点 “边边边”(SSS)判定定理的理解与应用,用尺规作三角形.
教学难点 “边边边”(SSS)判定定理的探究过程及应用时的逻辑推理.
核心素养 1.在探究三角形全等的判定过程中，以观察思考、动手画图、合作交流等多种形式让学生共同探讨，培养学生的协作精神；
2.引导学生从现实的生活经历与体验出发，激发学生的学习兴趣.
教学过程
一、问题情境
1.前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况以及两角和一边分别相等的情况,请问还可以讨论什么情况
师生活动:学生回忆两个三角形全等,需要3个元素对应相等.引出课题:探究三边分别相等的两个三角形是否全等.
二、新知形成
1.如图,直观上,,,的大小确定了,
的形状、大小也就确定了.也就是说,
在与中,如果,
,,那么.
这个判断正确吗
师生活动:
动手实践:任意画出一个,在透明垫板上画一个,使A′B′AB,B'C'BC,C′A′CA(即三边分别相等).把透明垫板上画好的放到上,它们全等吗
2.尺规作图:如图,已知三条线段,,(其中任意两条线段的和大于第三条线段)，求作,使其三边分别为,,.
作法:如图2,
(1)作线段；
(2)分别以点,为圆心,线段,为半径作弧,两弧相交于点；
(3)连接,,则就是所求作的三角形.
基本事实：三边对应相等的两个三角形全等.简称:边边边或SSS.
三角形全等的判定（SSS）用符号语言表达为：
在△ABC和△A'B'C'中
∴△ABC≌△A'B'C'(SSS)
这个基本事实也说明了,三角形的三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定,这也是三角形具有稳定性的原理.
三、例题分析
例1:在如图所示的三角形钢架中,,是连接点与中点
的支架,求证:.
证明:∵是的中点
∴
在和中
∴(SSS)
∴
∵
∴
四、当堂训练
1.如图,C是AB的中点,.求证:△ACD≌△CBE.
证明:∵C是AB的中点
∴
在△ACD和△CBE中
∴△ACD≌△CBE().
2.如图,点B,E,C,F在一条直线上,.求证:.
证明:∵
∴
∴
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF()
∴∠A ∠D.
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线.为什么
证明:根据题意,得
在△CMO和△CNO中
∴△CMO≌△CNO()
∴
∴OC是∠AOB的平分线.
五、课堂小结
1.全等三角形性质是什么
2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样掌握判断对应边、对应角的方法
3.“边边边”判定法告诉我们什么呢 
（答:只要一个三角形三边长度确定了,则这个三角形的形状大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性）
六、课堂小测
1.如图,.△ABC与△ADC全等吗 为什么
答:△ABC与△ADC全等.
理由:在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC().
2.如图,,.求证:.
证明:在△ABC和△CDA中
∴△ABC≌△CDA()
∴
∴.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
14.2 三角形全等的判定（4）
教学目标 1.学生能够理解并掌握利用尺规作图作一个角等于已知角的原理和方法.2.理解平行线的尺规作图方法,能依据给定条件作出已知直线的平行线.
教学重点 掌握用尺规作图作一个角等于已知角的具体步骤和方法,理解其理论依据,学会利用尺规作图作出已知直线的平行线.
教学难点 理解作一个角等于已知角的尺规作图中,通过构造全等三角形实现角相等的逻辑原理.
核心素养 1.探索用尺规作一个角等于已知角的方法，发展几何直观；
2.引导学生思考作图路径，培养观察、操作、想象、画图能力，丰富学生学习几何的活动体验
教学过程
一、问题情境
1.问题:如图,已知,射线,尺规作图:求作,使得且在射线上.
如图中的,有.
线段和角都是基本的几何图形,也是构成其他几何图形的元素.我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图.
如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢 接下来我们要对此进行研究.
二、新知形成
1.问题:如图,已知,要用直尺和圆规作
一个角与其相等.如何用直尺和圆规确定的大小
追问1:前面我们学习了用尺规作一个三角形与已知三角形全等,利用这个知识能否作一个角等于已知角呢
师生活动:引导学生思考:全等三角形的性质:全等三角形的对应角相等,对于一个三角形,其三条边、三个角是确定的.如果能将放在某个三角形中,作为其一个角,而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形,那么就说明可以用直尺和圆规确定.进而再作出与这个三角形全等的三角形,根据全等三角形的性质,的对应角就是要求作的角.
追问2:请叙述一下你的作图思路
师生活动:
在的边,上分别取点,,连接,,得到,则
就是的一个内角:再作出,使则.
我们得到作一个角等于已知角的方法
(1)以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交,于点，；
(2)作一条射线,以点为圆心,为半径作弧，交于点
(3)以点为圆心,为半径作弧,与上一步作的弧相交于点；
(4)过点作射线,则.
三、例题分析
例1:已知直线及直线外一点.利用直尺和圆规过点作直线的平行线.
作法: (1)过点作一条直线,与直线相交于点；
(2)在点处作的同位角,使；
(3)反向延长,得直线,则直线.
四、当堂训练
1.如图,已知线段,和,求作,使,,.
作法:如图.
(1) 作；
(2)在射线上作,在射线上作；
(3)连接,则就是所求作的三角形.
五、课堂小结
1回顾本节课所学内容,如何作一个角等于已知角,它的步骤和原理,以及作平行线的方法.
2.作图的关键步骤和需要注意的问题 （如半径的选取、弧的相交情况等）
六、课堂小测
1.如图,用直尺和圆规作一条直线,使这条直线过的顶点,并且与边平行.(写出作法)
作法: (1)在点处作的内错角,使；
(2)反向延长,得直线,则直线,且直线经过点.
2.如图,用直尺和圆规作一个三角形,使这个三角形的两角分别等于,,这两角的夹边等于线段.
作法: (1)在直线上作一条线段,使；
(2)作,；
(3)直线与交于,则即为所求作的三角形.
3.如图,点在的边上.利用直尺和圆规过点作射线 的平行线.（不写作法）
4.如图,已知.利用直尺和圆规作,使,
(点与点在的不同侧). （不写作法）
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
14.2 三角形全等的判定（5）
教学目标 1.学生能理解并掌握直角三角形全等的 “斜边、直角边” 判定定理（HL）.2.能熟练运用 “HL” 定理及其他三角形全等判定方法证明直角三角形全等.
教学重点 图形旋转的有关概念及其应用.
教学难点 从生活中抽象出旋转有关概念.
核心素养 1.经历探索直角三角形全等的判定过程，提高合理推理能力；
2.培养几何推理意识，激发学生求知欲、感悟几何思维的内涵.
教学过程
一、问题情境
舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗
(2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗
方法一:测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；
方法二:测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS).
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”.你相信他的结论吗
二、新知形成
1.如图,在和中, ,,
.这两个三角形全等吗
由下图,如果使点与点重合,并且使射线与射线重合,那么射线与射线重合.再由,可知与点重合.
追问1:当在直角边上,你能判断出和的大小关系吗
师生活动:引导学生运用直角三角形中斜边大于直角边的知识.
因为,且,
则是钝角.
过点作的垂线,交于
可知
追问2:当在的延长线上,你能判断出和的大小关系吗
师生活动:引导学生类比当在直角边上时的情况,作出相应的辅助线,同理得出.
因此,在射线上,与点的连线长度等于的点只有一个.再由点 在射线上, ,可知点与点重合,这样,的三个顶点与的三个顶点分别重合,与能够完全重合:.
直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(简写为“斜边、直角边”或“HL”)
符号语言：
在Rt△ABC和Rt△中
∴Rt△ABC≌Rt△ (HL)
三、例题分析
例1 如图,,,垂足分别为,,.
求证:.
证明:∵,
∴
在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴Rt△ABC≌Rt△BAD()
∴
四、当堂训练
1.如图,C是路段AB的中点,两人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D,E两地.DA⊥AB,EB⊥AB.D,E与路段AB的距离相等吗 为什么
答:.
理由:根据题意,得
∵DA⊥AB,EB⊥AB
∴
∵C是AB的中点
∴
在Rt△ADC和Rt△BEC中
∴Rt△ADC≌Rt△BEC()
∴.
2.如图,,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为,,.
求证:.
证明:∵AE⊥BC,DF⊥BC 即
∵
∴
∴
在Rt△ABE和Rt△DCF中
∴Rt△ABE≌Rt△DCF()
∴.
五、课堂小结
1.判定两个直角三角形全等的方法:斜边、直角边.
2.直角三角形全等的所有判定方法:定义,SSS,SAS,ASA,AAS,HL.
六、课堂小测
1.如图,在中,,AD是高.求证:,.
证明:∵AD是△ABC的高，即
在Rt△ABD和Rt△ACD中
∴Rt△ABD≌Rt△ACD()
∴,.
2.如图,AC⊥CB,DB⊥CB,垂足分别为,,.
求证:.
证明:∵AC⊥CB,DB⊥CB
∴
在Rt△ACB和Rt△DBC中
∴Rt△ACB≌Rt△DBC()
∴
∴
∴.
七、作业布置
课时训练P65－66基础必做、中档运用 选做题: P66
八、教学反思
14.3 角的平分线（1）
教学目标 1.掌握角平分线的尺规作图原理,会利用三角形全等,证明角平分线的性质.2.经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.
教学重点 作一个角的角平分线的尺规作图和角平分线的性质.
教学难点 运用角平分线的性质进行简单的推理证明.
核心素养 在探究作角的平分线的方法及角的平分线性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力和探究精神，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验.
教学过程
一、问题情境
1.通过前面的研究,我们学习了哪些三角形全等的判定方法
师生活动:复习全等三角形的判定方法: SSS,SAS,ASA,AAS,HL
追问:证明线段相等或角相等的方法
师生活动:引导学生可以通过证明三角形全等,来证明线段相等或角相等.
本节利用这个方法研究角的平分线,研究角的平分线上的点具有什么特性,以及满足什么条件的点在角的平分线上.
二、新知形成
1.如图,是的平分线,是上的任意一点,,分别是,上的点,我们研究与的关系.研究几何图形的关系时,我们往往关注其中的一些特殊情况.在图中,当与满足什么关系时,
师生活动:引导学生发现,只要,
则,只需要满足条件即可.
反过来也可以发现,,,点在的内部,连接,可以证明,所以,即点在的平分线上.
追问:由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗
师生活动:尺规作图:作已知角的平分线.
已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.
作法:(1)以O为圆心,适当的长为半径作弧,
交OA于M,交OB于N.
(2)分别以M、N为圆心,大于的长为半径作弧,
两弧在∠AOB的内部交于点P.
(3)作射线OP. 射线OP即为所求.
2.如图,是的平分线.点,,,…在上,过点,,,…分别画与的垂线,垂足分别为与、与、与.分别比较与、与、与……,你有什么发现
师生活动:可以发现,,,
…,由此我们猜想角平分线有以下性质:
角的平分线上的点到角两边的距离相等.
下面我们来证明(为了更直观、清楚地表达题意,我们通常在证明之前画出图形,并用符号表示已知和求证)
如图,是的平分线,点在上,,,垂足分别为,.求证:.
证明:∵是的平分线
∴
∵,
∴
在和中
∴(AAS)
∴
三、例题分析
例1.如图,的的外角的平分线BD与的外角的平分线CE相交于点P.求证:点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.
证明:过点P分别作PM⊥AB,PN⊥BC,PQ⊥AC,垂足分别为M,N,Q
∵BD是∠ABC的外角的平分线,PM⊥AB,PN⊥BC
∴
∵CE是∠ACB的外角的平分线,
PN⊥BC,PQ⊥AC
∴
∴
即点P到三边AB,BC,CA所在直线的距离相等.
四、当堂训练
1.如图,在直线上求作一点,使点到射线和的距离相等.
解:如图,点P就是所求作的点.
2.用三角尺可按下面方法画角平分线:在已知∠AOB的两边上,分别取,再分别过点M,N作OA,OB的垂线,交点为P,画射线OP,问OP平分∠AOB吗 为什么
答: OP平分∠AOB.
理由:∵PM⊥OA,PN⊥OB
∴
在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)
∴∠MOP ∠NOP
∴OP平分∠AOB.
五、课堂小结
1.角平分线的性质提供了又一证明线段相等的方法.
2.注意能用性质的不要再证全等.
六、课堂小测
1.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE//AB交BC于E,PF//AC交BC于F.
求证:D到PE的距离与D到PF的距离相等.
证明:∵AD是的角平分线
∴
∵PE//AB,PF//AC
∴,
∴
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等.
2.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点,PD⊥OA交OA于D,PE⊥OB交OB于E.F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:.
证明:∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB
∴
∵,
∴
在△DPF和△EPF中
∴△DPF≌△EPF()
∴.
七、作业布置
八、教学反思
14.3 角的平分线（2）
教学目标 1. 理解并掌握 “角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上” 这一定理.2. 能运用该定理及角平分线性质定理解决相关几何问题.
教学重点 角平分线判定定理的理解与证明.
教学难点 角平分线判定定理的证明思路及逻辑推理过程.
核心素养 通过对角的平分线的判定定理的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，培养学生观察、归纳能力，发展学生的推理能力.
教学过程
一、问题情境
1.上节课我们学习了角的平分线上的点到角两边的距离相等.
(1)若把角平分线性质的题设、结论交换,所得命题是什么 (如何叙述 )结论:如果一个点到角两边的距离相等,那么这个点在这个角的平分线上(2)这个命题是真命题还是假命题 结论:真命题.我们需要证明.证明之前要画图并结合图形写出已知和求证.
二、新知形成
1.接下来我们证明命题:如果一个点到角两边的距离相等,那么这个点在这个角的平分线上.
师生活动:引导学生写出已知和求证,并证明.
已知:如图,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的平分线上.
证明:作射线OP
∵PD⊥OA,PE⊥OB
∴∠PDO=∠PEO=90 (垂直定义)
在Rt△PDO和Rt△PEO中
∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL)
∴∠AOC=∠BOC (全等三角形的对应角相等)
∴点P在∠AOB的平分线上
3.角平分线的判定:角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.
符号语言:∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE
∴点P在∠AOB的平分线上
(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上)
总结:角的平分线上的点到角两边的距离相等,反过来,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上所以在角的内部,角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
三、例题分析
例1:如图,△ABC的角平分线BM、CN交于点P.
求证:点P在∠A的平分线上.
证明:过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
PD⊥AB,PE⊥BC
∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
同理:PE=PF
∴PD=PF(等量代换)
又∵PD⊥AB,PF⊥AC
∴点P在∠A的平分线上.
(角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上)
小结:1.这个例子验证了上学期学的三角形的三条角平分线交于一点这一结论.
2.三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
四、当堂训练
1.如图,O,A,B在一条射线上,BD⊥OD于点D,BF⊥OF于点F,AC⊥OD于点C,AE⊥OF于点E,且.求证:.
证明:∵AC⊥OD,AE⊥OF,
∴点A在∠DOF的平分线上
∴OB是∠DOF的平分线
∵BD⊥OD,BF⊥OF
∴.
2.如图,,E是BC的中点,且DE平分∠ADC.
求证:AE是∠DAB的平分线.
证明:过点E作EF⊥AD于点F
∵
∴,
∵DE平分∠ADC,,EF⊥AD
∴
∵E是的中点
∴
∴
∵EF⊥AD,
∴AE平分∠DAB.
五、课堂小结
1.角平分线的判定与性质离不开两个垂直；
2.在证明过程中,能直接用角平分线的性质、判定得出的结论,就不要再用三角形全等证明.
六、课堂小测
1.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE与CD相交于点O,
.求证:.
证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC
∴∠ODB ∠OEC
在△ODB和△OEC中
∴△ODB≌△OEC()
∴
∵OD⊥AB,OE⊥AC
∴点O在∠BAC的平分线上
∴.
2.如图,已知,是的外角的平分线,是的外角的平分线,,相交于点
求证:点在的平分线上
证明:过点作于,于,于
∵是的外角的平分线
∴
∵是的外角的平分线
∴
∴
∴点到三边,,所在直线的距离相等
∵
∴点在的平分线上
(角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上)
七、作业布置
八、教学反思
数学活动—用全等设计图案和证明拼图猜想
教学目标 1.能准确识别全等图形,理解全等图形在图案设计中的应用原理,熟练运用全等图形设计出有创意的图案.
2. 学生能熟练掌握全等三角形的性质,准确运用其解决拼图相关问题,提升逻辑推理和几何直观能力.
教学重点 识别全等图形,掌握利用全等图形设计图案的方法和技巧.
教学难点 准确作出拼图图形,合理运用全等三角形知识完成证明.
核心素养 通过丰富的图形，使学生感受全等图形在生活中无处不在，拉进数学和生活的距离，激发学习兴趣.
教学过程
一、提出问题
1.图是两个根据全等形设计的图案,仔细观察一下,每个图案中有哪些全等形 有哪些全等三角形
2.如图2,.把,剪下来,用它们拼图,使边与边重合,顶点与顶点不重合,画出你拼出的图形.在你画出的图形中,连接,用测量、折纸等方法猜想,有什么关系,然后用全等三角形的知识证明你的猜想.
二、解决问题
1.对于图中的两个图形中分别包含有以下全等形或全等三角形
追问:你能设计一些类似的图形码
三、解决问题
1.将图中的两个三角形,使边与边重合,顶点与顶点不重
合拼出下图,连接.
猜想:
证明:设与交于点
∵
∴,
∴在中,（三线合一）
∴
四、拓展提升
1.观察房屋脊架和窗户的示意图,请分别指出图中的三对全等图形
解:图中的全等图形有,
,,
四边形四边形,
四边形四边形,
四边形四边形．
2.如图是两个相同的等边三角形组合而成的图形,
请你找出图中的全等图形
解:,
五、课堂小结
1.你是怎样利用全等图形设计图案的
2.全等图形设计图案不仅能体现数学的美感,还能锻炼大家的思维能力和创造力,鼓励学生在日常生活中继续发现和运用数学知识.
3.探究过程和证明方法,应用全等三角形性质在解决此类问题中的应用
六、课堂小测
1.下列四个图形中,有两个全等的图形,它们是( B )
① ② ③ ④
A.①和② B. ①和③ C.②和④ D.③和④
2.找出七巧板中（如图）全等的图形
解:由图知:与,与,
与,四边形与四边形,
四边形与四边形是重合的,
即是全等的图形．
3.如图,某校有一块正方形花坛,现要把它分成4块全等的部分,分别种植四种不同品种的花卉,图中给出了一种设计方案,请你再给出四种不同的设计方案．
解:设计方案如下：
4.如图,把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案,判断的形状并说明理由.
解：是等腰直角三角形，理由：
∵矩形和矩形全等
∴,,
∴△△
∴,
∵
∴
∴△是等腰直角三角形．
七、作业布置
八、教学反思
单元复习 全等三角形
教学目标 1. 能够熟练掌握全等三角形的定义、性质和判定方法.
2.能灵活运用这些知识解决与全等三角形相关的证明、计算问题,如线段相等、角相等、三角形面积计算等.
教学重点 理解三角形全等在几何问题中的关键作用.
教学难点 灵活运用全等三角形的性质和判定方法解决问题.
核心素养 培养学生观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值，使学生进一步体会全等三角形与现实生活中全等图形的密切联系，感受学习几何全等的乐趣，从而培养学生以动态观点研究几何图形的能力和逻辑推理的能力.
教学过程
一、题练精析
知识点一:全等三角形的概念
1.下列说法正确的是( C )
A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等
C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等
2.如图,△AOC≌△DOB,点A与点D是对应点,
那么下列结论中正确的是( D )
A．∠A∠B B．AOBO
C．OCOD D．ACBD
知识点二:全等三角形的性质与判定综合
3.在△ABC和△A′B′C′中,ABA′B′,∠A∠A′,若证△ABC≌△A′B′C′还要从下列条件中补选一个,错误的选法是( C )
A.∠B∠B′ B.∠C∠C′ C.BCB′C′ D.ACA′C′
4.如图,△ABC≌△DCB,,则∠AOB=　 80°　.
5.如图,若△AOB≌△A′OB′,∠B＝,∠AOA′＝,则∠A′CO　82°.
6.如图,,求证:.
证明:∵
∴
即
在△DEC和△ABC中
∴△DEC≌△ABC(SAS)
∴.
7.如图,,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为,,,,求BE的长.
解:∵BE⊥CE,AD⊥CE
∴
∴
∵
∴
∴
在△ACD和△CBE中
∴△ACD≌△CBE()
∴,
∴
∴.
知识点三:全等三角形的应用
8.如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
解:如图,作三条公路围成三角形的两个
内角的角平分线,这两条平分线的
交点O就是度假村的修建处.
9.如图,在和中,,AD与分别是边上的中线,.求证:≌.
证明:∵AD,分别是边上的中线
∴
∵
∴
在△和△中
∴△≌△(SSS)
∴
在△和△中
∴△ABC≌△(SAS).
10.如图,△ABC中,AD是它的角平分线.求证:.
证明:过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC
∴
∵
∴.
二、课堂小结
1、注意三角形全等中的对应关系,灵活运用三角形全等的判定方法.
2、证明线段相等或角相等,可以转化为证明三角形全等.
三、课堂小测
1.如图,BE⊥AC,垂足为,,,若,
则∠E .
2.如图,点B在AE上,∠CAB∠DAB,要使△ABC≌△ABD,可补充的一个条件是: ____________(写一个即可) .
3. ( http: / / www.1230.org / )如图,在△ABC中,ABAC,,BD为∠ABC的平分线,
则∠BDC＝________.
4.如图的三角形纸片中,,,.沿过点的直线折叠这个三角形,使点落在边上的点处,折痕为.求的周长.
解:由折叠,
∴,
∵
∴
∴的周长
.
四、作业布置
五、教学反思
设计意图：让学生初步感受全等图形的特征, 通过举例，让学生感受全等图形广泛存在于生活之中，并进一步感受它的特征．
图1-2
图1-1
图1-3
设计意图：从变换的角度研究，使学生能用动态的观点理解全等三角形的概念
第1题
通过练习巩固本节课内容
第2题
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
设计意图：引出本课要研究的问题是探究三角形全等的判定条件.
设计意图：通过画图容易举出和不全等的例子，因此满足上述六个条件中的一个或两个,与不一定全等.引出课题.
设计意图：得到判定三角形全等的基本事实: 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成 “边角边” 或 “SAS”）.
设计意图：说明两边和其中一边的对角分别相等的两个
三角形不一定全等.
通过练习巩固本节课内容
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
设计意图:明确研究对象,已知三角形中的三个元素的关系来判断全等.
设计意图:明确研究对象,已知三角形中的三个元素的关系来判断全等.
设计意图:通过学生动手画图,让学生明确已知两角及夹边怎样画出三角形,通过学生展示作品,以及同学之间观察、对比,让学生确信结论的正确性,类比前面的判定事实尝试用文字表达,进一步写出符号语言.
通过练习巩固本节课内容
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
设计意图:引导学生分类讨论，梳理接下来要探究的判定定理.
通过练习巩固本节课内容
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
设计意图:明确研究对象:用直尺和圆规作一个角等于已知角.
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
通过练习巩固本节课内容
设计意图:引入这个背景，让学生带着问题探究“HL” 定理
通过练习巩固本节课内容
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
设计意图:引导学生明确全等三角形是证明角相等或者线段相等的工具.
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
通过练习巩固本节课内容
设计意图:通过复习上节课所学，引出本节课的学习内容.并明确知识之间的联系.
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
通过练习巩固本节课内容
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
通过练习巩固本节课内容
设计意图:强化图形全等核心是图形完全重合.
设计意图:通过证明全等得到线段或者角相等.
设计意图:让学生提高把实际问题转化为数学问题的能力.
设计意图:强化知识结构,加深学生对关键概念、原理或技能的理解与记忆
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