第二十一章一元二次方程 课时教学设计 人教版九年级数学上册

第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
教学目标 1.理解一元二次方程的概念，一般形式及一元二次方程的解（或根）的意义；2.会把一元二次方程化成一般形式，并确定相应的二次项系数，一次项系数及常数项；3.会检验某个数是否为某个一元二次方程的解（或根）.
重点 一元二次方程的概念，一般形式及方程的解（或根）；
难点 已知含字母系数及字母指数的整式方程为一元二次方程，求这个字母的值.
教学过程
一、问题情境
问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，
宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方
形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个
无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为
3600cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
追问1：设切去的正方形的边长为cm，则盒底的长与宽分别是多少
师生活动：显然，该盒底的长为cm,宽为cm.
追问2：你能根据盒底的面积列出方程吗？
师生活动：根据题意，得.
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
追问1：设应邀请个队参赛，则每个队要与其他多少队各赛一场？全部比赛一共进行了多少场？
师生活动：每个队要与其他队各赛场，由于甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场；
追问2：你能根据已知条件列出方程吗？
师生活动：根据题意，得.
二、新知形成
追问1：以上两个方程能化简吗？怎么化简？
师生活动：这两个方程都可以化简.
方程可化成；
方程可化成；
追问2：这两个方程各有什么特点？有什么规律？
师生活动：这两个方程的两边都是整式，方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
师生活动：一元二次方程的一般形式是.
其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项.
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
三、例题分析
例1将方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项.
解：去括号，得，
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式.
其中，二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
师生活动：把一个一元二次方程化成一般形式的步骤：
1.去分母：方程等号两边同乘各分母的最小公倍数，把分母去掉；
2.去括号：利有乘法分配律去掉括号；
3.移项：把等号右边的所有项分别移到等号左边，等号右边化为0；
4.合并同类项：把等号左边合并同类项，并按降幂形式排列；
5.化简系数：如果各项系数及常数项有公约数，方程两边都除以各项系数及常数项的最大公约数.
例2 已知方程是关于的一元二次方程，求的值.
解：根据题意，得
，且，解得.
师生活动：已知含字母系数及字母指数的方程是一元二次方程，求这个字母的值，要注意两点：
1.未知数的指数等于2；2.二次项的系数不等于0.
四、当堂训练
1.在方程:①,②,③,④中,一定是一元二次方程的是 ①③ .(填序号)
2.如果4是一元二次方程的一个根,则常数k为 -4 .
3.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）一般形式为，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5、-4及-1；
（2）一般形式为，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4、0及-80；
(3)一般形式为，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4、8及-25；
（4）去括号，得，
移项并整理，得一般形式为，
二次项系数、一次项系数及常数项分别是3、-7及1.
五、课堂小结
1.什么是一元二次方程？它的一般形式是什么？什么是方程的解（或根）？
2.怎样把一元二次方程化成一般形式？在含字母系数的一元二次方程中，怎样求这个字母的值？
六、课堂小测
1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）； （2）；
（3）.
解：（1）一般形式为，二次项系数、一次项系数及常数项分别是6、-4及-8；
（2）一般形式为，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3、8及0；
（3）去括号，得，
移项并整理，得一般形式为，
二次项系数、一次项系数及常数项分别是2、-3及-1.
2.根据下列问题，列出关于方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长.
解：（1）根据题意，得，即；
（2）根据题意，得，即；
（3）根据题意，得，即.
七、作业布置
课时训练P47－48基础必做、中档运用 选做题: P48
八、教学反思
21.2.1配方法（1）
教学目标 1. 会利用直接开平方法解形如或的方程；2.理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,会应用“降次”思想解决一些具体问题.
重点 怎样用直接开平方法解形如或的方程.
难点 根据平方根的意义，怎样把解形如的方程,迁移到解形如 的方程．
教学过程
一、问题情境
问题1：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm ,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱长吗？追问1：设盒子的棱长为dm，你会列出关于的方程吗？师生活动：每个正方体有6个面，每个面的面积都等于棱长的平方，根据10个正方体的表面积的和就是油漆刷的面积1 500 dm ，可得.追问2：你会解这个方程吗？正方体的棱长是多少？师生活动：在方程的等号两边同除以60，得，显然是25的平方根，因此，即，.因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm.
二、新知形成
追问1：一元二次方程有实数根吗？为什么？
师生活动：方程没有实数根，因为是非负数，不可能等于；
追问2：一般地，你会通过对的分类讨论来解方程吗？
师生活动：一般地，在方程中，
（1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，因为对任意的实数，都有，所以方程
没有实数根.
师生活动：当时，方程可化为，这里的“”不能漏了.
三、例题分析
例 解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）由，得，即，；
（2）由，得，即，
∴，；
（3）由，得，即，；
（4）由，得，
即 ，.
师生活动：1.在上面的解法中，比如由方程化成方程
的过程，实际上就是把一个元二次方程“降次”，化成了两个一元一次方程.这种由高次转化为低次的思想，叫做“降次”思想，它在代数的运算上具有重要的作用；
2.上面的解法都是直接根据平方根的意义实现降次，这种解法叫做直接开平方法.
四、当堂训练
1.已知关于的方程，根据下列条件填空：
（1）当时，这个方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，这个方程有两个相等的实数根0；
（3）当时，这个方程没有实数根.
2.解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：（1）由，得，即，
∴，；
（2）由，得，即，
∴，；
（3）由，得，即，
∴，；
（4）由，得，即，
∴，；
（5）由，得，即，
∴，；
（6）由，得，
∴.
五、课堂小结
（1）如何解形如或的方程,有几种情况？
（2）本节课我们学到了哪些数学思想方法？
六、课堂小测
1.已知关于的方程，根据下列条件填空：
（1）当时，这个方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，这个方程有两个相等的实数根0；
（3）当时，这个方程没有实数根.
2. 解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：（1）由，得，即，
∴，；
（2）由，得，即，
∴，；
（3）由，得，即，
∴，；
（4）由，得，即，
∴，；
（5）由，得，即，
∴，.
（6）由，得，
∴.
七、作业布置
课时训练P49－50基础必做、中档运用 选做题: P50
八、教学反思
21.2.1 配方法(2)
教学目标1.理解配方法的概念；
2.掌握用配方法解一元二次方程的步骤，会用配方法解一元二次方程.
重点 用配方法解一元二次方程及其步骤.
难点 理解配方法的每个步骤的本质含义，如何用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程.
教学过程
一、问题情境
问题1 怎样解一元二次方程？
追问1：这个方程能直接降次求解吗？
师生活动：这个方程不能直接降次求解.
追问2：上节课我们学习了怎样解形如或的一元二次方程，假设方程可以转化成，请问这里的与分别是多少？
师生活动：因为方程就是，通过对照方程
，可知，，因此的值就随之确定：，
，这样就把方程化成了.
二、新知形成
追问1：你能归纳解方程的几体步骤吗？
师生活动：（1）移项，得；
（2）等号两边都加上9（一次项系数6的一半的平方），得
，即；
（3）降次，得；
（4）解两个一元一次方程，得，.
追问2：如果把方程改为，应该怎么办？
把常数项4移到右边后，得 ；这时，两边都加上8的一半的平方16，得，这个方程的左边是完全平方式吗？
师生活动：方程的左边不是完全平方式，其原因是“二次项系数不1”.下面，我们用文字归纳以上解一元二次方程的步骤：
（1）把二次项及一次项移到等号左边，常数项移到等号右边；
（2）方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；
（3）方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，把方程转化成形如
的形式；
（4）当时，这个方程没有实数根；当时，降次，得
；
（5）分别解两个一元一次方程，得原方程的两个实数根.
师生活动：以上解一元二次方程的方法，叫做配方法.
三、例题分析
例1 解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）移项，得.
配方，得，即.
降次，得，即，；
（2）移项，得.
二次项系数化为1，得.
配方，得，即.
降次，得，即，；
（3）移项，得.
二次项系数化为1，得.
配方，得，即.
因为，所以原方程没有实数根.
师生活动：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
的形式，那么就有：
（1）当时，原方程有两个不相等的实数根
，；
（2）当时，原方程有两个相等的实数根；
（3）当时，原方程没有实数根.
四、当堂训练
1.填空：
（1） 25 ( 5 )；（2） 36 ( 6 )；
（3） ( ).
2.解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）移项，得.
配方，得，即.
降次，得，即，；
（2）移项，并把二次项系数化为1，得.
配方，得，即.
降次，得，即，；
（3）移项，得.
配方，得，即.
因为，所以原方程没有实数根.
五、课堂小结
1.什么是配方法？配方法有哪些步骤？应该注意什么问题？
2.通过配方，可以把一元二次方程化成什么形式？有哪些情况？
六、课堂小测
1.填空：
（1） ；（2）.
2. 解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）移项，得.
配方，得，即.
降次，得，即，；
（2）移项，并把二次项系数化为1，得.
配方，得，即.
降次，得，即，；
（3）移项，得.
配方，得，即.
因为，所以原方程没有实数根.
七、作业布置
课时训练P51－52基础必做、中档运用 选做题: P52
八、教学反思
21.2.2 公式法(1)
教学目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程及根的判别式的意义；2.会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
重点 一元二次方程求根公式的推导过程及应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况.
难点 1.一元二次方程求根公式的推导；2.根的判别式在含字母系数的一元二次方程上的应用.
一、问题情境
问题 一元二次方程的一般形式是什么？
师生活动：其一般形式是.
追问1：用配方法解一元二次方程有哪些步骤？
师生活动：（1）把二次项与一次项移到等号左边，常数项移到等号右边；（2）二次项系数化为1；（3）两边同加上一次项系数一半的平方，把等号左边配成一个完全平方式；（4）当右边的常数小于0时，原方程无实数根，当右边的常数不小于0时，通过降次求出原方程的两个实数根.
追问2：能否对一元二次方程的一般形式实施配方法？
师生活动：请同桌之间的同学互相讨论，并试试看.
二、新知形成
追问1 怎样对一元二次方程实施配方法？
师生活动1：移项，得，
二次项系数化为1，得.
两边都加上，得.
整理，得. ①
因为，所以.式子有以下三种情况：
（1）当时，，由①，得.
方程有两个不相等的实数根，；
（2）当时，，由①，得；
（3）当时，，这时原方程没有实数根.
一般地，式子叫做一元二次方程的根的判别式，用希腊字母“”表示，即.
师生活动2：由以上的推导过程可知，当时，方程
有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，
方程没有实数根.
追问2：以上结论反过来能成立吗？
师生活动：以上结论反过来也成立.
追问3：当时，的两个实数根可以怎么表示？
师生活动：当时，的两个实数根可写为，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
三、例题分析
例1 利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
（1）； （2）
解：（1）因为，，，
所以.
所以原方程有两个不相等的实数根；
（2）原方程可化为
因为，，，
所以.
所以原方程有两个相等的实数根.
例2 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.
解：.
因为关于的一元二次方程有两个实数根，
所以，且，
解得，且.
四、当堂训练
1.利用根的判别式判断下列方程的根的情况：（1）； （2）解：（1）因为，，，所以.所以原方程没有实数根；（2）因为，，，所以.所以原方程有两个相等的实数根.2.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围.解：根据题意，得，且，解得，且.
五、课堂小结
1.方程的根的判别式及求根公式分别是什么？根的判别式有什么性质？
2.在应用根的判别式时应注意什么事项？
3.怎样用根的判别式判断一个一元二次方程的根的情况？
六、课堂小测
1.利用根的判别式判断下列方程的根的情况：
（1）； （2）
解：（1）因为，，，
所以.
所以原方程没有实数根；
（2）因为，，，
所以.
所以原方程有两个不相等的实数根.
2.若关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围.
解：根据题意，得，且，
即，且.
所以，且.
七、作业布置
课时训练P53－54基础必做、中档运用 选做题: P54
八、教学反思
21.2.2 公式法(2)
教学目标 理解用公式法解一元二次方程的概念，会熟练运用公式法解一元二次方程.
重点 用公式法解一元二次方程.
难点 用公式法解较复杂的一元二次方程.
一、问题情境
问题1：一元二次方程的根的判别式是什么？有什么性质？
师生活动：其根的判别式为，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根.
追问1：一元二次方程的求根公式是什么？
师生活动:其求根公式是，其中.
二、形成新知
追问1：怎么用求根公式来解一元二次方程？
师生活动1：（1）把一元二次方程化成一般形式，并列出，，的值；（2）求出根的判别式的值；（3）如果，则原方程没有实数根；如果，则代入求根公式，化简后即得原方程的两个实数根.
师生活动2：事实上，当时，.
三、例题分析
例3 用公式法解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
解：（1），，.
.
.
所以，；
（2），，.
.
所以；
（3）原方程可化为，
，，.
.
，
即，；
（4）原方程可化为.
，，.
.
所以原方程没有实数根.
四、当堂训练
1.用公式法解方程时, 1 ,, -2 ,
28 ,用求根公式可得，,.
2.用公式法解下列方程:
(1)； (2)；
(3)； (4)；
(5)
解：（1），，.
.
，即，；
（2），，.
.
.
所以，；
（3），，.
.
，
所以，；
（4），，.
.
，即，；
（5）原方程可化为.
，，.
.
，即，.
五、课堂小结
1.什么是一元二次方程的根的判别式？有什么性质？
2.什么是一元二次方程的求根公式？用公式法解一元二次方程的步骤是什么？
六、课堂小测
1.用公式法解下列方程:
(1)； (2)；
(3)； (4)；
解：（1），，.
.
，
即，；
（2），，.
.
.
所以，；
（3），，.
.
，
所以，；
（4），，.
.
，即，.
七、作业布置
课时训练P55－56基础必做、中档运用 选做题: P56
八、教学反思
21.2.3 因式分解法(1)
教学目标 会用因式分解法解一元二次方程，会灵活选择较合适的方法解相应的一元二次方程.
重点 怎样用因式分解法解相关特殊一元二次方程.
难点 1.判断什么特殊一元二次方程能用因式分解法来解；2.如何用因式分解法解较复杂的一元二次方程，并感悟因式分解在解相关特殊一元二次方程的优势.
一、问题情境
问题1：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过s离地面的高度（单位：m）为.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？
追问1：物体落回地面时，它离地面的高度多少？
师生活动：这时物体离地面的高度为0m，也就是.
二、形成新知
追问1：除了配方法或公式法外，能否找到更简单的方法解这个方程？
师生活动1:把方程的左边分解因式，得.
这个方程的左边是两个一次因式的积，右边是0.我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.用式子可表示为：如果
，那么或.
所以，方程可化为或.
所以，方程的两个根是，.
这两个根中，表示物体约在2.04s后落回地面，而表示物体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度也为0m.
师生活动2：可以看出，把化成或的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
三、例题分析
例4 解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）因式分解，得.
所以或，即，；
（2）移项，合并同类项，系数化为1，得.
所以，即，；
（3）由原方程，得.
移项，得=0.
因式分解，得.
所以或，即，.
（4）由原方程，得.
移项，得，即.
所以或，所以，.
四、当堂训练
1.方程可转化为两个一元一次方程,分别为 ,,可得方程的解是
2.解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）.
解：（1）因式分解，得，
所以或，即，；
（2）两边除以3，移项并整理，得.
所以;
（3）因式分解，得.
所以或，即，；
（4）原方程可化为.
移项并分解因式，得.
所以或，即，；
（5）两边直接开平，得或.
分别解这两个方程，得，.
五、课堂小结
1.配方法要先配方，再降次；公式法是直接利用求根公式解方程；因式分解法可概括为：右化0，左分解，两因式，各求解；配方法与公式法是一般的方法，适用于所有的一元二次方程；
2.因式分解法只适用于特殊的一元二次方程，是比较简便的方法；
3.解一元二次方程的本质为降次，即把原方程化为两个一元一次方程.
六、当堂小测
1.方程可转化为两个一元一次方程,分别为或,可得方程的解是
2.解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：（1）因式分解，得，
所以或，即，；
（2）移项，得.
因式分解，得.
所以或，即，；
（3）配方，得，即.
所以，，；
（4）移项，系数化为1，得.
所以，即，；
（5）原方程可化为.
移项并因式分解，得.
所以或.
所以，；
（6）两边直接开平方，得，或.
所以，.
七、作业布置
课时训练P57－58基础必做、中档运用 选做题: P58
八、教学反思
21.2.3 因式分解法(2)
教学目标 掌握用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程,会灵活选择适当的方法解一元二次方程.
重点 熟练运用直接开平方、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.
难点 灵活选择适当的方法解一元二次方程．
教学过程
一、问题情境
问题1 以下一元二次方程适合什么方法来解比较简单？
；②；③；④.
师生活动：经师生共同讨论一致认为，①适合配方法；②适合直接开平方法；③适合因式分解法；④适合公式法.
师生活动：
二、新知形成
追问1：你能发现其中的一般规律吗
师生活动：（1）形如的方程适合直接开平方法；（2）等号左边只含未知项，且二次项系数为1，一次项系数为简单的偶数，这样的方程适合配方法；（3）等号右边化成0后，等号左边易于分解因式的一元二次方程适合因式分解法；（4）二次项系数不为1，且不能用因式分解法的一元二次方程可考虑用公式法.
追问2：形如的方程适合什么解法？
师生活动1：这类方程适合直接开平方法，或因式分解法.
师生活动2：如果用直接开平方法，这个方程可降次为
或，然后分别解这两个方程即可；
如果用因式分解法，先移项，把等号右边化成0，左边用平方差公式分解因式即可.
三、例题分析
例5 解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）直接开平方，得，即，；
（2）两边除以3，并移项，得.
配方，得，即.
所以，即，；
（3）因为，，，
所以.
所以，即，；
（4）移项，得.
因式分解，得.
所以，或，即，.
例5 如图,把小圆形场地的半径增加得到大圆形场地,
场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解：设小圆场地的半径为m，根据题意，得
，即.
所以，
解得，，（不合题意，舍去）.
所以.
答：小圆形场地的半径为m.
四、当堂训练
1.已知：①，②，③，④，⑤，⑥，以上方程分别适合什么解法？
解：①适合公式法，②适合直接开平方法，③适合因式分解法，④适合配方法或公式法，⑤适合因式分解法，⑥适合配方法.
2.用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）直接开平方，得或.
分别解这两个方程，得，；
（2）移项，得.
配方，得，即.
所以，即，；
（3）移项，得.
配方，得，即.
所以，即，；
（4）移项，得.
因式分解，得.
所以，或，即，.
五、课堂小结
1.形如的方程适合直接开平方法；二次项系数为1，一次项是简单的偶数的一元二次方程比较适合配方法；右边化成0后，左边易于分解因式的一元二次方程适合因式分解法；
2.形如 的方程适合直接开平方法，也适合因式分解法.
六、课堂小测
1.用适当的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：（1）原方程可化为，即.所以，；
（2）移项，得.
配方，得，即.
所以，即，；
（3）因为，，,
所以.
所以，
即，；
（4）分解因式，得，
即.
所以或，即，；
（5）移项，并分解因式，得.
所以或，即，；
（6）移项，得，即.
配方，得，即.
所以，即，.
七、作业布置
课时训练P57－58基础必做、中档运用 选做题: P58
八、教学反思
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标 1.理解一元二次方程的根与系数的推导过程；2.掌握一元二次方程的根与系数的关系.
重点 一元二次方程根与系数的关系的推导及应用.
难点 正确归纳、理解、应用根与系数的关系.
教学过程
一、问题情境
问题1 若关于的一元二次方程的两个根，满足，你能求出的值吗？
追问1：有的同学认为先求出与，再代入，便能求的值，这种方法合适吗？
师生活动：这种方法虽然可以求出的值，但是比较麻烦，大家学习本节课的内容后就能用更简单的方法解决这个问题.
二、新知形成
师生活动：请大家完成下列表格
一元二次方程
2 3 5 6
2 -5 3 -10
追问1:你发现什么规律？
师生活动1:如果方程(p、q为已知常数,)的两个根是,,那么x1 x2 ,x1 x2 .
师生活动2：请大家完成下列表格
一元二次方程
2 1
1
追问2：上面发现的结论在这里成立吗？
师生活动3:如果一元二次方程的两个根是,,
那么,.这里要注意的隐含条件.这个规律就是一元二次方程根与系数的关系，也叫做韦达定理.
追问3：你会证明这个定理吗？
师生活动4：当时，由求根公式，得
关于的方程的两个实数根分别为
，.
于是，；
三、例题分析
例5 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根，的和与积：
（1）； （2）；
（3）.
解：（1），；
（2），；
（3）方程化为.，.
下面解答上面的问题1：由根与系数的关系，得
，.
因为，即.
所以，即.
当时，原方程为，，
符合题意.
所以的值等于2.
四、当堂训练
1.不解方程，求下列方程两个根，的和与积：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）方程化为.，；
（2）方程化为.，；
（3）方程化为.，；
（4）方程化为.，.
2.已知关于的一元二次方程.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，且,求m的值.
（1）证明：∵
对任意实数都成立，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得
，.
∵，即，
∴，解得，，.
∴的值为3或.
五、课堂小结
1.什么是一元二次方程根与系数的关系？2.在应用根与系数的关系时要注意什么隐含条件？
六、课堂小测
1.不解方程，求下列方程两个根，的和与积：
（1）； （2）；
（3）；
解：（1）方程化为.，；
（2）方程化为.，；
（3）方程化为.，；
2. 已知关于的一元二次方程.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，且,求m的值.
（1）证明：∵
对任意实数都成立，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得
，.
∵，即，
∴，解得，，.
∴的值为1或2.
七、作业布置
课时训练P63－64基础必做、中档运用 选做题: P64
五、教学反思
21.3 实际问题与一元二次方程（1）
教学目标1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，会解决传播问题及单循环问题；
2.能根据问题的实际意义,检验方程所得的结果是否符合实际意义.
重点 用一元二次方程解决传播问题及单循环问题.
难点 怎样找出等量关系并正确列方程.
教学过程
一、问题情境
问题1 列一元一次方程解应用题的步骤是什么？
师生活动：其步骤有：①审：审题，②设：设未知数，③列：根据题目中的等量关系列方程，④解：解方程，⑤验：检验所解得的根是否符合题意，⑥答:作答.这里，要注意的是，如果问题有相关单位，那么设未知数及作答时都要带单位.
追问1：如果问题中的单位不统一怎么办？
师生活动：要把不同的单位化成统一的单位，再按以上步骤解答.
二、新知形成
探究1：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
追问1：假设每轮传染中平均一个人传染了个人，你能用表示出第一轮传染后共有多少人患了流感吗？第二轮传染后呢？
师生活动:
传染轮次 原有人数 新增人数 总人数
一 1
二
追问2：根据这个表格的规律，你能求出这个问题的解吗？
师生活动:根据题意，得.整理，得，
解得，，（不合题意，舍去）.
所以，每人每轮平均传染10人.
追问3：按照这样的传染速度，三轮后共有多少人患了流感？
师生活动：共有=1331（人）患了流感.
追问4：你发现了什么规律？
师生活动：从，可得以下规律：
有一个人患了流感，且平均每人每轮传人，经过两轮传染后共有
个人患了流感；经过三轮传染后，共有人患了流感；类似地，经过轮传染后，共有人患了流感.
追问5：什么是单循环比赛？双循环比赛呢？比赛的场数怎么算？
师生活动：在所有参赛的队伍中，每两个队之间各比赛了一场，这样的比赛叫做单循环比赛；如果每两个队之间各比赛了两场，这样的比赛叫做双循环比赛，我们有如下公式：
（1）个队伍进行单循环比赛，则一共比赛了场；
（2）个队伍进行双循环比赛，则一共比赛了场.
三、例题分析
例1 某种植物的主干长出若数目的支干，每根支干又长出若干数目的小分支，每根支干的小分支数目都是支干数目的两倍，且主干、支干和小分支的总数为79.主干长出多少支干？每根支干长出多少根小分支？
解：设主干长出根支干，则每根支干长出根小分支.根据题意，得
.
解这个方程，得，(不合题意，舍去).
所以，.
答：主干长出了6根支干，每根支干长出了12根小分支.
四、当堂训练
1.某电脑病毒传播速度非常快,若一台电脑被感染,经过两轮感染后共有81台电脑被感染.
(1)请你用学过的知识求每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑
(2)如果病毒得不到及时控制,第三轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台
解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据题意，得
，解得，（不合题意，舍去）
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；
（2）因为，
所以如果病毒得不到及时控制，第三轮感染后，被感染的电脑会超过700台.
2. 某种植物的主干长出若数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，且主干、支干和小分支的总数为91.主干长出多少支干？
解：设主干长出个支干，根据题意，得
.
解这个方程，得，(不合题意，舍去)
答：主干长出了9根支干.
3. 一个研究小组有若干人,每两人互送一个研究成果,全组共送研究成
果72个,求这个小组的人数.
解：设这个小组的人数为，根据题意，得
.解得，，（不合题意，舍去）.
答：这个小组共有9个人.
五、课堂小结
1.开始1个人患了流感，且平均每人每轮传人，经过两轮传染后共有人患了流感，经过三轮后共有患流感，经过轮后共有人患流感；
2.单循环与双循环比赛进行的场数的计算公式.
六、课堂小测
1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出若干数目的小分支，每个支干长出的小分支数都是支干的3倍，且主干、支干和小分支的总数为81.
（1）求主干长出多少支干？
（2）如果每根小分支又长出与支干数一样多的更小分支，问更小分支、小分支、支干与主干加起来一共多少？
解：（1）设主干长出根支干，根据题意，得
.
解这个方程，得，(不合题意，舍去).
答：主干长出了5根支干；
（2）根据题意，得更小分支数.
所以，更小分支、小分支、支干与主干加起来一共等于.
2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共要比赛45场,问共
有多少个队参加比赛
解：设有个队参加比赛，根据题意，得
.解得，，（不合题意，舍去）.
答：共有10个队参加比赛.
七、作业布置
课时训练P63－64基础必做、中档运用 选做题: P64
五、教学反思
21.3 实际问题与一元二次方程（2）
教学目标1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，会列一元二次方程解决平均变化率，也就是增长率或下降率问题；
2.能根据问题的实际意义,检验方程所得的结果是否符合实际意义.
重点 用一元二次方程解决平均变化率问题.
难点 怎样找出等量关系并正确列方程.
教学过程
一、问题情境
问题1 某种品牌的平板电脑标价为4000元，商场为了促销进行了两轮的降价，每次都降价，问降价后的这种平板电脑售价多少？
追问1：4000元的平板电脑降价后售价多少？
师生活动：4000元的平板电脑降价后，售价等于（元）；
追问2：平板电脑在售价为3600元的基础上，再降价后，售价为多少元？
师生活动：其售价变为（元）；
追问3：经过两次降价后，平板电脑的价格由4000元降到了3240元，请问平均每次降价的百分率是多少？
师生活动：根据上面的计算可知，平均每次降价的百分率为.
追问4：平板电脑的价格由4000元经过两次降价后，来到了3240元，你会列综合算式计算吗？
师生活动：以上两次降价合在一起算，得（元）.
二、新知形成
探究2：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大
追问1：甲种药品的生产成本平均每年降低多少元？
师生活动：甲种药品生产成本平均每年降低（元）；
追问2：乙种药品的生产呢？
师生活动：乙种药品生产成本平均每年降低（元）；
追问3：能不能根据乙种药品的年平均下降额较大，就认为乙种药品成本年平均下降率（百分数）也较大？
师生活动：因为乙种药品原来的成本比甲种药品原来的成本大，因此成本的年平均下降额不等同于年平均下降率.
追问4：你会解决这个问题吗？
师生活动1: 设甲种药品成本的年平均下降率为x,则一年后甲种药品成本为5000(1 x)元,两年后甲种药品成本为元,根据题意，得.
解方程,得,(不合题意,舍去)
答:甲种药品成本的年平均下降率约为.
用类似的方法，得乙种药品成本的年平均下降率也是.因此，甲、乙两种药品成本的下降率相同.
师生活动2：平均变化率的公式如下：
（1）基本量按百分率连续增长两次后，得；
（2）基本量按百分率连续下降两次后，得.
师生活动3：平均变化率的公式可以拓展为：
（1）基本量按百分率连续增长次后，得；
（2）基本量按百分率连续下降次后，得.
三、例题分析
例2 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产300万个，第三季度生产432万个．
求前三季度生产量的平均增长率.
解：设前三季度生产量的平均增长率为，依题意，得
.
解得，，（不符合题意，舍去），
答：前三季度生产量的平均增长率为.
四、当堂训练
1.某地区2015年投入教育经费2 500万元,2017年投入教育经费3 025万元.
(1)求2015年至2017年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2018年该地区将投入教育经费多少万元
解：（1）设该地区投入教育经费的年平均增长率为，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：该地区投入教育经费的年平均增长率为.
（2）（万元）.
答：预计2018年该地区将投入教育经费万元.
2.在国家宏观调控下,某市的商品房价格由去年10月份的元下降到12月份的元.
(1)求这11、12两月平均每月降价的百分率
(2)若某市的商品房价格继续回落,按此降价的百分率,到今年2月份该市商品房价格是否会跌破元 请说明理由.
解：（1）设这两个月平均每月降价的百分率为，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：这两个月平均每月降价的百分率为；
（2）到今年2月份该市商品房价格会跌破元，理由如下：
∵，
∴到今年2月份该市商品房价格会跌破元.
五、课堂小结
1.基本量按百分率连续增长次后，得；
2.基本量按百分率连续下降次后，得；
3.以上两个公式都可以双向运用.
六、课堂小测
1.两个连续整数的积为210，求这两个整数.
解：设较小的整数为，则另一个整数为，根据题意，得
.解得，，.
当时，；当时，.
答：这两个整数分别为14，15或-15，-14.
2. 某商品经过连续两次降价,售价由原来的每件25元降到每件16元,求平均每次降价的百分率.
解：设平均每次降价的百分率为，根据题意，得
.解得，，（不合题意，舍去）.
答：平均每次降价的百分率为.
七、作业布置
课时训练P63－64基础必做、中档运用 选做题: P64
五、教学反思
21.3 实际问题与一元二次方程（3）
教学目标 会用一元二次方程解决与面积有关的实际问题，体会一元二
次方程与现实生活的密切联系.
教学重点 根据面积法的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用
它解决实际问题.
教学难点 设元的灵活性，正确的列方程及对解的讨论.
教学过程
问题情境
问题1 平行四边形（包括矩形与菱形）的面积怎么求？对角线互相垂直的四边形的面积怎么求？圆的面积公式是什么？
师生活动：平行四边形的面积等于底乘高，特别，矩形的面积等于相邻两边的积，正方形的面积等于边长的平方；对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线积的一半；半径为的圆的面积等于.
二、新知形成
探究3 如图,要设计一本书的封面,封面长27 cm,宽21 cm,
正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使
四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下
边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度？
追问1：封面的长宽之比是多少？正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？
师生活动：封面的长宽之比；正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，可以理解为正中央的矩形是由封面的大矩形适当缩小得到.
追问2：如果设中央矩形的长与宽分别为cm与cm，则上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是多少？
师生活动：上、下边衬与左、右边衬的宽度之比为
.
追问3：如果设上、下边衬与左、右边衬的宽分别为cm、cm，则中央矩形的长与宽分别为多少？怎么建立关于的方程并求出的值？
师生活动：中央矩形的长与宽分别为cm与cm，于是可列方程.
整理，得，解得，.
追问4：方程的哪个根符合实际意义？为什么？
师生活动：因为，所以不符合实际意义.因此，上、下边衬的宽均为cm，左、右边衬的宽均为cm.
例题分析
请用另外方法解答探究3.
解：设中央矩形的长与宽分别为cm与cm，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
所以，中央矩形的长为cm，宽为cm.
所以，上、下边衬的宽（cm）,
左、右边衬的宽（cm）,
四、当堂训练
1.一个直角三角形的两条直角边的和是,面积是,求两条直角边的长.
解：设其中一条直角边为cm，依题意，得
.
解得，，.
当时，；当时，.
答：两条直角边长分别为cm，8cm.
2.如图①,要设计一幅宽,长的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2:3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度
解:由横、竖彩条的宽度比为2:3,可设
每个横彩条的宽为,则每个竖彩条的
宽为.把图①的每个彩条集中在矩形
图案的边上，如图②所示，则
，.
根据题意，得.
解得，，（不合题意，舍去）.
所以，.
答：横彩条的宽为cm，竖彩条的宽为cm.
五、课堂小结
1.如何根据面积法的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题；
2.注意设“元”的灵活性及方法的选择；
3.通过对“解”的讨论，要舍去不符合题意的答案.
六、课堂小测
1.要为一幅长,宽的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框边的宽度应是多少 (精确到)
解：设镜框边的宽度为cm，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：镜框边的宽度大约为1.5cm.
2.如图,把长,宽的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为(纸板的厚度忽略不计),若折成长方体盒子的表面积是,求的值.
解：根据题意，得
.
整理，得.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：的值为5cm.
七、作业布置
课时训练P63－64基础必做、中档运用 选做题: P64
教学反思
数学活动——三角点阵的计算问题
教学目标 1.会算三角点阵中点的总数，了解点的总数随着行数的变化而变化的规律；2.感受数形结合在解题中的应用；3.初步了解“等差”数列的特征，第个数与之间的关系，及前个数的计算方法.
教学重点 1.三角点阵中点的总数的计算方法，了解点的总数随着行数的变化而变化的规律；2.了解“等差”数列的意义，第个数与之间的关系，及前个数和的计算方法.
教学难点 “等差”数列的第个数与之间的关系，及前个数和的计算方法.
教学过程
一、问题情境
问题1 高斯7岁那年开始上学.10岁的时候，一次一位老师想治一治班上的淘气学生，他出了一道数学题，让学生从1+2+3+…一直加到100为止.他想这道题足够这帮学生算半天的，他也可能得到半天的悠闲.谁知，出乎他的意料，刚刚过了一会儿，小高斯就举起手来，说他算完了.
追问1：你知道小高斯是怎么算的吗？答案是多少？
师生活动：高斯的方法不是从开始加到末尾，而是先把1和100相加，得到101；再把2和99相加，也得101，…最后50和51相加，也得101，这样一共有50个101，结果当然就是5050了，聪明的高斯受到了老师的高度赞扬.
二、新知形成
师生活动：图1是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
追问1：10是三角点阵前几行的点数和？
师生活动：显然，10是三角点阵前4行的点数和.
追问2：你能发现300是前多少行的点数和吗？
师生活动：用试验的方法，由上而下逐行相加其点数，可以得到答案.
但是，这样寻找答案需要花费较多时间.
追问3：你能用一元二次方程解决这个问题吗？
师生活动：设从上往下前行点数之和为，则
①.
∵②
∴由①+②，得.
∴.
根据题意，得.
解得，，（不合题意，舍去）.
所以前25行的点数之和等于300.
追问4：三角点阵中前行的点数和能等于600吗？为什么？
师生活动：不能等于600.
理由：根据前行点数和的公式，得
.
解得，，.
因为不是整数，是负数，而的值是正整数，
所以三角点阵前行的点数和不可能等于600.
三、例题分析
例 如果把图1的三角点阵中各行的点数依次换为2，4，6，8，…，，…，
请探究前行的点数和满足什么规律？这个三角点阵中前行的点数和能是600吗？如果能，求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由.
解：∵，
∴.
所以前行的点数和等于.
这个三角点阵中前行点数和能等于600，
理由：由，得，（不合题意，舍去）.
所以，这个三角点阵前25行的点数和等于600.
四、当堂训练
1.（1）用的式子表示第个正奇数；
（2）用的式子表示前个正奇数的和；
（3）前个正奇数能否等1600？
解：（1）第个正奇数；
（2）设表示前个正奇数的和，由（1），得
.
所以前个正奇数的和等于；
（3）由，得，（不合题意，舍去）.
所以前个正奇数的和能等于1600，这时的值为40.
2.如果把图1的三角点阵中各行的点数依次换为1，6，11，16，21，…
（1）请问第行有多少个点？
（2）前行的点数和与有什么关系？
解：（1）通过观察这列数可知，后一个数刚好等于前一个数加上5，或者说，后一个数减前一个数的差都等于5，因此，
第个数.
（2）由（1），得
前行的点数和
.
五、课堂小结
1.在一列成“等差”的数中，怎样用表示第个数？如何求出前个数的和？
2.在求一串成“等差”的数的前个数的和时，都可以转成与公式
相关联的计算.
六、课堂小测
1.如果把图1的三角点阵中各行的点数依次换为1，4，7，10，13，…
（1）请问第行有多少个点？
（2）前行的点数和与有什么关系？
解：（1）第行的点数.
（2）前行的点数和
.
七、作业布置
课时训练P63－64基础必做、中档运用 选做题: P64
教学反思
单元复习 一元二次方程(1)
教学目标 1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的四种解法；
2.理解一元二次方程根的判别式的性质及其应用方法；
3.了解一元二次方程根与系数的关系及其应用.
教学重点 熟练掌握一元二次方程的解法，会用根的判别式解决相关问题；了解根与系数的关系及其应用.
教学难点：选择灵活的方法解一元二次方程.
教学过程
一、题练精析
知识点1：一元二次方程及有关概念
例1：(1)已知是关于的一元二次方方程,求的值.
解：根据题意，得，且.
解得，.
(1)已知是关于的一元二次方程的一个根，则 3 .
知识点2：一元二次方程的解法
例2：解下列一元二次方程
（1）； （2）；
（3）.
解：（1）配方，得，即.
降次，得，所以，；
（2）方程可化为.
移项，得.
因式分解，得.
所以或，即，；
（3），，，
.
于是，，
即，.
知识点3：一元二次方程根的判别式
例3：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.
解:∵,,，
∴.
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，且.
∴的取值范围是且.
例4：求证：关于的方程有两个不相等的实数根.
证明：∵,,，
∴.
∵不论取何值，都有，
∴原方程有两个不相等的实数根.
知识点4：根与系数的关系
例5：已知方程的两个实数根为，，不解方程计算下列式子的值：
（1）； （2）； （3）.
解：∵，是方程的两个实数根，
∴，.
（1）原式；
（2）原式；
（3）根据题意，得，即.同理，.
于是，原式
课堂小结
1.一元二次方程及有关概念；2.一元二次方程的四种解法；3.一元二次方程根的判别式；4.根与系数的关系及其简单应用.
三、课堂小测
1.在方程:①；②；③；④；⑤；⑥中,是一元二次方程的是 ①④ .(填序号)
2. 解下列方程:
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：（1）方程化为，.
降次，得，即，；
（2）方程化为，.
，，，
.
所以，
即，.
（3）方程化为.
移项并分解因式，得.
所以或，即，；
（4）方程化为.
配方，得，即.
所以，即，.
3.关于的方程有两个实数根，求的取值范围.
解：根据题意，得，且.
解得，，且.
4. 已知关于的方程的根为，．
（1）当时，求的值；
（2）若方程的一个根，求的值与另一个根．
解：（1）当时，原方程化为.
于是，.
所以.
（2）根据题意，得
解得，
所以，.
四、作业布置
课时训练P63－64基础必做、中档运用 选做题: P64
教学反思
单元复习 一元二次方程(2)
教学目标 会用一元二次方程解决相关实际问题，通过讨论舍去不符合实际意义的值.
教学重点 一元二次方程在实际问题中的应用,特别是几种常见类型上的应用.
教学难点：设“元”的灵活性以及准确找出等量关系,列出一元二次方程.
教学过程
一、题练精析
知识点1：传播问题
例1：有3个人得了流感，经过两轮传染后，共有300人得了流感，求在每一轮传染中平均每人传染几个人？
解：设平均每个人传染了个人，根据题意，得
，即.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：在每一轮传染中，平均每人每轮传染9个人.
师生活动：从本质上看，传播问题属于增长率问题：平均每轮每人传染人，相当于得流感的人数按的百分率增长.传染两轮，相当于按这个百分率连续增长两次.
知识点2：增长率或下降率问题
例2：某银行经过最近的两次降息,使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%,平均每次降息的百分率是多少 (精确到0.01%)
解：设平均每次降息的百分率为，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：平均每次降息的百分率是.
知识点3：单循环比赛和互送礼物问题
例3：要组织一次篮球联赛,赛制为单循环(每两队之间都赛一场),计划安排10场比赛,应邀请多少个球队参加比赛
解：设应邀请个球队参加比赛，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：应邀请5个球队参加比赛.
例4：去年元旦，某班级第一个小组互相送一张卡片，全组共送出90
张卡片，求这个小组的人数.
解：设这个小组有个人，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：这个小组共有10个人.
知识点4：商品销售利润与定价问题
例5：水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤.通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.张阿姨要想每天盈利300元，且让利给顾客，张阿姨需将这种水果的售价每斤降低多少元？
解：设张阿姨需降这种水果的售价每斤降低元，根据题意，得
.
解得，，.
因为要让利给顾客，所以不合题意，舍去.
答：张阿姨需将这种水果的售价每斤降低1元.
知识点5：几何图形面积问题
例6：如图,某小区规划在一个长40米,宽26米的矩
形场地ABCD上修建三条同样宽的道路,使其中两条
与平行,另一条与平行,其余部分种草.若每一
块草坪的面积都为144平方米,求道路的宽度．
解：设道路的宽度为x米,根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：道路的宽为2米.
二、课堂小结
1.列一元二次方程解应用题的步骤是什么？要注意什么问题？
2.一元二次方程在解实际问题上的应用有哪些基本类型？
三、课堂小测
1.将进价为每个40元的商品按照每个50元出售时,每月能卖500个,已知该商品每涨价1元,其每月销售量就减少10个,为了每个月获8000元利润,售价应定在多少元？进货量为多少？
解：设售价应定在元，根据题意，得
.
解得，，.
当时，；
当时，.
答：当售价定为每个60元时，进货量为400个；当售价定为每个80元时，进货量为200个.
2.一个矩形的两条邻边相差,面积是,求对角线的长.
解：设较短边的长为cm，则它的邻边为cm，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
当时，.
根据勾股定理得，对角线长cm.
3.市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格,某种药品经过连续两次降价后，每盒由200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少
解：设这种药品平均每次降价的百分率为，根据题意，得
.
解得，，（不合意意，舍去）.
答：这种药品平均每次降价的百分率为.
4.某种植物的主干长出了若干数目的支干，每根支干又长出若干数目的小分支，每根支干的小分支数目都是支干数目的4倍，主干、支干和小分支的总数为106，问这棵植物共有多少支干？
解：设这棵植物共有根支干，根据题意，得
.
解得，，（不合题意，舍去）.
答：这棵植物共有根支杆.
四、作业布置
课时训练P63－64基础必做、中档运用 选做题: P64
教学反思
图1
感知数学与实际生活的联系。依据具体生活情境，通过追问引出本章的核心问题：一元二次程，为本节课的教学作了良好的铺垫.
两个问题分别关联面积与单循环比赛，让学生进一步认识数学与现实生活的密切联系.
通过例子，使学生掌握把一元二次方程化成一般形式的步骤.
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握一元二次方程的有关的核心内容.
通过小测，检查学生对本节课内容的掌握情况，及时发现和解决存在的疑难问题.
分层要求,关注学生差异.
让学生明确数学与实际生活的联系，以及用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.
通过例子巩固本节内容，培养学生会用直接开平方法解一元二次方程，同时理解“降次”的本质意义．
通过练习巩固本节内容，使学生掌握用提公因式法分解因式．
通过小结，使学生进一步掌握本节课的核心内容，即用提公因式法分解因式.
通过小测，检验学生对本节课内容的掌握情况，及时发现并解决相应的问题.
分层要求,关注学生差异.
让学生的思维产生冲突，然后展开思考，以引导学生用化归思想把新问题转化成学过的问题来解决.
通过例子，加深学生掌握用配方法解一元二次方程，进一步理解配方法的各步骤的本质含义.
通过练习，巩固学生用配方法解一元二次方程的能力，加深对配方法的各个步骤的本质含义的理解.
通过小结，进一步明确用配方法的注意事项，以及最终目的是把方程转化成形如的的形式，加深对各步骤的本质含义的理解.
通过小测检查学生用配方法解一元二次方程的能力，及时发现并解决存在的问题.
分层要求,关注学生差异.
通过复习引入，比较自然，同时为新课的教学做好了良好的铺垫.
对一元二次方程的一般形式进行配方法，让学生感受一般化思想在数学中的应用.
渗透分类讨论的思想，让学生明确分类讨论的要求，即不重不漏.
对一元二次方程的一般形式实施配方法，得到了通用的求根公式，同时引入了根的判别式的概念，以及根的判别式的性质.
通过例子加深学生应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的通用方法，加深对根的判别式的理解.
通过当堂训练，巩固学生对根的判别式的理解和应用根的判别式解决相关问题的能力.
通过小结进一步明确一元二次方程的根判别式，应用方法及注意事项.
通过小测，巩固学生对本节课知识的理解和应用能力，同时及时发现并解决学生存在的问题.
分层要求,关注学生差异.
通过追问方式复习之前学过的根的判别式及求根公式，达到了温故而知新的目的.
通过这个例子，使学生掌握用公式法解一元二次方程的步骤与技能，明确运算结果必须化成最简单的形式.
通过练习，进一步巩固学生用公式法解一元二次方程的步骤与技能，加深学生对用公式法解一元二次方程的理解.
通过小结，使学生从整体上认识本节课的内容，加深对本节课的理解.
通过小测，及时发现学生存在的种问题，分析错因，及时订正.
分层要求,关注学生差异.
从物现学的有关规律引入，能使学生感受不同学科之间的联系，进一步认识数学的重要性.
让学生认识明确解一元二次方程的因式分解法，及其依据.
通过这个例子，使学生掌握用因式分解法解一元二次方程，感受因式分解法的优点.
通过当堂训练，巩固学生应用因式分解法解一元二次方程的能力，感受因式分解法解一元二次方程的优点.
通过课堂小结，让学生对各种一元二次方程的不同解法的优缺点有了一个系统的认识，配方法与公式法是通法，适用于任何一元二次方程；直接开平方法与因式分解法是特殊方法，只适用于相关特殊方程.
通过小测及时发现并订正学生存在的问题，巩固学生应用因式分解法解一元二次方程的能力，进一步体会用因式分解法解一元二次方程的优势.
通过判断四个方程分别适用的相应解法，提高学生分析问题的能力，加深对各种解法的理解.
让学生对各种解法所适合的方程的特点有了一个整体认识.
通过例子的讲解，使学生进一步认识四种解法分别适合什么样的方程，以及它们具有的特点.
通过例子讲解巩固本节内容，加深学生理解一元二次方程的各种解法，会合理选择适当的解法解相关一元二次方程.
通过练习巩固本节内容，加深对平移引起的对应点的坐标变化规律的理解．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，进一步掌握一元二次方程的各种解法，及所适合的一元二次方程的特点.
通过小测，加深学生对本节内容的印象，进一步掌握一元二次方程的各种解法，及它们所适合的方程的特征.
分层要求,关注学生差异.
问题1的引入可以让学生产生认知冲突，激发学生探求新知的欲望.
由特殊到一般，符合学生的认知规律，同时加深了学生对一元二次方程的根与系数的关系的印象.
通过例子讲解，加深学生对一元二次方程的根与系数的关系的印象，深化对这个关系的理解，一元二次方程只有化成一般形式，且时，才能应用根与系数的关系.
通过当堂训练，加深学生对一元二次方程的根与系数的关系的印象，进一步认识这个关系是建立在一元二次方程的一般形式之上.
通过课堂小结，加深学生对一元二次方程的根与系数的关系的印象，以及根与系数的关系所隐含的条件.
通过小测检验学生对本节复习课的掌握情况，及时了解学生的学情.
分层要求,关注学生差异.
问题1的引入可以让学生产生认知冲突，激发学生探求新知的欲望.
从探究1归纳一般规律，并拓展到一般情况，开拓了学生的视野.
通过例子讲解，加深学生对传播问题及循环问题的理解应用.
通过当堂训练，加深学生对传播问题及循环问题的理解与应用，掌握传播问题与循环问题的内在本质.
通过课堂小结，让学生掌握传播问题及循环问题的相关公式，理解它们的内在本质.
通过小测检验学生对本节复习课的掌握情况，及时了解学生的学情.
分层要求,关注学生差异.
从小学的下降率引入，学生易于接受.
让学生明确，年平均下降额大，不等同于年平均下降率大，从本质上领会这两者的区别.
从特殊到一般，归纳出平均变化率的公式，引导学生从本质上理解这个公式.
通过例子讲解，加深学生对平均变化率问题的理解应用.
通过当堂训练，加深学生对平均变化率问题的理解应用，掌握其内在本质.
通过课堂小结，让学生掌握平均变化率的相关计算公式，从本质上理解公式的内在含义.
通过小测检验学生对本节复习课的掌握情况，及时了解学生的学情.
分层要求,关注学生差异.
通过问题1复习了常见平面图形的面积公式，为后面上新课打下基础.
探究3的本质是矩形的相似变换，让学生初步体会矩形外围、中央的长宽之比相等，且上、下，左、右边衬分别等宽，则上、下边衬与左、右边衬宽度之比刚好等外围的长宽之比.
让学生掌握探究3的另一种解法，拓展学生的思维，
认识到本解法才是更简单的方法.
通过课堂训练加深学生对面积问题的理解，学会用转化思想构建关于面积的相等关系，培养思维能力.
图① 图②
通过课堂小结，让学生对面积问题有一个整体的认识，更深刻地认识对“解”进行讨论的必要性.
通过课堂小测了解学生对面积问题的掌握情况，及时发现并解决学生存在的各种问题.
分层要求,关注学生差异.
用高斯小时候的故事引入，不仅与本节数学活动课的内容有密切关联，还能激发学生学习数学的兴趣.
图1
结合三角阵，让学生从本质上掌握前个正整数之和的计算公式，及其证明方法.
通过例子加深学生对“等差”数列的印象，了解成“等差”的无数个正整数中，前个数之和都可以转化为与前个正整数和有关的计算问题.
通过课堂练习进一步让学生了解成“等差”的无数个正整数中，如何用表示第个数，以及前个数之和的计算方法.
通过小结让学生对成“等差”的一列数的性质及如何求其前个数的和有一个总体认识，体会转化思想在计算上的应用.
分层要求,关注学生差异.
分门别类对一元二次方程有关的知识点进行复习，巩固了学生的印象，加深了学生的理解，有助于学从整体上认识本单元的知识结构，提高学生的概括能力.
通过小结让学生从整体上认识构成本章的主要知识要点，加深学生的印象.
分层要求,关注学生差异.
对一元二次方程在实际问题上的应用进行分门别类的归纳总结，深化了学生的理解，加深了学生的应用能力.
图1
通过课堂小测，及时发现学生用一元二次方程解决相关实际问题上的不足与缺漏，及时纠正存在的各种问题.
通过小测，了解学生是否掌握用一元二次方程解决相关实际问题，发现学生存在的问题，及时纠正学生存在的错误.
分层要求,关注学生差异.
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