人教版八年级数学上册 第十七章 因式分解 课时教案

第十七章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式(1)
教学目标 1.理解因式分解的意义；2.掌握公因式的概念，会确定多项式各项的公因式；3.掌握提公因式法的意义，会用提公因式法分解因式.
重点 公因式的意义，公因式是单个字母时的识别及用提公因式法分解因式.
难点 公因式的识别及用提公因式法分解因式.
核心素养 由整式乘法的运算过渡到因式分解，可以发展学生的逆向思维能力，通过对分解因式、因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力和应用能力.
教学过程
一、问题情境
问题1 在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数，，，选手的得分有两种计算方法：
①，和②.
追问1：①和②这两个式子相等吗？
师生活动：显然，这两个式子相等.
追问2：从①到②式相当于什么变形？它的根据是什么？
师生活动：从①到②式，相当于把一个多项式化成两个整式的乘积，它的根据是逆向应用乘法分配律.
二、新知形成
1.师生活动：请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（1）；
（2）；
（3）.
追问1：上面三个等式中，从左边到右边相当于什么变形？
师生活动：相当于把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式.
师生活动：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
追问2：因式分解与整式的乘法是什么关系？
师生活动：因式分解与整式的乘法是方向相反的变形，即
.
师生活动：在多项式中，它的各项都含有一个公共因式，我们把因式叫作这个多项式各项的公因式.
由可知，可以分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是
除以的商.
三、例题分析
例1 ：分解因式：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）；
（2）.
（3）.
四、当堂训练
1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）不是因式分解，它是整式的乘法；（2）是因式分解，因为它把多项式化成了两个因式与的乘积；（3）不是因式分解，因为它只是把多项式的前两项组成的多项式因式分解，并没有把原多项式化成几个因式的积的形式.
2.分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
3.利用因式分解计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=.
五、课堂小结
1.什么是把一个多项式分解因式？
2.多项式各项的公因式是什么？
3.怎样确定多项式各项的公因式？
六、课堂小测
1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）不是因式分解，它是整式的乘法；
（2）是因式分解，因为它把多项式化成了两个因式与的乘积；
（3）不是因式分解，因为它只是把多项式的前两项组成的多项式因式分解，并没有把原多项式化成几个因式的积的形式.
2.请先在括号中写出下列多项式中各项的公因式,再进行分解因式:
（1）；() （2）；()
（3）； ()
解：（1）；
（2）；
（3）.
3.利用因式分解计算:
（1）；
（2）.
解：（1）原式；
（2）原式.
七、作业布置
课时训练P47－48基础必做、中档运用 选做题: P48
八、教学反思
17.1 用提公因式法分解因式(2)
教学目标 1.进一步掌握公因式的概念，会识别较复杂的多项式各项的公因式；2.会用提公因式法分解较复杂的多项式的因式.
重点 怎样用提公因式法对较复杂的多项式进行分解因式.
难点 怎样用提公因式法对首项带负号且公因式较复杂的多项式进行分解因式.
核心素养 由识别简单多项式的公因式过渡到较复杂多项式的公因式，提高运用知识和技能解决问题的能力，通过用提公因式法分解较复杂的多项式的因式，培养学生的运算能力和综合应用能力.
教学过程
一、问题情境
1.什么是多项式各项的公因式？
师生活动：多项式各项的公共因式叫作多项式各项的公因式.
追问1：什么是分解因式的提公因式法？
师生活动：把一个多项式化成各项的公因式与另一个因式的积的方法，叫作提公因式法,其中，另一个因式等于原多项式除以各项公因式的商.
二、新知形成
追问1：比如，各项的公因式是什么？有什么一般规律？
师生活动：这个多项式各项的公因式是，它的一般规律是：公因式的系数为各项系数的最大公约数，相同字母取指数最小的幂.这个规律可概括为：系数大，字母同，指数低.
追问2：如果把多项式改成，这时各项的公因式是什么？
师生活动：如果多项式的第一项带负号，那么这个多项式各项的公因式就要带负号，因此各项的公因式是.
追问3：在多项式中，当把字母换成时，这个多项式就随之化成了，它的公因式随之变成了什么？
师生活动：显然，的公因式是.
追问4：各部分的公因式是什么？
师生活动：是，或者.
三、例题分析
例2 把分解因式.
解：.
例3 分解因式
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=.
师生活动：若多项式的第一项带负号，提公因式时要把负号一起提出来.
例4 当为非负整数时，求证：能被19整除.
证明：∵为非负整数，∴是正整数.
∵，
∴能被19整除.
四、当堂训练
1.分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=.
2.先分解因式，再求值：，其中，.
解：当，时，
原式=.
3.已知是奇数，求证：能被4整除.
证明：∵是奇数，∴可设，其中是整数.
∴.
∵是整数，∴也是整数，
∴能被4整除.
4.已知，，求的值.
解：当，时，
原式=.
五、课堂小结
1.什么是分解因式？
2.如果多项式的第一项带负号，提公因式时也要把负号一起提出来；
3.识别多项式各项的公因式的方法：系数为各项系数的最大公约数，相同字母取指数最小的幂；
4.利用分解因式可以用来简便计算.
六、课堂小测
1.分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式.
2.先分解因式，再求值:
（1），其中；
（2），其中，.
解：（1）当时，
；
（2）当，时，
原式=
=.
3.已知，，求的值.
解：当，，即时，
原式.
4.已知为奇数，求证：能被4整除.
证明：∵为奇数，
∴可设，其中为整数.
∴.
∵是整数，
∴能被4整除.
七、作业布置
课时训练P49－50基础必做、中档运用 选做题: P50
八、教学反思
17.2 用公式法分解因式(1)
教学目标 使学生进一步熟悉平方差公式的特点，掌握用平方差公式分解多项式的因式.
重点 怎样用平方差公式分解因式.
难点 综合应用提公因式法与平方差公式对相关多项式分解因式.
核心素养 在运用平方差公式进行因式分解的过程中，培养学生观察、比较和判断的能力以及运算能力.
教学过程
一、问题情境
问题1 在一个边长为119米的正方形区域，计划在其内部划出边长为19米的一块正方形进行绿化，其余区域建设一个儿童游乐场所，请问这个游乐场所的面积为多少平方米？
追问1：你能快速计算这个游乐场所的面积吗？
师生活动：这个游乐场所的面积等于米，为了快速计算其值，可以先用平方差公式把分解因数，再计算：
，因此，这个游乐场的面积为.
二、新知形成
追问1：多项式有什么特点？怎样分解因式？
师生活动：多项式的特点是两个数的平方差的形式，由于整式乘法与因式分解是方向相反的变形，把平方差公式的等号两边互换，就得到，这样就把多项式分解因式了.
追问2：公式也是平方差公式吗？
师生活动：这个公式也是平方差公式，应用这个公式可以把形如平方差的多项式分解因式.
三、例题分析
例1 分解因式：
（1）； （2）.
解：（1）；
（2）.
师生活动：这里，表示的4倍，不等于，也类似.
例2 分解因式：
（1）； （2）；
（3）.
解：（1）；
（2）
；
（3）
.
四、当堂训练
1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）和 （4）都不能用平方差公式分解因式；（2）和（3）都可以用平方差公式分解因式，理由：
∵（1）是两数的平方和，（4）是两数的平方和的相反数，
∴（1）和（4）都不能用平方差公式分解因式；
∵（2）是两数平方的差的形式，（3）可以写成或形式，
∴（2）和（3）都可以用平方差公式分解因式.
2.分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
（6）
3.用因式分解计算：
（1）； （2）.
解：（1）；
（2）
.
五、课堂小结
1.多项式的特征是两数的平方差，凡是这种类型的多项式，都可以用平方差公式分解因式；
2.在用平方差公式分解因式后，如果分解出来的因式含公因式，必须用提公因式法进一步分解；
3.分解因式时，必须分解到不能分解为止.
六、课堂小测
1.下列多项式能否利用平方差公式分解因式？
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）和 （4）都不能用平方差公式分解因式；
（2）和（3）都可以用平方差公式分解因式.
2.分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
（6）
3.用因式分解计算：
（1）； （2）.
解：（1）；
（2）
.
七、作业布置
课时训练P51－52基础必做、中档运用 选做题: P52
八、教学反思
17.2 用公式法分解因式(2)
教学目标 1.使学生掌握完全平方式的概念，及用公式法分解因式的意义；2.会用完全平方公式把完全平方式分解因式.
重点 用公式法分解因式的意义，及怎样把一个完全平方式分解因式.
难点 怎样用完全平方公式把一个完全平方式分解因式.
核心素养 进一步体会完全平方式的意义，使学生体会运算的灵活性.在运用完全平方公式进行因式分解的过程中，培养学生观察、比较、归纳和判断能力以及运算能力.
教学过程
一、问题情境
问题1 开学了，某个数学老师给同学们出了一个抢答题目：有四块地，第一块地是边长为米的正方形，第二块地是边长为5米的正方形，另两块地都是长为米，宽为米的长方形，请问这四块地的总面积为多少平方米？
追问1：你能用式子表示这四块地的总面积吗？
师生活动：显然，这四块地的总面积为平方米.
追问2：你能快速计算式子的值吗？
师生活动：根据完全平方和公式，得
，
因此，这四块地的总面积为89平方米.
二、新知形成
追问1 多项式与有什么特点？
师生活动：这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和或差的平方，我们把和
这样的式子叫作完全平方式.
追问2 多项式与能分解因式吗？怎么分解？
师生活动1：这两个多项式可以分解因式.与平方差公式类似，把整式乘法的完全平方公式，的等号两边互换，就得到，.
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
师生活动2：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.
三、例题分析
例3 分解因式：
（1）； （2）.
解：（1）原式；
（2）原式.
师生活动：完全平方式的特点可概括为：首平方，尾平方，首尾两倍中间放，中间符号一个样.
追问：如果关于的多项式是完全平方式，那么的值是多少？
师生活动：根据题意，得，所以或.
例4 分解因式：
（1）； （2）.
解：（1）原式；
（2）原式
师生活动：在例4中，（1）的要看成一个整体；（2）是一个完全平方式的相反数，要先提出一个负号，再用完全平方公式分解因式.
四、当堂训练
1.下列多项式:①；②；③；④；⑤.其中是完全平方式的有 ①② .(只需填序号)2.分解因式:（1）； （2）；（3）； （3）；（5）； （6）.解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式.3.利用公式法进行简便计算:.解：原式.4.当是奇数时，求证：能被4整除.证明：∵是奇数，∴是偶数.∴能被4整除.∵， ∴能被4整除.
五、课堂小结
1.形如与的多项式叫作完全平方式；
2. 运用公式，，可以把完全平方式因式分解；
3.把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法；
4.分解因式时，若多项式的各项有公因式，要先提公因式，再考虑用公式法分解因式.
六、课堂小测
1.下列多项式:①；②；③；
④；⑤.其中是完全平方式的有 ③④ .(只需填序号)
2.分解因式:
（1）； （2）
（3）； （3）；
（5）； （6）.
解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式；
（5）原式；
（6）原式.
3.利用公式法进行简便计算:.
解：原式.
4.当是偶数时，求证：能被4整除.
证明：∵是奇数，
∴是偶数. ∴能被4整除.
∵，
∴能被4整除.
七、作业布置
课时训练P53－54基础必做、中档运用 选做题: P54
八、教学反思
17.2 用公式法分解因式(3)
教学目标 1.学会综合运用提公因式法和运用公式法对较复杂的多项式进行因式分解；2.使学生了解在实数范围内分解因式的意义.
重点 综合运用提公因式法和运用公式在实数范围内分解因式.
难点 1.怎样多次运用公式法与提公因式法在实数范围内分解因式；
2.因式分解在证明上的应用.
核心素养 在运用平方差公式、完全平方公式进行因式分解的过程中，用不同的方法因式分解可以提高学生观察、判断能力以及综合运用知识的能力.
教学过程
一、问题情境
问题1：什么是分解因式？有什么要求？
师生活动：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫作把这个多项式分解因式；分解因式时，每个因式要分解到不能分解为止，也就是说要分解彻底.
追问1：分解因式有哪些方法？
师生活动:分解因式有提公因式法，运用公式法，后面还会学到十字相乘法.
追问2：什么是多项式各项的公因式？怎样确定多项式各项的公因式？
师生活动：多项式各项都含有的因式叫作多项式各项的公因式，公因式的系数为各项系数的最大公约数，相同字母取指数最小的幂.
追问3：能分解因式吗？
师生活动：在有理数范围内，这个多项式不能分解因式；在实数范围内，这个多项式可以分解因式：.
二、形成新知
追问1：什么是在有理数范围内分解因式？什么是在实数范围内分解因式？
师生活动：当要求所有因式的各项系数及常数项为有理数时，这样的分解因式叫作在有理数范围内分解因式；当所有因式的各项系数及常数项可以是有理数，也可以是无理数时，这样的分解因式叫作在实数范围内分解因式.
三、例题分析
例5 分解因式：
（1）； （2）.
解：（1）
；
（2）.
例6 分解因式：
（1）； （2）.
解：（1）；
（2）.
例7 在实数范围内解因式：
（1）； （2）.
解：（1）
（2）
追问：在有理数范围内如何分解这两个多项式的因式？
师生活动：（1）；
（2）.
四、当堂训练
1.分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
2.在实数范围内分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
；
（5）
五、课堂小结
1.什么是分解因式？有哪些方法？
2.分解因式要注意什么问题？
3.在有理数范围内分解因式与在实数范围内分解因式的含义分别是什么？两者有什么联系和区别？
六、课堂小测
1.分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2.在实数范围内分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）
；
（5）
.
七、作业布置
课时训练P55－56基础必做、中档运用 选做题: P56
八、教学反思
阅读与思考——用十字相乘法分解因式
教学目标1.理解型式子的因式分解；
2.会借除十字相乘的形式对型多项式进行因式分解，了解十字相乘法的意义.
重点 型式子的因式分解.
难点 如何用十字相乘法对形如的多项式进行因式分解．
核心素养 通过对十字相乘法公式的推导，发展学生的逻辑思维能力.在运用十字相乘法因式分解的过程中，培养学生的理解和应用能力.
教学过程
一、问题情境
问题1 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这类多项式进行因式分解？
师生活动：我们发现.
追问1：怎么推导这个公式？
师生活动：把用多项式的乘法法则展开并整理，即可得上述公式.
二、新知形成
师生活动：把公式倒过来，即得
.
追问1：利用这个公式你会把多项式分解因式吗？
师生活动：.
追问2：你会直接把多项式因式分解吗？
师生活动：
.
这种分解因式的方法也叫做分组分解法.
追问3：怎么描述公式呢？
师生活动：把的第一项系数分解成1乘1，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图1.这种通过画十字形，借助于交叉相乘等于中间项系数的分解因式的方法，叫做十字相乘法.
追问4：怎样用十字相乘法把分解因式？
师生活动：如图2，可得
.
三、例题分析
例1 用十字相乘法分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）如图3，；
（2）如图4，；
（3）如图5，；
（4）如图6，.
师生活动：1.用十字相乘法分解因式，可概括为如下口诀：
首分解，尾分解，交叉相乘和中写；
2.在十字形中，上方与下方分别对应两个因式的一次项系数与常数项.
例2 已知，其中，，为整数，求的最大值.
解：∵，
∴，.
不妨设.
∵，都是整数，
∴，，；
或，，；
或，，；
或，，.
∴的最大值等于5.
四、当堂训练
1.用十字相乘法分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）如图7，；
（2）如图8，；
（3）如图9，；
（4）如图10，.
2.已知，其中，，为整数，求的最大值.
解：∵，
∴，.
不妨设.
∵，都是整数，
∴，，；
或，，；
∴的最大值等于2.
五、课堂小结
1.什么是因式分解的十字相乘法？
2.十字相乘法要注意什么问题？
六、课堂小测
1.用十字相乘法分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）如图11，；
（2）如图12，；
（3）如图9，；
（4）如图10，.
七、作业布置
课时训练P57－58基础必做、中档运用 选做题: P58
八、教学反思
数学活动
教学目标 1.使学生理解个位数字是5的两位数平方的规律；
2.使学生了解利用因式分解生成密码的方法.
重点 1.个位数字是5的两位数平方的规律；2.利用因式分解生成密码的方法.
难点 个位数字是的两位数平方的规律及如何利用因式分解生成密码.
核心素养 通过对问题中规律的探究，发展学生的逻辑思维能力和推理能力.将生活实际和数学问题结合，体会数学的普适性，增强对数学的应用意识.
教学过程
一、提出问题
活动1 我们在过去的学习中已经发现了如下的规规律：
，
，
，
……
你能写出一般规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？
活动2 如何利用因式分解生成密码？
二、解决问题
活动1
追问1：个位数字是，十位数字是的两位数等于什么？
师生活动：个位数字是，十位数字是的两位数等于.
追问2：特别，个位数字是5，十位数字是的两位数等于什么？
师生活动：显然，等于.
追问3：你能写出问题1中的一般规律吗？你会证明吗？
师生活动：问题1中的一般规律是.
证明：由完全平方公式可得，
.
活动2
师生活动1：利用因式分解可以生成密码：
先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码.
师生活动2：例如多项式，将其分解因式为.
若取，，则有，，，其中12，17，
13分别为因式码.将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成了密码
121317.
追问1：，可以取另外的适当数字吗？
师生活动：可以.当，取另外的适当数字时，就随之得到了新的密码.因为，的取值方法有无数多种，因此，用这种方法设置的密码也有无数多种.
追问2：已知多项式，当取，时，用上述方法生成的密码是什么？
师生活动：因为，当取，时，，，，把425，25，5按从小到大的顺序排列，即得所要设置的密码525425.
追问3：已知多项式，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？
师生活动：在中，
当，且时，，；
当，且时，，，.
因此第三个因式码为125.
追问4：请自己写一个多项式，并用上述方法生成密码.
师生活动：能因式分解的多项式有无数个，对其中的字母的适当赋值也有无数种方法，因此用上述方法生成的密码也有无数种.将来，在座的同学们就可以用上述方法设置个人的银行卡密码.
三、拓展提升
追问1：你能发现个位数字是5的正整数的平方数的一般规律吗？上面的规律是否仍然成立？
师生活动：举一个例子，通过验证有，因此个位数字是5的正整数的平方数有类似于上面的规律：
在个位数字是5的正整数中，设5左边的部分构成的正整数为（比如在125中，），则.其证明方法与上面的证明方法完全相同.
追问2：在活动2中，在按上述方法得因式码后，能否把因式码按从大到小的顺序排列？从而形成新的密码？
师生活动：可以的，比如，用上述方法得到了三个因式码13，15，17，如果按从大到小排列，就形成了另一个密码171513.
追问3：除了把因式码按从小到大，或从大到小的顺序排列外，还可以设置其他的排列顺序吗？
师生活动：可以设置其他的排列序顺序（只要这个顺序不会忘记就行）.
追问4：按上述方法得到了一组密码后，能否在此基础上进行第二次加密？
师生活动：可以进行第二次，甚至更多次加密，加密的次数越多，理论上被破解的难度就越大.当然，加密的手段必须要有足够的复杂度，否则没有什么意义.
四、课堂小结
1.活动1涉及以下知识：已知两位数的个位数字与十位数字，如何表示这个两数？
2.个位数字是5的两位数，以及个位数字是5的正整数如何表示？通过完全平方公式运算，它的平方有什么规律？
3.利用因式分解形成密码的步骤是什么？能进行多次加密吗？
五、课堂小测
1.请用因式分解的方法证明.
证明：.
2.对调一个两位数的个位数字与十位数字，得一个新两位数，求证：新两位数与原数的差能被9整除.
证明：设原两位数的个位数字为，十位数字为，则这个两位数为
.对调这个两位数字的个位数字与十位数字后，新两位数为.
∵，且为整数，
∴能被9整除.∴原命题成立.
3.请利用多项式的因式分解生成一个密码.
解：分解因式，得.
取，，则，，.
把这三个因式码按从小到大的顺序排列，即得所要生成的密码：1224360.
六、作业布置
课时训练P57－58基础必做、中档运用 选做题: P58
七、教学反思
单元复习 因式分解
教学目标 巩固学生对因式分解的理解，会根据所给多项式合理选择适当的方法正确分解因式，进一步理解在有理数范围及在实数范围分解因式的意义，会用十字相乘法分解相关多项式.
重点 巩固对各种因式分解法的理解，如何根据所给多项式合理选择适当的方法分解因式.
难点 怎样根据所给多项式合理选择适当的方法分解因式，如何确保各个因式分解彻底.
核心素养 在已学的整式乘法和乘法公式的基础上学习多项式的因式分解，体会数学知识的逻辑关系，提高学生对运算的理解能力和应用能力.在因式分解过程中不同方法的应用，培养了学生综合运用知识的能力.
教学过程
一、题练精析
知识点1：因式分解的概念
例1：已知①，②，
③，④，
⑤.以上属于正确因式分解的是 ③⑤ .
知识点2：公因式的确定
例2：（1）多项式各项的公因式是；
（2）多项式的公因式是.
知识点3：提公因式法
例3：用提公因式法分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）；
（2）；
（3）
；
（4）.
知识点4：应用公式法
例4：运用公式法分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解： （1） ；
（2）；
（3）
；
（4）.
知识点5：完全平方式
例5：已知关于的多项式是完全平方式，求的值.
解：∵是完全平方式，
∴.
∴，即.
追问1：本题有没有别的解法？
师生活动：∵是完全平方式，
∴.
取，得.
解得，或.
知识点6：十字相乘法
例6：用十字相乘法分解因式：
（1）； （2）；
（3）.
解：（1）；
（2）；
（3）.
知识点7：用因式分解简便运算
例7: （1）； （2）.
解：（1）；
（2）
.
知识点8：因式分解的应用
例8：求证：两个连续奇数的平方差一定能被8整除.
证明：设较大的奇数为，则较小的奇数为（其中，为整数）.
∵，
∴能被8整除.
即两个连续奇数的平方差一定能被8整除.
二、课堂小结
1.什么是因式分解？因式分解的对象是什么？什么是多项式各项的公因式？2.因式分解有哪些方法？要注意什么事项？3.怎样用因式分解进行相关的简便计算？4.因式分解有哪些常见的应用？
三、课堂小测
1.分解因式：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
解：（1）
；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
2.用分解因式简便运算：.
解：
.
3.求证：不论为何整数，都是完全平方数.
证明：∵
，
∴不论为何整数，都是完全平方数.
四、作业布置
课时训练P63－64基础必做、中档运用 选做题: P64
五、教学反思
感知数学与实际生活的联系.依据具体生活情境，通过追问引出本章的核心问题：因式分解，为本节课的教学作了良好的铺垫.
理解多项式的另一种变形：化成几个整式的积的形式.
结合生活实际得到的两个式子的关系引入因式分解，公因式及提公因式分解因式的概念，充分体现了数学与现实生活中的密切联系.
让学生掌握识别多项式各项公因式的规律．
通过例子，使学生掌握用提公因式法分解因式．
让学生明确：对于（2），将提出后，括号内的第三项为1；对于（3），公因式的系数是各项系数的最大公约数.
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——会用提公因式法分解相关多项式的因式.
通过小测，检查学生对本节课内容的掌握情况，及时发现和解决存在的疑难问题.
分层要求,关注学生差异.
复习公因式的概念，以及如何识别多项式各项的公因式，加深学生的印象，为进一步学习用提公因式法分解更复杂的多项式打下基础.
通过例子巩固本节内容，培养学生从特殊到一般的思维能力及化归思想在提公因式中的应用．
使学生初步理解提公因式在相关证明题中的应用．
通过练习巩固本节内容，使学生掌握用提公因式法分解因式．
通过小结，使学生进一步掌握本节课的核心内容，即用提公因式法分解因式.
通过小测，检验学生对本节课内容的掌握情况，及时发现并解决相应的问题.
分层要求,关注学生差异.
感知数学与实际生活的联系.依据具体生活情境，通过追问引出本章的核心问题：用平方差公式分解因数可以简便计算，进而引入本节课的主题.
通过例子，加深学生对用平方差公式分解因式的理解及相关注意事项.
从例1到例2，由浅入深，由易到难.尤其是例2的第（3）小题，用平方差公式分解因式后，各因式有公因数，这时必须用提公因式的方法进一步分解.
通过练习，巩固学生用平方差公式分解因式的能力，以及用平方差公式进行相关的简便计算.
通过小结，进一步明确用平方差公式分解因式的适用多项式，以及用平方差公式分解因式的注意事项.
通过小测检验学生用平方差公式分解因式存在的问题，巩固学生用平方差公式解因式的能力，以及用平方差公式进行相关的简便计算的能力.
分层要求,关注学生差异.
通过完全平方公式实现了简便运算，自然而然引入了本节课的主题——完全平方式的意义．
类比平方差公式，引入用公式法分解因式.
通过例子，使学生掌握用完全平方公式分解因式的技能，进一步掌握完全平方式的特点.
通过当堂训练，巩固学生对本节课知识的理解和应用能力.
通过课堂小结进一步理解完全平方式的特点，掌握用公式法分解因式的技能.
通过课堂小测，检查学生对本节课的掌握情况，及时发现并订正存在的问题.
分层要求,关注学生差异.
通过追问方式复习之前学过的有关因式分解知识，同时引入了关于在实数范围内分解因式的意义.
通过这个例子，深化学生对在实数范围内分解因式的理解，以及在有理数范围和在实数范围分解因式的区别与联系.
通过当堂训练，使学生进一步掌握在实数范围内分解因式的技能，进一步理解在有理数范围与在实数范围分解因式的联系与区别.
通过课堂小结，使学生系统认识因式分解的内容，以及因式分解的相关注意事项.
通过课堂小测，检查学生对本节课知识的掌握情况，发现学生存在的问题并及时纠正错误.
分层要求,关注学生差异.
开门见山，直接引入，直奔主题．
引导学生从不同角度进行思考，培养学生的发散思维能力.
通过十字相乘法来解读本节课涉及的因式分解，便于学生抓住问题的本质.
通过例子讲解，使学生掌握用十字相乘法分解因式的技能，进一步理解十字相乘法分解因式的知识要点及注意事项.
通过当堂练习，巩固学生用十字相乘法分解因式的技能.
通过课堂小结，使学生进一步理解十字相乘法分解因式的步骤与注意事项.
通过课堂小测，及时发现学生用十字相乘法分解因式存在的各种问题，并及时纠正.
分层要求,关注学生差异.
使学生学会用参数思想思考和解决问题.
让学生了解用因式分解生成密码的数学原理，培养学生学习数的兴趣，开拓学生的数学视野.
通过拓展提升，让学生进一步拓展思维，进一步激发学习数学的兴趣.
通过课堂小结，梳理本节课的内容，使学生对本节课的内容有了系统性的认识.
通过课堂小测，检验学生对本节课的掌握情况，及时发现学生存在的问题，总结错误原因并进行订正.
分层要求,关注学生差异.
分门别类地列出各个知识点，并且一一举例说明它们的应用，以加深学生的印象，巩固学生对因式分解的理解应用.
用提问方式对本章内容进行梳理，巩固学生的理解，加深学生的对本章知识的系统认识..
通过小测检验学生的掌握情况，及时发现学生存在的问题，并及时订正..
分层要求,关注学生差异.
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