人教版八年级数学上册 第13章 三角形 课时教案

第十三章 三角形
13.1 三角形的概念
教学目标1. 理解并掌握三角形的概念、各部分名称及符号表示．2. 能依据边的关系对三角形进行分类，识别等腰三角形和等边三角形．
重点 三角形的概念、分类及相关概念．
难点 依据边的关系对三角形准确分类，理解等边三角形与等腰三角形的关系．
核心素养 1.通过从生活中的例子抽象出三角形的过程，让学生了解三角形的相关概念，发展抽象能力.2.通过本节内容的学习，培养学生的推理能力，运用几何语言有条理的的表达能力，让学生体会三角形知识的应用价值.
教学过程
一、情景引入
三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志等等，处处都有三角形的形象.
那么什么叫做三角形呢
师生活动：展示生活中含有三角形的图片，引导学生回顾小学对三角形的初步认识，引出本节课内容．
二、新知形成
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接.
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
三角形ABC用符号表示为△ABC. 三角形ABC的顶点C所对的边AB可用 c 表示，顶点B所对的边AC可用 b 表示，顶点A所对的边BC可用 a 表示.
我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形.
按角分类:
直角三角形
三角形 锐角三角形
钝角三角形
那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类.
三边都相等的三角形叫做等边三角形；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形.
显然，等边三角形是特殊的等腰三角形.
按边分类:
三角形 不等边三角形
等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
等边三角形
三、例题分析
例1 如图，在中，点在边上，.
(1)写出以点为顶点的三角形；
(2)写出以为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解:(1)以点为顶点的三角形；
(2)以为边的三角形；
(3)等腰三角形是；等边三角形是.
例2 如图，在中，，点在内，，找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解: 等腰三角形是；
等边三角形是.
例3 如图，在中，是直角，,垂足为，点在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
解: 锐角三角形是；
直角三角形是；
钝角三角形是.
四、当堂训练
1. 图中有几个三角形 用符号表示这些三角形.
答:图中有5个三角形,它们分别是
.
2. 如图，在中，,垂足为，是钝角，点在线段上，且是钝角．
(1)图中有几个三角形 用符号表示这些三角形.
(2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
解: (1) 图中有6个三角形,它们分别是
.
(2)锐角三角形是；
直角三角形是；
钝角三角形是.
五、课堂小结
本节课我们引入一类新的数学对象——三角形，并进行初步的研究.
1. 三角形的概念、各部分名称及符号表示.
2. 依据边的关系对三角形进行分类.
六、课堂小测
1.图中有几个三角形 用符号表示这些三角形.
解: (1) 图中有6个三角形,它们分别是
.
2. 如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形.
解: 等腰三角形是；
等边三角形是.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
13.2.1 三角形的边
教学目标1. 理解三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2. 能运用三边关系判断三条线段能否组成三角形以及已知三角形两边求第三边的取值范围．3.理解三角形的稳定性.
重点 三角形三边关系的理解与应用．
难点 利用三边关系进行推理计算以及分类讨论思想的应用．
核心素养 通过实验探究三角形稳定性和三边的关系，培养学生独立思考的学习习惯和动手能力.
教学过程
一、情景引入
为什么在这些工程建筑中经常采用三角形的结构呢
师生活动：展示生活中含有三角形结构的图片，如屋顶钢架结构、起重机、钢架桥等。引导学生回忆三角形的稳定性，进而引出本节课对三角形边的关系的探究．
二、新知形成
探究 任意画一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？各条路线的长一样吗？为什么？
解：有两条路线：(1)从B→C，(2)从B→A→C；不一样，AB+AC＞BC ①；因为两点之间线段最短. 同样地有AC+BC＞AB ②；AB+BC＞AC ③
根据上面的探究，我们可以知道什么？
答：三角形的任意两边之和大于第三边.
探究 三角形的稳定性
1.把三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗
答：不会改变.
2.把四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗
答：会改变.
3.在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗
答：不会改变.
从上面的实验中,你能得出什么结论
三角形具有稳定性,而四边形不具有稳定性.
三、例题分析
例1 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
解:(1)设底边长为cm,则腰长cm.
依题意，得，解得
所以,三边长分别为 3.6cm , 11.2cm , 11.2cm .
(2)如果长为4cm的边为底边,设腰长为cm,则
，解得
如果长为4cm的边为腰,设底边长为cm,则
，解得
因为,出现两边的和小于第三边的情况,所以不能围成腰长是4cm 的等腰三角形.
由以上讨论可知,可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
例2 下列长度的三条线段首尾连接能否构成三角形？为什么？
(1)3,4,8； (2)5,6,11； (3)5,6,10.
解:(1)不能组成三角形.因为,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不能组成三角形；
(2)不能组成三角形.因为,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不能组成三角形；
(3)能组成三角形.符合三角形两边的和大于第三边.
例3 一根4dm长的木条和两根1dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根4dm长的木条和一根1dm长的木条呢？
解: 一根4dm长的木条和两根1dm长的木条不能组成一个等腰三角形，因为,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不能组成三角形.两根4dm长的木条和一根1dm长的木条能组成一个等腰三角形，因为,符合三角形两边的和大于第三边,所以能组成三角形.
四、当堂训练
1. 三角形的三边长分别为2，7，a，则a的取值范围是.
2. 已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,求它的周长.
解:分两种情况:
(1)当腰长为时,三边长分别为,因为,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不能组成三角形；
(2)当腰长为时,三边长分别为,可以组成三角形,此时,它的周长为；
综上所述,它的周长为.
3. 已知a,b,c是三角形的三边长,化简:.
解:∵a,b,c是三角形的三边长
∴,
∴,
∴.
五、课堂小结
引导学生回顾本节课所学内容.
1. 三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
2. 三条线段组成三角形的条件.
3. 运用三边关系解决等腰三角形相关问题时的分类讨论方法.
六、课堂小测
1.下列图形中,具有稳定性的是( C )
A.正方形 B.长方形 C.直角三角形 D.平行四边形
2.若长度分别为,,的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是　 如:5(答案不唯一) 　.(写出一个即可)
3.长为10,7,5,3的四根木条,选其中三根首尾连接组成三角形,有种选法,分别是.
4.等腰三角形的一边长等于5,一边长等于,则它的周长为.
5.一个等腰三角形的一边长为,周长为,求其他两边的长.
解:分两种情况:
(1)当为底边长时,则腰长
这时三边长分别为,,,可以组成三角形；
(2)当为腰长时,则底边长
这时三边长分别为,,,可以组成三角形；
综上所述,其他两边的长为,或,.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
教学目标1. 理解三角形中线、角平分线、高的概念．2. 掌握三角形中线、角平分线、高的画法．3. 明确三角形中线、角平分线、高的性质.
重点 三角形中线、角平分线、高的概念、画法及性质．
难点 钝角三角形高的画法及三角形三条中线、角平分线、高交点的性质理解．
核心素养 通过学生观察、比较、描述图形等操作，进一步丰富学生对图形的认识和感受，加强学生对学习的主动性和研究性，同时发展学生的空间观念，从而发展他们的创新能力.
教学过程
一、情景引入
师生活动：展示生活中含有三角形的建筑、图案等图片，如埃及金字塔侧面三角形结构等. 提问：三角形除了三条边，还有哪些重要的线段呢？引发学生思考，从而导入新课．
二、新知形成
1.三角形的高
请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法.
答：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高,表示为AD⊥BC于点D.
注意:高与垂线不同,高是线段,垂线是直线.
请你再画出这个三角形AB 、AC边上的高,看看有什么发现
答：三角形的三条高相交于一点.
如果△ABC是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗
答：显然,上面的结论成立.
2.三角形的中线
如图,我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线,表示为BD=DC或BD=DC=BC或2BD=2DC=BC.(教师引导学生画图)
请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线,看看有什么发现
答：三角形的三条中线相交于一点.
如果三角形是直角三角形、钝角三角形,上面的结论还成立吗
答：上面的结论还成立.
3.三角形的角平分线
如图,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝
∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC.(教师引导学生画图)
思考:三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是射线,是不一样的.
请你在图中再画出另两个角的平分线,看看有什么发现
三角形三个角的平分线相交于一点.
想一想:三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部,而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部,直角三角形三条高的交点在直角顶点,钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
三、例题分析
例1 如图,(1)(2)和(3)中的三个有什么不同 这三条△ABC的边上的高在各自三角形的什么位置 你能说出其中的规律吗
答:图(1)(2)和(3)中的分别是锐角、直角、钝角；
规律如下:当为锐角时,高AD在三角形内；
当为直角时,高AD在三角形的边上,与直角边重合；
当为钝角时,高AD在三角形外.
例2 填空:
(1)如图(1),是△ABC的三条中线,
则,,
,
,.
(2)如图(2),是△ABC的三条角平分线,
则∠,∠,
∠∠.
四、当堂训练
1. 如图,在△ABC中,是中线,是角平分线,是高.填空:
(1)；
(2)∠；
(3)∠∠；
(4).
2. 如图,在△ABC中,,,△ABC的高与的比是多少 (友情提示:利用三角形的面积公式)
解:∵
∴
∵
∴
∴.
五、课堂小结
引导学生回顾本节课所学内容.
1. 三角形的高、中线、角平分线的概念和画法.
2. 三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律.
六、课堂小测
1.对于下列每个三角形,过顶点画出中线、角平分线和高.
解:所要画的中线AD、角平分线AE、高AF如图所示.
2.如图,是△ABC的角平分线,,DE交AB于E,DF//AB,DF交AC于F,求证:.
证明:∵DE//AC,DF//AB
∴,
∵AD是∠BAC的平分线
∴
∴.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
13.3.1 三角形的内角(1)
教学目标1. 理解三角形内角和定理的内涵．2. 学会使用三角形内角和定理进行有关计算．
重点 三角形的内角和定理探究与证明．
难点 三角形的内角和定理的证明方法(添加辅助线)的讨论．
核心素养 1.在学习探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神. 2.提高学生分析问题和认识问题的能力，并能在感性认识的基础上进行理性思考，形成较全面的数学观.
教学过程
一、情景引入
动手操作
1.三角形的内角和等于多少度
答：三角形内角和等于180度.
2.在纸上画一个三角形将将它的内角剪下,试着拼拼看.
3.在同伴交流有哪些不同的拼合方法.
师生活动：展示生活中含有三角形的建筑、图案等图片，如埃及金字塔侧面三角形结构等. 提问：三角形除了三条边，还有哪些重要的线段呢？引发学生思考，从而导入新课．
二、新知形成
问题:
1.由刚才拼合而成的图形,你能想出说明“三角形内角和等于180度”这个结论的正确方法吗
2.把你的想法与同伴交流．
3.各小组派代表展示说理方法．
4.请同学们归纳上述各种不同的方法.
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A ∠B ∠ACB 180°.
想一想,还可以怎样拼
如果把上面移动的角在图上进行转移,由图1你能想到证明三角形内角和等于的方法吗
已知△ABC,求证:∠A ∠B ∠C 180°.
证明一：
过点C作CM∥AB,则∠A ∠ACM,∠B ∠DCM,
又∠ACB ∠ACM ∠DCM
∴∠A ∠B ∠ACB 180°.
即:三角形的内角和等于180°.
由图2、图3你又能想到什么证明方法 请说说证明过程.
三、例题分析
例1 如图,在△ABC中,∠BAC=,∠B=,AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=
∴
∵∠B=
∴
例2 如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度
解:∠CBA=
∵AD//BE
∴
∴
∴
∴
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ACB是,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是.
四、当堂训练
1.求出图形中x的值:
解:根据题意,得
解得.
2.如图,从处观测处时仰角,从B处观测C处时仰角,从C处观测A,B两处时视角∠ACB是多少
解:在△ACD中,
∴
在△BCD中,
∴
∴
答:C处观测A,B两处时视角∠ACB是.
3.如图，在△ABC中，∠A =,求的度数.
解:在△ABC中，
在△ADE中，
∴
五、课堂小结
引导学生回顾本节课所学内容.
1. 三角形内角和定理.
2. 三角形内角和定理的运用.
六、课堂小测
1.如图,,,.求的值.
解:在中,
∴
∵,,
∴
∴
在中,
∴ ∴.
2.求出下列图形中x的值:
解:根据题意,得 解得； 解:根据题意,得解得
3.如图,B处在A处的南偏西方向,C处在A处的南偏东方向,C处在B处的北偏东方向,求∠ACB的度数.
解:由图可知:,,
∵
∴
∴,
在△ABC中,
∴.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
13.3.1 三角形的内角(2)
教学目标1. 理解直角三角形的两个锐角互余．2. 学会使用三角形内角和定理的推论进行有关计算．
重点 直角三角形的性质与判定定理探究与证明．
难点 几何推理的证明格式书写．
核心素养 在学习探究的过程中培养学生数学推理和解决问题的能力，帮助学生巩固知识和学会拓展运用.
教学过程
一、复习引入
复习三角形的内角和
问题1 在△ABC中,∠A＝60°,∠B＝30°,∠C等于多少度
解：∵在△ABC中,∠A＝60°,∠B＝30°
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°
二、新知形成
探索 直角三角形的性质
问题2 在△ABC中,若∠C＝90°,你能求出 ∠A,∠B的度数吗 为什么 你能求出∠A＋∠B的度数吗
答：不能求出 ∠A,∠B的度数；∠A＋∠B的度数为90°.
师生活动:学生独立解决,若有疑问,可以交流,教师点评.
追问:利用上面的结果,你能得出什么结论
师生活动:学生用自己的语言归纳总结,教师再规范化,得出直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.教师介绍表示直角三角形的符号“Rt△”,并指出直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
问题3 此性质的几何推理格式怎样表示呢
师生活动:教师引导学生分析性质的题设和结论,从而写出性质的几何推理格式:
在Rt△ABC中,
∵∠C＝90°,
∴∠A＋∠B＝90°.
探索 直角三角形的判定
问题4 我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,你能得出什么结论
师生活动:教师提出问题,由学生分析、解决,教师点评.
追问:这个结论成立吗 如何验证你的想法
师生活动:由学生去分析、画图、写出已知、求证和证明过程.利用三角形内角和定理可得,有两个角互余的三角形是直角三角形.
问题5 类比性质的几何推理格式,判定的几何推理格式又该怎样表示
师生活动:教师引导学生分析判定的题设和结论,从而写出判定的几何推理格式:
在△ABC中,
∵∠A＋∠B＝90°,
∴△ABC是直角三角形.
三、例题分析
例1 如图,∠C＝∠D＝90°,AD,BC相交于点E,比较∠CAE与∠DBE的大小.
解：在Rt△ACE中，.
在Rt△BDE中，.
∵,
∴.
师生活动:学生思考上述问题并回答,教师根据学生的回答板书示范.
例2如图,,,垂足为.与有什么数量关系 为什么
解:.
理由:∵
∴
∵
∴
∴.
例3 如图,,,是直角三角形吗 为什么
解:是直角三角形.
理由:在中,
∴
∵
∴
∴是直角三角形.
四、当堂训练
1.在Rt△ABC中,,,则　 20 　.
2.如图,AC⊥OB于点C,BD⊥AO于点D,若,则 50　.
3.如图,直线l1∥l2,CD⊥AB于点D,,则∠BCD的度数为40 .
4.如图,AB//CD,.填空:
∵AB//CD
∴
∴
∵
∴.
五、课堂小结
引导学生回顾本节课所学内容.
1. 直角三角形的两个锐角互余.
2. 直角三角形的性质与判定.
六、课堂小测
1. 已知,,则△ABC为( B )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.以上都有可能
2.如图,已知AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C,若,则
52 .
3.如图,△ABC中,,,BD平分∠ABC交AC于点D,则.
4.如图,于点D,,,求∠BAC的度数.
解:∵
∴
在中,
∴
在中,
∵
∴
∴.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
13.3.2 三角形的外角
教学目标1. 理解三角形的外角．2. 掌握三角形外角的性质,能利用三角形外角的性质解决问题．
重点 三角形的外角和三角形外角的性质．
难点 理解三角形的外角．
核心素养 1.在探索活动中培养学生对数学的好奇心，发展空间观念. 2.在学习过程中感受几何推理的严谨性，从而培养严谨的学习态度.
教学过程
一、复习引入
如图,△ABC的三个内角是什么 它们有什么关系
答：是∠A，∠B，∠C,它们的和是180°.
若延长BC至D,则∠ACD是什么角 这个角与△ABC的三个内角有什么关系
通过本节课的学习，我们将解决上述问题.
二、新知形成
1.三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角.也就是,三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
想一想 三角形的外角共有几个
答：共有六个.
注意:每个顶点处有两个外角,它们是对顶角.研究与三角形外角有关的问题时,通常每个顶点处取一个外角.
2.三角形外角的性质
容易知道,三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角,那与另外两个角有怎样的数量关系呢
如图,这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线,
你能就此图说明∠ACD与∠A，∠B的关系吗
解：∵CE∥AB,
∴∠A=∠1,∠B=∠2
又∠ACD=∠1+∠2
∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.
三、例题分析
例1 如图,∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角,它们的和是多少
解：∵∠1+∠BAC=,∠2+∠ABC=180,∠3+∠ACB=180,
∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=540
又∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180
∴∠1+∠2+∠3=360.
你能用语言叙述本例的结论吗
三角形外角的和等于.
例2直接写出下列图形中和的度数.
,； ,.
例3 如图,CE是的外角∠ACD的平分线,且CE交BA的延长线于点E.求证:.
证明:∵为的一个外角
∴
∵是的平分线
∴
∴
∵为的一个外角
∴
∴
∴.
四、当堂训练
1. 如图,AB//CD,,.则.
2.如图,D是AB上一点,E是AC上一点,,相交于点F,,
,.则.
3.如图,∠A,∠1,∠2的大小关系是.(用“”连接)
五、课堂小结
引导学生回顾本节课所学内容.
1. 什么是三角形外角.
2. 三角形的外角有哪些性质.
六、课堂小测
1.直接写出下列图形中和的度数.
,； ,.
2.如图,,,,则.
3.如图,AB//CD,,.求∠C的度数.
解:∵AB//CD
∴
∵是的一个外角
∴
∵
∴
∴.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
13.4 数学活动
教学目标1. 理解等边三角形搭建规律．2. 掌握多边形三角剖分方法，能推导并应用n边形三角剖分公式计算剖分方法数．
重点 等边三角形搭建方式，多边形三角剖分方法及n边形三角剖分公式应用．
难点 从立体角度搭建等边三角形，理解并应用n边形三角剖分公式．
核心素养 1.经历猜想、类比、推理等数学活动，探索多边形三角剖分公式，发展学生的推理能力，积累数学活动经验. 2.通过本节课的学习，培养学生探索与归纳的能力，体会从简单到复杂、从特殊到一般及转化等重要思想方法.
教学过程
一、情景引入
师生活动：展示生活中多边形元素图片，如蜂巢（六边形）、三角架（三角形）等，引出本节课将探究多边形相关数学活动，引发学生兴趣.
二、活动探究
数学活动1 搭等边三角形
活动准备：一些等长的磁力棒.
问题1 用6根磁力棒能组成4个等边三角形吗？
分析：在平面上，6 根磁力棒无法组成 4 个等边三角形．根据提示考虑立体图形，正四面体可以满足要求．
解：正四面体有 4 个面，每个面都是等边三角形，且正四面体由 6 条棱组成．所以用 6 根等长的磁力棒可以组成一个正四面体，正好能组成 4 个等边三角形．
问题2 用9根磁力棒最多能组成几个等边三角形？
分析：在组成多个正四面体的过程中，考虑共用磁力棒来增加组成等边三角形的数量．
解：可以将两个正四面体底面重合放置．一个正四面体需要 6 根磁力棒组成 4 个等边三角形，在此基础上增加 3 根磁力棒与原正四面体共用一个底面，可再组成 3 个等边三角形．总共能组成的等边三角形数量为4+3=7个．所以 9 根磁力棒最多能组成 7 个等边三角形.
当用n根磁力棒摆出最多等边三角形时，这些三角形具有以下特点：
立体分布：多数情况下通过构建立体图形（如正四面体及其组合）实现数量最大化，三角形不在同一平面内，而是形成空间结构．
共用边：为节省磁力棒数量，多个等边三角形会共享边．例如多个正四面体组合时，相邻的三角形共用一条磁力棒作为边．
边长相等：由于磁力棒等长，组成的每个三角形三条边长度均相等，严格满足等边三角形的定义．
数学活动2 多边形的三角剖分
多边形的三角剖分：把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形.
例：下图为七边形的三角剖分的几种方法.
问题3 试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖分出多少个三角形？n边形呢？
解：
四边形能剖分两个三角形，五边形能剖分三个三角形，
六边形能剖分四个三角形，n边形能剖分个三角形.
问题4 将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？
n边形的不同三角剖分方法数（）的公式：
当时， .
解：当时，，所以；
当时，，所以.
三、例题分析
例1 在平面内，分别用3根、5根、6根火柴棒首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下．
火柴棒数 3 5 6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
问：（1）4根火柴棒能搭成三角形吗？
（2）8根、12根火柴棒能搭成几种不同形状的三角形？
解：（1）4根火柴搭成三角形时一边长为2，另外两边长为1，根据三角形的三边关系，可得4根火柴不能搭成三角形；
（2）8根火柴能搭成一种三角形，3，；
12根火柴能搭成3种不同的三角形，4，4；5，5，2；3，4，．
例2 用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．如图，凸四边形，有两种剖分方法：（如图示）20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：表示凸边形的三角剖分数）请你用上面的公式计算　14　．
四、当堂训练
1. 我们都知道定理：“三角形的内角和是．”凸多边形的内角和是多少度呢？显然运用化归思想，可以把凸多边形分割成若干个三角形来解决，如图所示．
（1）过四边形的一个顶点的对角线有 　1　条；将四边形分割成 　2　个三角形，四边形的内角和为 ；
（2）过五边形的一个顶点的对角线有 　2　条，将五边形分割成 　3　个三角形，五边形的内角和为 ；
（4）猜想：过为大于3的整数）边形的一个顶点的对角线有 条，将边形分割成 个三角形，边形的内角和为 ．
2. 从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形．边形没有对角线，则的值为 　10　．
五、课堂小结
引导学生回顾本节课所学内容.
1. 等边三角形搭建规律.
2. 多边形三角剖分方法.
六、课堂小测
1. 若某多边形从一个顶点所作的对角线为4条，则这个多边形共有 　14　条对角线．
2. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形的边数是 　8　条．
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
单元复习 三角形
教学目标1. 理解并掌握与三角形有关的线段和角．2. 利用三角形相关知识解决问题．
重点 掌握三角形的核心知识．
难点 三角形相关知识的灵活运用．
核心素养 通过本章的学习，训练学生形成三角形意识和初步动手操作技能，拓展学生归纳总结，切割分析复杂图形的能力.
教学过程
一、题练精析
知识点一：三角形的定义
例1 如图，点P在内，连接BP并延长交AC于点D，连接PC，求证：.
证明：由三角形两边的和大于第三边，得
，
.
将不等式左边、右边分别相加，得
,
即.
练习1 一个三角形的两边长分别是1和4,若第三边的长为偶数,则第三边的长是 4 .
知识点二：三角形的中线、角平分线和高
例2 如图,AD,AE分别是边BC上的中线和高,,
,则的长是 6 .
练习2 如图，在中，，B,C,D三点共线，BE是的平分线，CE是的平分线，则=.
知识点三：三角形的内角与外角
例3 求出下列图形中的值.
(1)列方程 (2)列方程
解得 40 ； 解得 70 .
练习3 下列四个条件：
①在中，，都是锐角；
②的三个内角的度数之比是；
③在中，；
④的三个外角的度数之比是.
其中能确定是直角三角形的是 ②③④ （只填序号）.
知识点四：三角形综合计算与证明
例4 如图,中,,是边AC上的高,求的度数.
解:∵,
∴
解得
∴
∵是边AC上的高
∴
∴.
练习4 如图,△ABC的和的平分线BE,CF相交于点G.
求证: 122°..
证明:∵BE,CF分别平分∠ABC和∠ACB
∴,
∵
∴
∵
∴.
二、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1) 三角形的定义；
(2) 三角形的中线、角平分线和高；
(3) 三角形的内角与外角.
三、课堂小测
1. 以下列长度的各组线段为边,能组成三角形的是( C )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
2.如图,AD是△ABC的中线,则下列结论正确的是( D )
A.AD⊥BC B.
C. D.
3.如图,.
4.如图,.求证:.
证明:设,则
在△ABC中,
∴
解得
即
∵
∴
∴.
四、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
五、教学反思
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
教学目标1. 理解物体重心的概念，明确匀质薄板重心位置与图形形状的关系．2. 掌握确定简单平面图形（如三角形、矩形等）及组合图形重心位置的方法．
重点 平面组合图形重心位置的探究过程．
难点 平面组合图形重心位置的坐标计算与关系推导．
核心素养 1.在学习探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神. 2.通过小组活动培养学生合作精神和创新意识，锻炼学生的理性思维和表达能力.
教学过程
一、情境导入
师生活动：展示图片（运动员转向、杂技转盘子、水坝建筑等），提问：“重心对物体平衡有何作用？如何确定匀质薄板的重心？”
引出课题：通过数学方法探究匀质薄板重心位置．
二、活动探究
活动一：确定简单平面图形的重心位置
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题.
任务一：认识平面图形的重心
(1)在物理学中,物体的重心指的是什么 匀质薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关
答：物体的重心（针对匀质薄板）是其几何中心；匀质薄板的重心位置与薄板的几何形状有关.
(2)用一根手指或一个支架顶住一个三角形匀质薄板的重心,它能保持平衡吗 三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系
答：能保持平衡；三角形匀质薄板的重心位置与三角形的重心位置完全重合，均为三角形三条中线的交点.
(3)你能仿照三角形的重心,给一般平面图形的重心下一个定义吗
答：一般平面图形（质量均匀分布时）的重心，是图形各部分在几何上的平衡中心，即图形的几何中心，满足以该点为支撑时图形保持平衡.
任务二：了解平面图形重心位置的分布特点
(1)你能利用物理知识,设计一个发现三角形的重心位置的实验吗
答：取一块质地均匀的三角形薄板，在薄板边缘不同位置（如顶点附近）分别打孔．用细线悬挂薄板，待其静止后，沿细线方向在薄板上画一条竖直直线；换另一个孔重复悬挂，画出第二条竖直直线．两条直线的交点即为三角形的重心．原理：悬挂静止时，重力与拉力平衡，重心在悬线延长线上，多次悬挂交点即重心．
(2)怎样确定其他常见的几何图形(如线段、正方形、长方形、平行四边形等)的重心位置 这些图形的重心位置有什么共同特点 你能尝试说明为什么三角形的重心也满足上述特点吗
答：线段：重心在中点；正方形、长方形、平行四边形：重心在对角线交点（即几何中心）．
共同特点：均位于图形的几何中心（或对称中心），即图形绕该点旋转
180°后与原图形重合．
三角形重心分析：三角形虽无中心对称，但三条中线的交点（重心）是其质量分布的 “平衡中心”．从物理角度，可将三角形分割为无数平行于某一边的窄条，每条窄条的重心在其中点，所有窄条重心连线为中线，三条中线交点自然成为整个三角形的重力平衡中心，符合 “几何中心” 的本质特征．
(3)如果有人问你"一个平面图形的重心指的是什么 位于它的什么位置 ",你会怎样回答
答：平面图形的重心是其重力的等效作用点，即假设图形的重力集中于该点．对于质地均匀、形状规则的平面图形，重心位于其几何中心；若图形质地不均匀或形状不规则，需通过悬挂法等实验确定重心位置.
任务三 确定一些平面图形的重心位置
(1)你选择的是什么图形 能否根据它的形状确定其重心位置 如果能,你的依据是什么 如何验证你找到的重心位置的准确性
答：选择图形：长方形．
能否确定及依据：能确定．长方形是中心对称图形，其重心位置在两条对角线的交点（即对称中心），因为规则的中心对称图形，重心与几何中心重合．
验证方法：采用悬挂法．将矩形在不同位置（如相邻两边）悬挂，沿悬线方向画直线，两条直线的交点若与对角线交点重合，则验证正确．
(2)当不能根据图形的形状确定它的重心位置时,你能通过把它分割成已知重心位置的图形来寻找它的重心位置吗 如果能,你是如何做的 如果不能,你遇到了什么困难
答：采用悬挂法.
活动二：确定平面组合图形的重心位置
任务一 探究平面图形的重心位置关系
探究 如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为长方形，，，,分别为边上一点，.
(1)直接写出长方形的重心，长方形的重心，长方形的重心三个点的坐标.
答：，，.
(2)图形的重心位置的横坐标、纵坐标与两部分的重心位置的横坐标、纵坐标之间有什么数量关系？例如，能写成“，”的形式吗？
答：通过待定系数法，可以发现，.其中，为两部分图形在完整图形中的面积占比.
(3)换一个标准把图形分成两部分,你能得到图形重心位置的横、纵坐标与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的什么数量关系 这种关系是否与前面得到的关系具有一致性
师生活动：可采用小组讨论，并派代表分享研究结果.
(4)根据前面的探究结论,猜想这个图形的重心位置的横、纵坐标与被分成的局部图形的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系，并尝试用式子把这个关系表达出来.
答：,，其中为平面组合图形总面积，为被分成的简单平面图形的面积.
任务二 确定一个工程用薄板类工件的重心位置
如右图是一个“L”形角钢的横截面，通过计算确定它的重心位置.（结果保留两位小数）
解：如图，建立平面直角坐标系，由图中数据可知
,,,,,,,
长方形的重心，
长方形的重心，
长方形的面积,
长方形的面积,
“L”形角钢的横截面积.
所以“L”形角钢的重心横坐标；
“L”形角钢的重心纵坐标.
综上所述，“L”形角钢的重心坐标.
三、课堂小结
学生总结：重心确定方法、数学知识的应用．
教师点评：肯定探究成果，强调数学与物理、工程的跨学科联系．
过程评价：观察小组合作、实验操作参与度．
成果评价：检查研究报告、重心计算的准确性．
五、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
六、教学反思
情景引入，展示生活中大量的三角形，为学习三角形做好准备．感受数学来源于生活.
学生在小学的时候对三角形已经有了初步认识，本节课将三角形进行概念化、符号化表示．
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——三角形．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
展示生活中的三角形结构，引出本节课探究的问题．
从现实情境中，抽象出三角形的三边关系，体会数学来源于现实生活．
从现实情境中，抽象出三角形的稳定性，体会数学来源于现实生活．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
动手画图，在做中学．理解三角形的中线、角平分线、高的意义.
A
B
C
O
D
E
F
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
从丰富的拼图活动中发展学思维的灵活性,创造性,为下一环节“说理”做准备．
通过动手操作，寻找证明三角形内角和定理的思路，体会数学的逻辑推理思维．
通过例题讲解本节内容．
A
B
C
D
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
调动学生已有的知识、经验,为获取新知识做准备．
两个问题的设计,注意对比教学,前者不可求,有无穷多个不定解,而后者利用了“整体思想”和已有的“三角形的内角和”知识可求．
推理格式是学生在运用中易错的,将这一部分独立分析,对学生有示范作用．
通过说出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题,由性质过渡到判定.
推理格式的规范书写是学生在运用中易于混淆与发生错误的,故而清晰地给出,便于学生掌握.
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
第3题
第2题
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
第2题
第3题
分层要求,关注学生差异.
调动学生已有的知识、经验,为获取新知识做准备．
结合三角形内角和定理的证明过程，探究三角形外角的性质．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
第1题
第2题
第3题
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
第2题
分层要求,关注学生差异.
生活中有大量和多边形相关的元素，体会数学来源于现实生活．
动手操作，在具体实践中感受数学之美．
引导学生通过对四边形、五边形、六边形等进行三角剖分，直观理解多边形的结构特征，深化对多边形内角和等相关知识的认知．
在探究不同三角剖分方法数公式时，通过对递推公式的运用，培养学生解决复杂数学问题的能力，学会运用数学模型解决实际问题．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
例题配套练习，讲练结合进行单元复习．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
第3题
第2题
分层要求,关注学生差异.
通过展示运动员转向、杂技转盘子、水坝建筑这些与生活和工程实际紧密相关的图片，引发学生好奇心，让学生对重心相关知识产生探究欲望，调动学习积极性．
以小组合作形式开展查资料、做实验、讨论等活动，培养学生团队协作精神，锻炼学生沟通交流、分工合作以及共同解决问题的能力．
从特殊的分割情况（如题目中给定方式）到一般情况的猜想，让学生经历从特殊到一般的数学思维过程，提升归纳总结和数学建模能力．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
分层要求,关注学生差异.
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