25.2 用列举法求概率 同步练习（含答案）2025-2026学年人教版九年级数学上册

25.2 用列举法求概率
第 1 课时 用列举法求概率
知识技能巩固练
1.小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.1
3.小明要用如图25-2-1所示的两个相同的转盘做“配紫色”游戏，每个转盘均被等分成若干个扇形，他同时转动两个转盘(当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘)，转盘停止时指针所指的颜色恰好配成紫色(红色和蓝色能配成紫色)的概率为( )
A. B. C. D.
4.某中学举办“传承红色精神，讲好阜新故事”演讲比赛，共设置“海州矿精神”“三沟精神”“治沙精神”三个主题，每位选手随机选取一个主题参赛.如果小明和小宇都参加比赛，他们同时选中主题“海州矿精神”的概率是 ( )
A. B. C. D.
5.某校组织了一次诗歌比赛，有2名女生和2名男生获得一等奖，现准备从这4 名获奖学生中随机选出2名学生进行培训，将来代表学校参加市教育局举办的中国诗歌比赛，则选出的结果是“一男一女”的概率是 ( )
A. B. C. D.
6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，填写下表：
第一枚 第二枚 正 反
正 (正,正)
反 (反,反)
由表格可知，出现“一正一反”的概率是 .
7.一只不透明的袋子中装有4 个小球，分别标有编号1，2，3，4，这些小球除编号外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2 的概率为 ；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球.求第2 次摸到的小球编号比第1 次摸到的小球编号大1的概率是多少.(用列表的方法说明)
能力提升综合练
如图 25-2-2 所示,电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关S ,S ,S 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 .
9.如图25-2-3，两个相同的可以自由转动的转盘 A 和 B，转盘 A 被三等分，分别标有数字2,0,-1;转盘 B 被四等分,分别标有数字3,2,-2,-3.如果同时转动转盘 A,B,转盘停止时，两个指针指向转盘 A，B上的对应数字分别为x，y(当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘)，那么点(x，y)落在直角坐标系第二象限的概率是 .
10. 2022年 3 月 23 日下午, “天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情.小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得.小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同.小冰从甲口袋中随机摸出一个球，小雪从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜.请用列表的方法说明这个游戏对双方是否公平.
素养提升创新练
11.[模型观念]如图25-2-4①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它的四个面上分别标有数字1,2,3,4.
如图②，正方形 ABCD 的顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边按顺时针方向连续跳几个边长.
如：若从圈 A 起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3 个边长，落到圈 D；若第二次掷得2，就从圈 D 开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B……
设游戏者从圈A 起跳.
(1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A 的概率P ;
(2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈 A 的概率 P ，并指出她与嘉嘉落回到圈A 的可能性是否一样.
25.2第 2 课时 用画树状图法求概率
知识技能巩固练
1.同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是 ( )
A. B. C. D.
2.三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”“2”“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a，b，c，则以a，b，c为边长的三角形是等边三角形的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G 时代”“北斗卫星”“高铁速度”三个主题.若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是 .
4.小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际上这个事件发生的概率是 .
5.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.若三枚鸟卵全部成功孵化，则三只雏鸟中恰有两只雌鸟的概率是 .
6.如图25-2-5是两个相同的圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成“1”“2”“3”“4”四个区域.
(1)旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是 ；
(2)同时旋转两个转盘，用画树状图的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率.(当指针指在两个区域的交线时，需重新转动转盘)
7.甲口袋中装有 2个相同的小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有数字6，7.从三个口袋中各随机取出1个小球.用画树状图的方法求：
(1)取出的 3 个小球上恰好有一个偶数的概率；
(2)取出的3个小球上全是奇数的概率.
能力提升综合练
8. 如图25-2-6,湖边建有 A,B,C,D共4 座凉亭，某同学计划将这4座凉亭全部参观一遍，从入口处进，先经过凉亭 A，接下来参观凉亭B 或凉亭C(已经参观过的凉亭，再次经过时不作停留)，则最后一次参观的凉亭为凉亭D的概率为 ( )
A. B. C. D.
9.班长邀请A,B,C,D 四位同学参加圆桌会议.如图25-2-7，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则A，B 两位同学座位相邻的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.一个不透明的口袋中有 4 个完全相同的小球，球上分别标有数字-2，0，1，4.随机摸出一个小球，将上面的数字记作m，然后放回，再随机摸出一个小球，将上面的数字记作n，则方程 是关于x的一元二次方程且此方程无解的概率为 .
11.四张相同的卡片正面分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3的三个小球，这些球除标号外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数.
(1)用列表法或画树状图法求这两个数的差为负数的概率.
(2)规定：当这两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜.这个规定公平吗 如果不公平，请你设计一个公平的规定.
素养提升创新练
12.现有5张除数字外完全相同的卡片，上面分别写有-2,-1,0,1,2 这五个数,将卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张不放回，将卡片上的数字记为m，再从剩下的卡片中任意抽取一张，将卡片上的数字记为n.
(1)用画树状图法列举(m，n)的所有可能结果；
(2)若将m,n的值代入二次函数y=(x- 求二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率.
25.2第 1 课时 用列举法求概率
1. B 2. B 3. C 4. D 5. C
6.第一行填(反，正)；第二行填(正，反)
7、解:(1)
(2)列表如下：
第 2 次 第1次 1 2 3 4
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4)
4 (4.1) (4,2) (4,3) (4,4)
由表可知，一共有 16种等可能的结果，其中第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1 的结果有3种，因此 P(第2 次摸到的小球编号比第 1 次摸到的小球编号大
8. 9.
10.解：所有可能的结果如下：
乙口袋 甲口袋 1 2 3 4 5
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
由上表可知，共有 10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的结果有5种，两球编号之和为偶数的结果有5种，
所以 P(小冰获胜
P(小雪获胜)
因为 P(小冰获胜)=P(小雪获胜)，所以这个游戏对双方公平.
11. (1)
淇淇与嘉嘉落回到圈 A 的可能性一样
第 2课时 用画树状图法求概率
1. D 2. A 3. 4. 5.
6. (1) (2) 7. (1) (2)
8. C 9. C 10.
11. 解:(1)画树状图如下:
被减数成减数1人，人民人民币
差 0 - 1 - 2 1 0 - 1 2 1 0 3 2 1
由树状图可知，共有 12种等可能的结果，其中这两个数的差为负数的结果有3种，
所以这两个数的差为负数的概率是
(2)由(1)中树状图可知，这两个数的差为非负数的结果有9种，
所以 P(甲获胜)
所以 P(乙获胜)
因为 P(甲获胜)>P(乙获胜),
所以这个规定不公平.
可将规定改为：当这两个数的差为正数时，甲获胜；否则，乙获胜，
此时 P(甲获胜)=P(乙获胜) 规定公平.(设计公平的规定不唯一)
12. 解:(1)画树状图如图:
(2)由(1)知，共有20种等可能的结果，其中二次函数图象的顶点在坐标轴上的结果有8种，所以二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率为