第二十二章 二次函数 课时教学设计 人教版九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第二十二章 二次函数 课时教学设计 人教版九年级数学上册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 11.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-05 11:07:07 | ||
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文档简介
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数（1）
教学目标1. 理解并掌握二次函数的有关概念．2. 能判断一个给定的函数是否为二次函数． 3. 能根据实际问题中的条件表示简单变量之间的二次函数关系．
重点 结合具体情境体会二次函数的意义及理解二次函数的有关概念．
难点 从实际问题中寻找、发现二次函数模型．
教学过程
一、复习引入
1. 一元二次方程的一般形式是什么？
解：一元二次方程的一般形式是().
2. 回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是什么样的？
解：形如()的函数叫做正比例函数；形如()的函数叫做一次函数.
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
问题1 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次与球队数有什么关系？
解：比赛的场次与球队数的关系为.
问题2 某种产品现在的年产量是20，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的的值而确定，与之间的关系应怎样表示？
解：与之间的关系为.
问题3 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方体的棱长为，表面积为，那么与之间有什么关系？
解：与之间的关系为.
思考 以上三个等量关系，，是函数关系吗？它们有什么共同点？
答：以上三个等量关系是函数关系. 三个函数都是用自变量的二次式表示的. 一般地，形如(，，是常数，)的函数，叫做二次函数. 其中，是自变量，，，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
三、例题分析
例1 一个圆柱的高等于底面半径,则它的表面积S与半径r之间的关系式为,其中二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
例2 下列函数关系中:①等腰三角形顶角与底角的关系；②正方形面积S与边长x的关系；③矩形面积一定时,长y与宽x的关系；④正三角形面积S与边长a的关系.其中解析式是二次函数的是 ②④ .(填序号)
例3 如图,矩形绿地的长、宽各增加时,面积就增加.
(1)试写出与之间的函数解析式；
(2)它是二次函数吗 如果是,写出二次项、一次项和常数项；
(3)要使绿地的面积增加,则长和宽都增加多少m
解:(1)
∴与之间的函数解析式为；
(2)它是二次函数,其中二次项为,一次项为,
常数项为0；
(3)当时,
解得,(不合题意,舍去)
∴当绿地面积增加时,长和宽都增加.
四、当堂训练
1. 在下列函数解析式中,以x为自变量的二次函数是 (1)(2)(5) .(填序号)
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)；(6).
2. 某校九(1)班共有x名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y次,则y与x之间的关系式,它 是 (填“是”或“不是”)二次函数．
3. 若是关于x的二次函数,则a的取值范围是．
五、课堂小结
本节课我们引入一类新的数学对象——二次函数，并进行初步的研究.
1. 二次函数的一般式及其有关概念.
2. 二次函数与一次函数、正比例函数的区别和联系.
六、课堂小测
1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( C )
A. B.
C. D.
2.设圆的半径为r,请填空:
(1)这个圆的周长,它是r的 一次 函数；
(2)这个圆的面积,它是r的 二次 函数.
3.已知二次函数.
(1)当时,求y的值；
(2)当时,求x的值.
解:(1)当时,；
(2)当时,
解得,.
4.某种商品的价格是2万元,准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y(单位:万元)随每次降价的百分率x的变化而变化,y与x之间的关系可以用怎样的函数来表示 它是二次函数吗 如果是,写出二次项系数、一次项系数和常数项.
解:
它是二次函数,其中二次项系数为2,一次项系数为,常数项为2.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（2）
教学目标1. 会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念．2. 掌握二次函数的性质．3. 会用待定系数法确定二次函数的解析式．
重点 二次函数图象的画法及其性质．
难点 用描点法画出的图象、探索其性质．
教学过程
一、复习引入
1. 同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？
解：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.
2. 我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？
解：可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象.
3. 一次函数的图象是什么形状的？二次函数的图象又会是什么形状的？
师生活动：学生发言，相互补充．为解决上述问题，进行今天的学习.
二、新知形成
探究 画二次函数的图象．
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.
(3)连线：用平滑的曲线顺次连结各点,得到函数的图象,如图所示.
提问：观察这个函数的图象,它有什么特点？
师生活动：让学生观察，思考、讨论、交流，归结为:
抛物线：像这样的曲线通常叫做抛物线.(就像篮球抛掷的轨迹)
对称轴：轴是抛物线的对称轴，且对称轴和图象有一个交点.
顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
三、例题分析
例1 在同一直角坐标系中,画出函数与的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点？又有什么区别？
开口方向 向上 向下
开口大小 一致 一致
对称性 轴对称 轴对称
顶点 原点 原点
例2 在同一直角坐标系中,画出函数与的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么？
开口方向 向上 向下
开口大小 一致 一致
对称性 轴对称 轴对称
顶点 原点 原点
例3 将例1和2所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么？
解：一般地，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点．
当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
对于抛物线，越大，抛物线的开口越小．
四、当堂训练
1.(1)在同一直角坐标系中画出下列函数的图象:
, , .
解:列表
x 0 0.5 1 1.5
6.75 3 0.75 0 0.75 3 6.75
0
x 0 1 2 3
3 0 3
描点并连线
(2)函数的开口 向上 ；对称轴是；
顶点坐标是；当时,y随x的增大而
增大 ；当 0 时,函数y有最 小 值；
(3)函数的开口 向下 ；对称轴是；
顶点坐标；当时,y随x的增大而
减小 ；当 0 时,函数y有最 大 值是
0 ；
(4)把抛物线绕其顶点旋转,得到的抛物
线解析式为．
五、课堂小结
1. 用描点法画函数图象的步骤有哪些？
2. 二次函数的性质.
六、课堂小测
1.关于函数图象的描述:①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点坐标为,其中正确的有( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在同一平面直角坐标系中,函数,,的图象的共同特点叙述正确的是( D )
A.抛物线的开口都向上
B.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大
C.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而减小
D.都是关于y轴对称的抛物线,有公共的顶点
3.抛物线经过,两点,则下列关系正确的是( C )
A. B. C. D.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（3）
教学目标1. 会用描点法画出的图象．2. 掌握二次函数的性质．3. 掌握二次函数与的联系的解析式．
重点 二次函数图象的画法及其性质．
难点 二次函数图象性质的应用．
教学过程
一、复习引入
1. 二次函数的图象是 抛物线 ，它的开口向 上 ，顶点坐标是 原点 ；对称轴是 y轴 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大 ，当 0 时，取最 小 值，其最 值是 0 .
2.二次函数的图象与二次函数的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
问题1 对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究？
答：画出函数和函数的图象，并加以比较.
问题2 你能在同一直角坐标系中,画出函数与的图象吗？
解:(1)列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
… 8 2 0 2 8 …
… 9 3 l 3 9 …
(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数和的图象.
问题3 当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系
解：当自变量x取同一数值时，函数的函数值都比函数的函数值大1. 反映在图象上,函数的图象上的点都是由函数的图象上的相应点向上移动了一个单位.
问题4 函数和的图象有什么联系？
解：函数的图象可以看成是将函数的图象向上平移一个单位得到的.
问题5 现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？
解：函数与的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数的图象的顶点坐标是(0,0)，而函数的图象的顶点坐标是(0,1).
问题6 你能由函数的性质,得到函数的一些性质吗？
解：当x时，函数值y随x的增大而减小；
当x时，函数值y随x的增大而增大；
当x时，函数取得最 小 值，最 小 值y = 1 ．
三、例题分析
例1 (1)在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
, ,
解:列表
x 0 1 2 3
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5
2.5 0 0 2.5
描点并连线
(2)由上图可知:把抛物线向上平移
2个单位,就得到抛物线；
抛物线是由抛物线向
下 平移 2 个单位得到的.
(3)抛物线如何通过平移得到抛物线
解:当时,把抛物线向上平移k个单位,就得到；
当时,把抛物线向下平移个单位,就得到.
四、当堂训练
1. 已知二次函数图象经过点,.求该函数的解析式,并写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
解:二次函数图象经过点,
∴ 解得
∴该二次函数的解析式为
二次函数的图象开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为.
五、课堂小结
1. 二次函数具有哪些性质？
2. 二次函数与图象之间有什么联系？
六、课堂小测
1.二次函数的图象开口向 上 ,对称轴是,顶点坐标为；当时,.
2.如果将抛物线向下平移2个单位,那么得到新抛物线的解析式为.
3.已知点,都在函数的图象上,则.
(填“”“”或“”)
4.已知二次函数图象经过点,.
(1)求该函数的解析式,并写出这个二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x为何值时,y随x的增大而增大
解:(1)∵二次函数图象经过点,
∴
解得
∴该二次函数的解析式为
抛物线的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为；
(2)∵抛物线的开口向下,对称轴是y轴
∴当时,y随x的增大而增大.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（4）
教学目标1. 能用描点法画出二次函数的图象．2. 掌握二次函数的性质．3. 掌握二次函数与的联系．
重点 二次函数图象的画法及其性质．
难点 二次函数图象性质的应用．
教学过程
一、复习引入
1. 如图，观察二次函数,的图象,并回答:
(1)两条抛物线的位置关系.
解：由向下平移1个单位长度得到.
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标.
解：对称轴都是y轴，开口方向都向下，
的顶点坐标为，
顶点坐标为.
2. 二次函数的图象与二次函数的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
问题1 对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究？
答：画出函数和函数的图象，并加以比较.
问题2 在同一直角坐标系中,画出函数与的图象.
解:(1)列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
… 8 2 0 2 8 …
… 18 8 2 0 2 …
(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数和的图象.
问题3现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？
解：
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 y轴
向上 直线
问题4你可以由函数的性质,得到函数的性质吗？
解：当x时，函数值y随x的增大而减小；
当x时，函数值y随x的增大而增大；
当x时，函数取得最 小 值，最 小 值y = 0 ．
三、例题分析
例1 (1) 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
, ,
解:列表
x 0 1 2 3
2 0 2
x 0 1
2 0 2
x 0 1 2 3 4 5
2 0 2
描点并连线
(2)由上图可知:把抛物线向左平移
2个单位,就得到抛物线；
抛物线是由抛物线
向 右 平移 2 个单位得到的.
(3)写出抛物线的开口方向、对
称轴及顶点坐标.
解:抛物线的开口向上,对称轴是直线,顶点坐标是.
四、当堂训练
1.已知二次函数.当,y的最大值为5,求a的值.
解:∵二次函数图象的对称轴为直线
∴当时, y随x的增大而减小
∴当时,
即
解得.
五、课堂小结
1.二次函数具有哪些性质？
2.二次函数与图象之间有什么联系？
六、课堂小测
1.抛物线的开口向 下 ,对称轴是直线,顶点坐标为,它有最 高 点,它可由抛物线向 左 平移 4 个单位得到.
2.对于函数(a,h是常数,)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,请填写下表:
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线
向下
3.已知二次函数,当时,y随x的增大而 增大 .(填“增大”或“减小”）
4.已知抛物线的顶点坐标为,且经过点,求该抛物线的解析式.
解:∵抛物线的顶点坐标为
∴
∵抛物线经过点
∴
解得
∴抛物线的解析式为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（5）
教学目标1.能用描点法画出二次函数的图象．
2.掌握二次函数的性质．3. 掌握二次函数与的联系．
重点 二次函数图象的画法及其性质．
难点 二次函数图象性质的应用．
教学过程
一、复习引入
1. 函数的图象与函数的图象有什么关系
解：函数的图象可以看成是将函数的图象向上平移1个单位得到的．
2. 函数的图象与函数的图象有什么关系
解：函数的图象可以看成是将函数的图象向右平移1个单位得到的．
3. 函数图象与函数图象有什么关系 函数有哪些性质
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
问题1 完成下列表格：
开口方向 向上 向上 向上
对称轴 y轴 直线 直线
顶点坐标
问题2 从上表中,你能分别找到函数与函数，图象的关系吗
解：函数的图象可以看成是将函数的图象向上平移1个单位得到的,也可以看成是将函数的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.
问题3 你能发现函数有哪些性质
解：①当时,y随x的增大而减小；
②当时,y随x的增大而增大；③当时,函数y有最小值是 .
师生活动：教师可组织学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识．
归纳：抛物线有如下特点：
①当时，开口向上；当时，开口向下．
②对称轴是．
③顶点是．
三、例题分析
例1 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点
向上
向下
向上
向下
例2 已知二次函数的图象与轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A,B,C,D的坐标,并在网格坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)写出抛物线可由抛物线如何平移得到的
解:(1),,,；
二次函数的图象如
图所示；
(2)抛物线是由抛物线
向下平移4个单位,再向右
平移1个单位得到的.
四、当堂训练
1.对于二次函数的图象,下列说法错误的是( C )
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标为,对称轴为直线
C.当时,y随x的增大而增大；当时,y随x的增大而减小
D.它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
2.已知点,和都在抛物线上,则a,b,c的大小关系为.(用“”连接)
五、课堂小结
1. 二次函数具有哪些性质？
2. 二次函数与图象之间有什么联系？
六、课堂小测
1.抛物线的顶点坐标是( D )
A. B. C. D.
2.已知点,都在抛物线上,则,的大小关系为.(用“”连接)
3.按要求画图,并回答问题.
(1)在如图所示的平面直角坐标系内,画出二次函数与的图象；
(2)写出这两条抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(3)观察(1)中两条抛物线,抛物线怎样平移得到抛物线
解:(1)二次函数与的
图象如图所示；
(2)抛物线的开口向上,对称轴是y轴,
顶点坐标为；
抛物线的开口向上,对称
轴是直线,顶点坐标为；
(3)把抛物线向下平移2个单位,再向左平移1个单位,就得到抛物线.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（6）
教学目标1. 能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标等性质．2. 会利用对称性画出二次函数的图象．3. 掌握公式确定的对称轴和顶点坐标．
重点 通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标等性质．
难点 配方法推导二次函数顶点坐标的过程．
教学过程
一、复习引入
1. 你能说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
解：函数图象的开口向下,对称轴为直线,顶点坐标是.
2.函数增减性及最值的性质？
解：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当时，函数取得最大值，最大值.
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
思考 画二次函数的图象,如果能够先确定它的对称轴,那么就可以用描点法对称地画出图象.那能否把化为的形式呢？
方法探究 以为例
解：
这种方法也叫配方法,但与一元二次方程中的配方法是不同的(不能除以二次项系数,只能提取二次项系数).从配方后的函数关系式可知:抛物线的对称轴是直线,顶点是(6,3).这样,在列表时就可以利用图象的对称性进行取值
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… 5 3 5 …
归纳：一般地,我们可以用配方求抛物线的顶点与对称轴.如下:
当时,开口向上；当时,开口向下.
对称轴是直线,顶点坐标是.
从图象上我们进一步可以得到:
一般地,因为抛物线的顶点是最低(高)点,所以当时,二次函数有最小(大)值.
三、例题分析
例1 先确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,再描点画图.
解:∵
∴抛物线的开口向上,对称
轴是直线,顶点坐标为
利用对称性列表:
例2 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,并求当为何值时,的最小(或最大)值是多少
(1)；
解:
∴抛物线开口向上,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,；
(2).
解:
∴抛物线的开口向下,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,.
四、当堂训练
1. 把二次函数化成的形式是( A )
A. B.
C. D.
2.将抛物线先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到新抛物线的解析式是.
五、课堂小结
1.如何将二次函数化成的形式？
2.二次函数具有哪些性质？ 顶点坐标公式和对称轴
3.二次函数与之间有什么关系？
六、课堂小测
1.若二次函数配方后为,则b,k的值分别为( D )
A.0,4 B.0,1 C.,5 D.,1
2.二次函数的图象的顶点坐标为.
3. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,并求当x为何值时,y的最小(或最大)值是多少
(1)；
解:
∴抛物线的开口向下,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,；
(2).
解:
∴抛物线的开口向上,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（7）
教学目标1. 能根据条件用待定系数法求二次函数的解析式．2. 通过灵活的根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化．
重点 利用待定系数法求二次函数的解析式．
难点 灵活地把非常态问题化成一般式或顶点式的常态形式,确定二次函数的解析式．
教学过程
一、复习引入
1.完成下列表格：
对称轴 直线 直线
顶点
3.已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为
∵一次函数经过点(1,3)和(-2,-12)
∴
解得
∴这个一次函数的解析式为.
二、新知形成
问题1 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点，求这个函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为
∵一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点
∴
解得
∴这个二次函数的解析式为.
问题2 已知抛物线的顶点为(-1,-3)，与y轴的交点为(0,-5)，求抛物线的解析式.
解：∵抛物线的顶点为(-1,-3)
设这个抛物线的解析式为
∵与y轴的交点为(0,-5)
∴
解得
∴这个抛物线的解析式为.
三、例题分析
例1 已知抛物线经过点,.求抛物线的解析式.
解:∵经过点,
∴
解得
∴该抛物线的解析式为.
例2 抛物线的顶点坐标为,且过点,求该抛物线的解析式.
解:∵抛物线的顶点坐标为
∴可设抛物线的解析式为
∵抛物线过点
∴
解得
∴该抛物线的解析式为.
四、当堂训练
1. 一个二次函数,当自变量时,函数值；当与时,.求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数的解析式为,根据题意,得
，解得.
∴二次函数的解析式为.
五、课堂小结
待定系数法求二次函数解析式的一般方法:
1.已知图象上三点或三对的对应值,通常选择一般式;
2.已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标,通常选择顶点式.
六、课堂小测
1.已知抛物线经过点,.求抛物线的解析式.
解:∵过点,
∴
解得
∴该抛物线的解析式为.
2.抛物线的顶点坐标为,且过点,求该抛物线的解析式.
解:设这个抛物线的解析式为
∵函数的图象经过点
∴
解得
∴该抛物线的解析式为.
3.一个二次函数图象经过,,三点,求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数的解析式为,根据题意,得
解得
∴二次函数的解析式为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
教学目标1. 探究并掌握二次函数与一元二次方程之间的联系．2. 经历探究二次函数与一元二次方程之间的关系,学会归纳与总结等方法．
重点 理解二次函数与一元二次方程之间的联系,并会进行简单的运用．
难点 培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想．
教学过程
一、情境引入
问题 如图,以 40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位: m)与飞行时间 t (单位: s)之间具有关系: .
(1)球的飞行高度能否达到15 m？
若能,需要多少时间？
(2)球的飞行高度能否达到20 m？
若能,需要多少时间？
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？若能,需要多少时间？
(4)球从飞出到落地要用多少时间？
二、新知形成
为解决上述问题，我们先探究以下问题
问题1 h是t的二次函数，h和t表示的实际意义分别是什么？
解：h表示球的飞行高度，t表示球的飞行时间.
问题2 当h取具体值时,得到关于t的一元二次方程；如何求解一元二次方程的根呢？
解：根据方程的特点选择合适的方法——配方法、公式法、因式分解法.
问题3 如何理解一元二次方程与二次函数的关系？
解：二次函数代入不同的函数值，可以得到不同的一元二次方程.
下面解决情境引入的问题
解：（1）解方程，，.
当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.
（2）解方程，，.
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
（3）解方程，.
因为，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
（4）小球飞出时和落地时的高度都为0m，解方程，，.
当小球飞行0s和4s时，它的飞行高度为0m.这表明球从飞出到落地要用4s.
探究 你能结合图象说明为什么15 m高度时有两个解,20 m高度时是两个相同解,20.5 m时无解吗？
小结:二次函数与一元一次方程关系密切,二次函数与的交点的横坐标就是方程的解,反过来方程的解又可以看作是抛物线与x轴交点的横坐标.
三、例题分析
例1画出函数的图象,利用图象回答:
(1)方程的解是；
(2)当函数值大于0时,自变量的取值范围是
；
(3)当函数值小于0时,自变量的取值范围是
.
例2 如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是,求铅球推出的距离.
解:当时,
解得,
∴铅球推出的距离为.
四、当堂训练
1. 二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,则它的图象与x轴的两个交点坐标分别是.
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
2.已知抛物线经过,,则关于x的方程的解为.
3.已知二次函数的部分图象如图所示,其中与x轴交于,对称轴为直线,则关于x的一元二次方程的解为.
4.如图,二次函数的图象与x轴交于坐标原点和,若关于x的方程(t为实数)在的范围内有解,则t的取值范围是.
五、课堂小结
1.二次函数与一元二次方程的关系？
2.数形结合思想方法的渗透.
六、课堂小测
1.已知抛物线的对称轴是直线,若关于x的方程
的一个根是4,则该方程的另一个根是( B )
A. B. C.1 D.0
2.二次函数的部分对应值如下表:
x 0 1 2 4
y 5 0 5
则关于x的一元二次方程的解为( C )
A., B.,
C., D.,
3.画出二次函数的图象,观察图象回答下列问题:
(1)当x为何值时,函数值
(2)当x为何值时,函数值
(3)当x为何值时,函数值
解:
利用对称性列表:
由图象可知:
(1)当或时,函数值；
(2)当或时,函数值；
(3)当时,函数值.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.2 二次函数与一元二次方程(2)
教学目标1. 进一步学习二次函数与一元二次方程之间的联系．2. 理解二次函数图象与x轴交点的个数和一元二次方程根的个数之间的关系．
重点 二次函数的图象与x轴交点情况的探究及其运用．
难点 二次函数的图象与x轴交点情况的探究过程及数形结合思想的渗透．
教学过程
一、复习引入
1.直线与y轴交于点，与x轴交于点.
2.一元二次方程,当时,方程有两个不相等的实数根；当时,方程有两个相等的实数根；当时,方程没有实数根.
3.上节课学过的二次函数与一元二次方程的关系有哪些？
解：二次函数与的交点的横坐标就是方程的解,反过来方程的解又可以看作是抛物线与x轴交点的横坐标.
二、新知形成
探究:下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有,求出公共点的横坐标；若没有请说明理由.
这些函数图象如图所示:
分析:从图象就可以看出与x轴的交点情况,并也可以求出与x轴的交点的横坐标.
归纳如下:(一元二次方程的实数根记为、)
二次函数 与 一元二次方程
与x轴有 2 个交点 0,方程有 两个不相等 的实数根.
与x轴有 1 个交点；这个交点是 顶 点 0,方程有 两个相等 的实数根.
与x轴有 0 个交点 0,方程 没有 实数根.
三、例题分析
例1已知抛物线,判断顶点在什么位置.
(1)当时:
①若方程有两个不等的实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 下方 ；
②若方程有两个相等的实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 上 ；
③若方程无实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 上方 .
(2)当时:
①若方程有两个不等的实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 上方 ；
②若方程有两个相等的实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 上 ；
③若方程无实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 下方 .
例2 求证:不论m为何实数,函数的图象与x轴都有两个不同交点.
证明:∵
∴不论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点.
四、当堂训练
1.抛物线与坐标轴的交点个数为( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.当或时,与的值相等,则函数与x轴的交点坐标为( A )
A., B., C., D.,
3.若二次函数的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1)二次函数与一元二次方程的关系；
(2)二次函数图象与x轴交点的个数情况和一元二次方程根的情况之间的关系.
六、课堂小测
1.若二次函数的图象与x轴没有交点,则m的取值范围是
.
2.若抛物线的对称轴是直线,与x轴的一个交点是
,则这条抛物线与x轴的另一个交点坐标是.
3.求抛物线与x轴的交点个数.
解:∵
∴抛物线与x轴有两个交点.
4.已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值,并求出这个交点坐标.
解:根据题意,得
∴
解得
当时,二次函数为
当时,
解得
∴这个交点坐标为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.3 实际问题与二次函数 (1)
教学目标1. 会求二次函数的最小(大)值．2. 初步体会将实际问题转化为数学问题,并利用二次函数解决最值问题．
重点 初步体会将实际问题转化为数学问题,并利用二次函数解决最值问题．
难点 如何将实际问题抽象出二次函数模型．
教学过程
一、复习引入
1.前面已经学过二次函数的性质,回答下列问题:
(1)二次函数的顶点坐标公式是什么？
解：顶点坐标是.
(2)二次函数的最值性质是什么？
解：一般地,因为抛物线的顶点是最低(高)点,所以当时,二次函数有最小(大)值.
2.在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如抛球、围墙、拱桥跨度等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义．从这节课开始,我们就共同解决这几个问题．
二、新知形成
探究: 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是 ．小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：找出问题中的两个变量:小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)．
计算当t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6时,h的值是多少？
t 1 2 3 4 5 6
h 25 40 45 40 25 0
根据算出的数据,画出函数 的图象．
根据函数图象,观察出小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
解：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值．
师生活动：教师引导学生求函数的顶点坐标,解决这个问题．
解：当t＝3时,h有最大值为45．
答:小球运动的时间是3 s时,小球最高．小球运动中的最大高度是45 m．
三、例题分析
例1如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球飞行高度y(m)与飞行时间x(s)之间具有函数关系,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为时,飞行时间是 1或3 s；
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大 最大高度是多少
解:(2)当时, 解得,
∴
答:在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是；
(3)
∴当时,y取得最大值为20
答:在飞行过程中,小球飞行高度第时最大,最大高度是.
例2 如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线运行,然后准确落入篮框内.已知篮框的中心离地面的距离为.
(1)球在空中运行的最大高度为多少米
(2)该运动员跳投时,球出手离地面的高度为,请问他距离篮框中心的水平距离为多少时,球才能准确落入篮框内
解:(1)∵抛物线的顶点坐标为
∴球在空中运行的最大高度为；
(2)当时,
解得
∵
∴
当时, 解得
∵ ∴
∴运动员距离篮框中心水平距离为.
四、当堂训练
1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是( A )
A. B.
C. D.
2.已知飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数关系式是,求飞机着陆后滑行多远才能停下来
解:
∵当飞机滑行的路程s达到最大值时,路程不再增加了,说明此时飞机停下来了
∴该飞机着陆后滑行了才停下来.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1)二次函数的顶点坐标；
(2)利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤:
①找出变量和自变量；
②列出二次函数的解析式；
③根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
④在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值.
六、课堂小测
1.在羽毛球比赛中,羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的一部分(如图),其中出球点B离地面点O的距离是,球落地点A到点O的距离是,求羽毛球的运动过程中离地面的最大高度.
解:根据题意,得抛物线经过点和
∴ 解得
∴函数解析式为
∴当,y取得最大值为
答:羽毛球的运动过程中离地面的最大高度为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.3 实际问题与二次函数 (2)
教学目标1. 能根据实际问题列出二次函数关系式,并利用二次函数知识解决几何图形面积的最值问题．2. 通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,让学生体会建立数学模型的思想,渗透转化的数学思想方法．
重点 根据实际问题建立二次函数模型,利用二次函数知识解决几何图形面积的最值问题．
难点 从实际问题抽象出二次函数模型．
教学过程
一、复习引入
1.利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤有哪些？
解：①找出变量和自变量；
②列出二次函数的解析式；
③根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
④在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值．
下面,我们一起来探究有关几何面积的实际问题．
二、新知形成
探究: 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时,场地的面积S最大？
解:矩形场地的周长是60 m,一边长为l m,
所以另一边长m．则场地的面积
,即．
∵,开口向下.
∴当时,S有最大值．
也就是说,当l是15 m时,场地的面积S最大．
三、例题分析
例1如图,在足够大的空地上有一段长为的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了木栏.求矩形菜园ABCD的最大面积.
解:设,菜园ABCD的面积为,根据题意,得
∴当时,y随x的增大而增大
即当时,
∴矩形菜园ABCD的最大面积为.
例2 一块直角三角形废料如图所示,,,.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大,点E应选在何处
解:设,长方形CDEF面积为y
∵ ∴
∴
∵ ∴
∴
∴
∴
∵, ∴y有最大值
∴当时,
即当点E在AB中点(或点E在AB上与点A的距离6)时,剪出长方形铁片面积最大.
四、当堂训练
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大 最大值是多少
解:设直角三角形的面积为S,一条直角边为x,则另一条边为,根据题意,得
,即
∵
∴当时,S有最大值,
答:两直角边均为4时,这个直角三角形的面积最大,最大值是8.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1) 二次函数的最值问题；
(2) 利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤：
①找出变量和自变量；
②列出二次函数的解析式；
③根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
④在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值．
六、课堂小测
1. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为,求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值.
解:设这三间长方形种牛饲养室的总占地面积为,垂直于墙的边长,则三间饲养室总长
∴
∵,且
∴
∴当时,y取得最大值为144
答:这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.3 实际问题与二次函数 (3)
教学目标1.从实际问题抽象出二次函数模型,并利用二次函数解决最大利润的实际问题．2. 经历探索利用二次函数的最值性质解决利润问题的过程,进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型．
重点 从实际问题抽象出二次函数模型,并利用二次函数解决最大利润的实际问题．
难点 如何从实际问题抽象出二次函数模型．
教学过程
一、复习引入
1.完成下列表格.
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
有了前面所学的知识,现在继续应用二次函数的知识去解决有关利润的实际问题．
二、新知形成
探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先看涨价的情况.
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出件，销售额为元，买进商品需付元.因此所得利润，即
，其中，.
当时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
（2）在降价的情况下，最大利润是多少？
解：设每件降价x元，则销售量为件，
利润，
即，其中，
当时，y最大，最大值为6125.
综上所述，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
三、例题分析
例1某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件元出售,可卖出件,应如何定价才能使利润最大 最大利润是多少元
解:设利润为y元,根据题意,得
∵
∴y有最大值
∴当时,
答:商品每件以65元出售时才能使利润最大,最大利润为元.
例2 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克；销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.销售单价为每千克多少元时,月销售利润最大
解:设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,根据题意,得
∴当时,y取得最大值
答:销售单价为每千克70元时,月销售利润最大.
四、当堂训练
1.某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆的利润最大
解:设每个房间的房价每天增加x元时,宾馆的利润为y元,根据题意,得
∵
∴y有最大值
∴当时,y有最大值,这时房价为(元)
答:每个房间的房价定为350元时,宾馆每天利润最大.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1) 销售总利润=单利润×销售量；
(2) 利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤.
六、课堂小测
1.某商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:
,求销售单价为多少元时,该商品每天的销售利润最大,最大利润多少元
解:∵
∴当时,y取得最大值,最大值为175
答:销售单价为10元时,该商品每天的销售利润最大,最大利润175元.
2.某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元
(3)若该网店每星期想要获得不低于元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件
解:(1)；
(2)设每星期的销售利润为w元,根据题意,得
∴当时,
∴每件售价定为55元时,每星期的销售利润最大,最大利润元；
(3)当时,
解得
在函数中,当时,
在函数中,y随x的增大而减小
当时,
∴该网店每星期想要获得不低于元的利润,每星期至少要销售
该款童装360件.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.3 实际问题与二次函数 (4)
教学目标1. 建立适当的平面直角坐标系,利用二次函数解决抛物线型的实际问题．2. 在问题转化、建模过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想．
重点 建立适当的平面直角坐标系,利用二次函数解决抛物线型的实际问题．
难点 如何建立适当的平面直角坐标系及二次函数模型．
教学过程
一、情境引入
1.观察下列图片，说一说它们都有什么共同的特点.
有了前面所学的知识,现在继续应用二次函数的知识去解决有关抛物线形的实际问题．
二、新知形成
探究 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴建立直角坐标系.
解：设这条抛物线表示的二次函数为
由抛物线经过点，可得
解得.
这条抛物线表示的二次函数为.
当时，，.
当水面下降1m时，水面宽度为m，水面宽度增加m.
小结：适当的选择坐标系的位置可以使得解答简便，否则不仅解答不简便，有时还会导致问题无法解答. 总结出用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤.
(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)设二次函数的解析式(待定系数法)；(3)问题求解；(4)找出实际问题的答案(注意变量的取值范围)
三、例题分析
例1如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,且AC⊥x轴.若,求桥拱离水面的最大高度.
解:∵
∴点A的横坐标为
∴当时,
∴
由知,桥拱离桥面的最大高度为
∴桥拱离水面的最大高度为.
例2 如图,小明的父亲在相距的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方A,B距地面都是,绳子自然下垂呈抛物线状,身高的小明距较近的那棵树时,头部刚好接触到绳子C处,求绳子的最低点距地面的距离为多少m
解:以两棵树之间地面连线所在的直线为x轴,绳子所成抛物线的对称轴是y轴,建立如图所示的平面直角坐标系
∴可设它的函数关系式为
根据题意知在抛物线上
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴y有最小值
∴当时,
答:绳子的最低点距地面的距离为.
四、当堂训练
1.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面时,水面宽,水面下降,水面宽度增加多少米
解:以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系
设抛物线的解析式为,根据题意,得抛物线经过
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
当水面下降时,水面的纵坐标为
把代入,得
解得
∴此时水面的宽度为
∴水面宽度增加.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤:
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)设二次函数的解析式(待定系数法)；
(3)问题求解；
(4)找出实际问题的答案(注意变量的取值范围).
六、课堂小测
1. 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物,大门的地面宽度AB为,两侧距地面高各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离CD为,如图所示,求厂门的高为多少米 (水泥建筑物厚度忽略不计,精确到)
解:如图,以AB的中点为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系.这时,抛物线的对称轴是y轴
∴可设它的函数关系式为
根据题意,得在抛物线上
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
∵ ∴y有最大值
∴当时,
即厂门的高约为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
数学活动 二次函数
教学目标1. 找出两个特殊数乘积最大的规律，并能用二次函数的知识进行合理说明．2. 能够根据给定的几何条件，准确作出曲线，推导曲线方程，判断曲线类型．
重点 利用二次函数解决实际问题．
难点 如何建立适当的二次函数模型．
教学过程
一、情境引入
展示生活实例：利用多媒体展示一些生活中涉及二次函数最值的例子，如喷泉的轨迹、篮球投篮的高度与水平距离关系等，引起学生的兴趣.
同学们，我们已经学习了二次函数，知道它在很多实际问题中都有应用．今天，我们通过两个有趣的数学活动，进一步感受二次函数的魅力．在活动中，大家要积极观察、思考和探索．
二、新知形成
活动一 特殊数乘积最大值探究
观察下列两个两位数的积 (两个乘数的十位上的数都是 9, 个位上的数的和等于 10), 猜想其中哪个积最大．
解：设其中一个数的个位数字为x，因为两个乘数个位上的数的和等于 10，则另一个数的个位数字为，可得这两个数分别表示为.
依题意，得.
∵
∴当时，y有最大值，
即两个数分别为95和95时，乘积最大.
活动二 曲线性质探究
（1）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是.在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来.
观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.
（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是，你能由PA与PM的关系得到x，y满足的关系式吗？你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？你得出的结论与先前你的猜想一样吗？（提示：根据勾股定理用含x，y的式子表示线段PA的长.）
解：设点P的坐标是，A，M.
根据勾股定理，，；
∵
∴
化简得，这是一个二次函数，所以曲线L是抛物线.
三、例题分析
例1 观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是 9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于 100），猜想其中哪个积最大．
解：设其中一个数的十位上的数与个位上的数组成的数为x，因为两个乘数十位上的数与个位上的数组成的数的和等于 100，则另一个数的十位上的数与个位上的数组成的数为，可得这两个数分别表示为.
依题意，得.
∵
∴当时，y有最大值，
即两个数分别为950和950时，乘积最大.
例2 若A点坐标变为，重复活动2步骤，求曲线方程并判断曲线类型.
解：设点P的坐标是，A，M.
根据勾股定理，，；
∵
∴
化简得，这是一个二次函数，所以曲线L是抛物线.
小结
特殊数乘积的规律：当两个数的高位数字相同，且低位数字之和为固定值时，两个数相等时它们的乘积最大.
求曲线方程：（1）设点坐标；（2）表示线段长；（3）根据等量关系列方程；（4）整理化简.
四、当堂训练
1.两个两位数，十位上的数字都是4，个位上数字之和为10，则这两个数乘积最大时，这两个数分别是（ C ）.
A.41和49 B.46和44 C.45和45 D.43和47
2. 已知两个两位数，它们十位数字相同都为3，个位数字之和为10，设其中一个数的个位数字为x，它们的乘积为y，则y关于x的函数关系式为（ A ）.
A. B.
C. D.
3. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,3) ，在x轴上任取一点M，连接AM，作AM垂直平分线，过M作x轴垂线，与交点为P，当P点横坐标为2时，P点纵坐标为 .
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤:
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)设二次函数的解析式(待定系数法)；
(3)问题求解；
(4)找出实际问题的答案(注意变量的取值范围).
六、课堂小测
1.有一组数，按照如下规律排列：设第一个因数为n（为正整数），这两个因数的乘积为y，则y与n的函数关系为（C）
A. B.
C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0, 5)。过点A作直线l平行于x轴，点P是x轴正半轴上一动点，连接AP，作∠APQ = 90°，PQ与直线l相交于点Q。设点P的坐标为(x, 0)，点Q的坐标为(m, 5)，则m与x满足的函数关系是.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
单元复习 二次函数（1）
教学目标1. 掌握二次函数的有关概念及图象性质．2. 会利用待定系数法求函数解析式．3. 理解二次函数与一元二次方程之间的关系,并会简单的应用．
重点 掌握二次函数的核心知识．
难点 二次函数相关知识的灵活运用及数形结合思想的渗透．
教学过程
一、题练精析
知识点一：二次函数的定义
例1 下列函数中，是二次函数的是（D）
A. B.
C. D.
练习1 已知函数，当m为何值时，这个函数是二次函数？
解：依题意，得，解得，
所以当时，这个函数是二次函数．
知识点二：二次函数的图象与性质
例2 已知二次函数中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x 0 1
y 0 0
(1)二次函数图象与x轴的交点坐标是；与y轴的交点坐标是；对称轴是直线；顶点坐标是.
(2)在方格图中画出二次函数图象,并求出它的解析式；
(3)结合图象写出当时,自变量x的取值范围.
解:(2)二次函数图象如图所示；
∵二次函数的图象经过点,,
∴ 解得
∴二次函数的解析式为；
(3)由图象知,当时,自变量x的取值范围为.
练习2
（1）二次函数图象的对称轴是直线.
（2）当时,二次函数有最小值为.
（3）抛物线与x轴有两个交点,则k的取值范围是.
知识点三：二次函数图象的平移
例3 抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线解析式为.
练习3 把抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为.
知识点四：用待定系数法求二次函数的解析式
例4 已知抛物线过点,,求该抛物线解析式.
解:根据题意,得
解得
∴抛物线的解析式为.
练习4 已知二次函数的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为，
∵经过点
∴
∴
∴该二次函数的解析式为.
知识点五：二次函数与一元二次方程
例5 抛物线与x轴有两个交点,则k的取值范围是.
练习5 已知抛物线与x轴的交点坐标为，，则一元二次方程的根是.
二、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1)二次函数的有关概念及图象性质；
(2)利用待定系数法求函数解析式；
(3)二次函数与一元二次方程之间的关系.
三、课堂小测
1.对于二次函数,下列说法正确的是( B )
A.图象开口向下 B.图象的对称轴是直线
C.图象的顶点坐标是 D.当时,y随x的增大而增大
2.若二次函数的图象经过点,则该二次函数的解析式是
.
3.将抛物线向左平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线的解析式为.
4.已知抛物线与x轴交于A,B两点,则线段AB的长为.
5.已知抛物线过点,,求该抛物线解析式.
解:根据题意,得
解得
∴抛物线的解析式为.
四、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
五、教学反思
单元复习 二次函数（2）
教学目标1.会根据具体问题中的变量关系建立二次函数模型,并利用二次函数的图象和性质解决实际问题．2.通过复习和解析利用二次函数建立数学模型解决问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验数学的应用价值,提高数学应用意识．
重点 将实际问题转建立二次函数模型,并利用二次函数解决最值问题．
难点 如何从实际问题抽象出二次函数模型．
教学过程
一、题练精析
知识点一：利用二次函数解决面积问题
例1 如图,已知矩形ABCD的周长为,矩形绕它的一条边AB旋转形成一个圆柱,边AB长为多少时,旋转形成的圆柱的侧面积S最大
解:设,则
∴
∵
∴S有最大值
∴当,即时,
答:当时,旋转形成的圆柱的侧面积最大,最大面积为.
练习1 如图,有一个矩形苗圃园,其中一边靠墙(墙长为),另外三边用长为的篱笆围成,则这个苗圃园面积的最大值为.
知识点二：利用二次函数解决利润问题
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（ C ）
A.定价70元时，利润为6000元 B.定价56.5元时，利润为6105元
C.降价3元，能使所获利润最大 D.涨价5元，能使所获利润最大
练习2 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ C ）
A． B．
C． D．
知识点三：利用二次函数解决拱桥问题
例3 一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是 1m ．
练习3 如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 20 米．
二、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤有哪些？
①找出变量和自变量；
②列出二次函数的解析式；
③根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
④在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值．
三、课堂小测
1.某商场第1年销售计算机台,若每年的销售量比上一年增加相同的百分率x,则第3年的销售量y与每年增加的百分率x之间的函数关系式为.
2.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内,若以每件x元(,且x为整数)出售,可卖出件,若要使利润最大,则每件商品的售价应为元.
3.某广告公司设计一幅周长为的矩形广告牌,广告设计费为每平方米元.设矩形一边长为,面积为.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(2)设计费能达到元吗 为什么
(3)当x是多少米时,设计费最多 最多是多少元
解:(1)∵矩形的一边为,周长为
∴矩形的另一边长为
∴,其中；
(2)能.
理由:∵
∴
解得,
∴设计费能达到元；
(3)
∵
∴当时,S有最大值,
∵
∴当x是时,设计费最多,最多是元.
四、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
五、教学反思
复习与二次函数相关的前置概念——一元二次方程与函数相关的基础知识，为学习二次函数做好准备．
从现实情境中，抽象出二次函数模型，体会数学来源于现实生活．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——二次函数．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
从大单元的角度，类比一次函数的研究方法，进行二次函数的研究，引导学生建立研究函数的观念．
从具体函数中探究归纳一类函数的图象与性质．
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通过例题讲解本节内容．
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通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
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函数性质的研究方法一脉相承，通过列表描点连线画出图象，根据图象进行研究．
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通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
x
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复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
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函数性质的研究方法一脉相承，通过列表描点连线画出图象，根据图象进行研究．
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通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
从图形变换——平移的角度，理解函数解析式的变化．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
通过配方法将一般式转化为顶点式是研究二次函数图象及性质非常重要的方法.
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
由已知条件(如二次函数图像上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c就可以写出二次函数的解析式．
若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时,通常设函数的解析式为顶点式 .
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
感知数学与实际生活的联系．依据具体生活情境，引出本章的核心问题：在变化过程中建立函数观念．感受生活中处处有数学．
一步一步拆解问题，将现有问题，与先前学习的知识建立联系．
t
h
O
15
20
21
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
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分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
函数有数和形两方面，数形结合研究问题，体会数形结合的数学思想方法．
x
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通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
将实际问题转化为数学问题,并利用二次函数解决最值问题．
通过例题讲解本节内容．
x
2.25m
3.05m
y
O
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．感知数学与实际生活的联系．
感知数学与实际生活的联系．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
感知数学与实际生活的联系,感受生活中处处有数学．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
感知数学与实际生活的联系．感受生活中处处有数学．
通过问题探究，体会建立平面直角坐标系解决现实生活中抛物线形问题的便利．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
感知数学与实际生活的联系．感受生活中处处有数学．
通过两个活动探究，体会运用二次函数解决问题的妙用．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
例题配套练习，讲练结合进行单元复习．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
例题配套练习，讲练结合进行单元复习．
苗圃园
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
126
22.1 二次函数（1）
教学目标1. 理解并掌握二次函数的有关概念．2. 能判断一个给定的函数是否为二次函数． 3. 能根据实际问题中的条件表示简单变量之间的二次函数关系．
重点 结合具体情境体会二次函数的意义及理解二次函数的有关概念．
难点 从实际问题中寻找、发现二次函数模型．
教学过程
一、复习引入
1. 一元二次方程的一般形式是什么？
解：一元二次方程的一般形式是().
2. 回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是什么样的？
解：形如()的函数叫做正比例函数；形如()的函数叫做一次函数.
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
问题1 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次与球队数有什么关系？
解：比赛的场次与球队数的关系为.
问题2 某种产品现在的年产量是20，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量将随计划所定的的值而确定，与之间的关系应怎样表示？
解：与之间的关系为.
问题3 正方体的六个面是全等的正方形，如果正方体的棱长为，表面积为，那么与之间有什么关系？
解：与之间的关系为.
思考 以上三个等量关系，，是函数关系吗？它们有什么共同点？
答：以上三个等量关系是函数关系. 三个函数都是用自变量的二次式表示的. 一般地，形如(，，是常数，)的函数，叫做二次函数. 其中，是自变量，，，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
三、例题分析
例1 一个圆柱的高等于底面半径,则它的表面积S与半径r之间的关系式为,其中二次项系数为,一次项系数为,常数项为.
例2 下列函数关系中:①等腰三角形顶角与底角的关系；②正方形面积S与边长x的关系；③矩形面积一定时,长y与宽x的关系；④正三角形面积S与边长a的关系.其中解析式是二次函数的是 ②④ .(填序号)
例3 如图,矩形绿地的长、宽各增加时,面积就增加.
(1)试写出与之间的函数解析式；
(2)它是二次函数吗 如果是,写出二次项、一次项和常数项；
(3)要使绿地的面积增加,则长和宽都增加多少m
解:(1)
∴与之间的函数解析式为；
(2)它是二次函数,其中二次项为,一次项为,
常数项为0；
(3)当时,
解得,(不合题意,舍去)
∴当绿地面积增加时,长和宽都增加.
四、当堂训练
1. 在下列函数解析式中,以x为自变量的二次函数是 (1)(2)(5) .(填序号)
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)；(6).
2. 某校九(1)班共有x名学生,在毕业典礼上每两名同学都握一次手,共握手y次,则y与x之间的关系式,它 是 (填“是”或“不是”)二次函数．
3. 若是关于x的二次函数,则a的取值范围是．
五、课堂小结
本节课我们引入一类新的数学对象——二次函数，并进行初步的研究.
1. 二次函数的一般式及其有关概念.
2. 二次函数与一次函数、正比例函数的区别和联系.
六、课堂小测
1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是( C )
A. B.
C. D.
2.设圆的半径为r,请填空:
(1)这个圆的周长,它是r的 一次 函数；
(2)这个圆的面积,它是r的 二次 函数.
3.已知二次函数.
(1)当时,求y的值；
(2)当时,求x的值.
解:(1)当时,；
(2)当时,
解得,.
4.某种商品的价格是2万元,准备进行两次降价.如果每次降价的百分率都是x,经过两次降价后的价格y(单位:万元)随每次降价的百分率x的变化而变化,y与x之间的关系可以用怎样的函数来表示 它是二次函数吗 如果是,写出二次项系数、一次项系数和常数项.
解:
它是二次函数,其中二次项系数为2,一次项系数为,常数项为2.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（2）
教学目标1. 会用描点法画出的图象，理解抛物线的有关概念．2. 掌握二次函数的性质．3. 会用待定系数法确定二次函数的解析式．
重点 二次函数图象的画法及其性质．
难点 用描点法画出的图象、探索其性质．
教学过程
一、复习引入
1. 同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？
解：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质.
2. 我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？
解：可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象.
3. 一次函数的图象是什么形状的？二次函数的图象又会是什么形状的？
师生活动：学生发言，相互补充．为解决上述问题，进行今天的学习.
二、新知形成
探究 画二次函数的图象．
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.
(3)连线：用平滑的曲线顺次连结各点,得到函数的图象,如图所示.
提问：观察这个函数的图象,它有什么特点？
师生活动：让学生观察，思考、讨论、交流，归结为:
抛物线：像这样的曲线通常叫做抛物线.(就像篮球抛掷的轨迹)
对称轴：轴是抛物线的对称轴，且对称轴和图象有一个交点.
顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．
三、例题分析
例1 在同一直角坐标系中,画出函数与的图象,观察并比较两个图象,你发现有什么共同点？又有什么区别？
开口方向 向上 向下
开口大小 一致 一致
对称性 轴对称 轴对称
顶点 原点 原点
例2 在同一直角坐标系中,画出函数与的图象,观察并比较这两个函数的图象,你能发现什么？
开口方向 向上 向下
开口大小 一致 一致
对称性 轴对称 轴对称
顶点 原点 原点
例3 将例1和2所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么？
解：一般地，抛物线的对称轴是轴，顶点是原点．
当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
对于抛物线，越大，抛物线的开口越小．
四、当堂训练
1.(1)在同一直角坐标系中画出下列函数的图象:
, , .
解:列表
x 0 0.5 1 1.5
6.75 3 0.75 0 0.75 3 6.75
0
x 0 1 2 3
3 0 3
描点并连线
(2)函数的开口 向上 ；对称轴是；
顶点坐标是；当时,y随x的增大而
增大 ；当 0 时,函数y有最 小 值；
(3)函数的开口 向下 ；对称轴是；
顶点坐标；当时,y随x的增大而
减小 ；当 0 时,函数y有最 大 值是
0 ；
(4)把抛物线绕其顶点旋转,得到的抛物
线解析式为．
五、课堂小结
1. 用描点法画函数图象的步骤有哪些？
2. 二次函数的性质.
六、课堂小测
1.关于函数图象的描述:①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点坐标为,其中正确的有( D )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.在同一平面直角坐标系中,函数,,的图象的共同特点叙述正确的是( D )
A.抛物线的开口都向上
B.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而增大
C.都是关于y轴对称的抛物线,且y随x的增大而减小
D.都是关于y轴对称的抛物线,有公共的顶点
3.抛物线经过,两点,则下列关系正确的是( C )
A. B. C. D.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（3）
教学目标1. 会用描点法画出的图象．2. 掌握二次函数的性质．3. 掌握二次函数与的联系的解析式．
重点 二次函数图象的画法及其性质．
难点 二次函数图象性质的应用．
教学过程
一、复习引入
1. 二次函数的图象是 抛物线 ，它的开口向 上 ，顶点坐标是 原点 ；对称轴是 y轴 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大 ，当 0 时，取最 小 值，其最 值是 0 .
2.二次函数的图象与二次函数的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
问题1 对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究？
答：画出函数和函数的图象，并加以比较.
问题2 你能在同一直角坐标系中,画出函数与的图象吗？
解:(1)列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
… 8 2 0 2 8 …
… 9 3 l 3 9 …
(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数和的图象.
问题3 当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系 反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系
解：当自变量x取同一数值时，函数的函数值都比函数的函数值大1. 反映在图象上,函数的图象上的点都是由函数的图象上的相应点向上移动了一个单位.
问题4 函数和的图象有什么联系？
解：函数的图象可以看成是将函数的图象向上平移一个单位得到的.
问题5 现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？
解：函数与的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数的图象的顶点坐标是(0,0)，而函数的图象的顶点坐标是(0,1).
问题6 你能由函数的性质,得到函数的一些性质吗？
解：当x时，函数值y随x的增大而减小；
当x时，函数值y随x的增大而增大；
当x时，函数取得最 小 值，最 小 值y = 1 ．
三、例题分析
例1 (1)在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
, ,
解:列表
x 0 1 2 3
4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5
2.5 0 0 2.5
描点并连线
(2)由上图可知:把抛物线向上平移
2个单位,就得到抛物线；
抛物线是由抛物线向
下 平移 2 个单位得到的.
(3)抛物线如何通过平移得到抛物线
解:当时,把抛物线向上平移k个单位,就得到；
当时,把抛物线向下平移个单位,就得到.
四、当堂训练
1. 已知二次函数图象经过点,.求该函数的解析式,并写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
解:二次函数图象经过点,
∴ 解得
∴该二次函数的解析式为
二次函数的图象开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为.
五、课堂小结
1. 二次函数具有哪些性质？
2. 二次函数与图象之间有什么联系？
六、课堂小测
1.二次函数的图象开口向 上 ,对称轴是,顶点坐标为；当时,.
2.如果将抛物线向下平移2个单位,那么得到新抛物线的解析式为.
3.已知点,都在函数的图象上,则.
(填“”“”或“”)
4.已知二次函数图象经过点,.
(1)求该函数的解析式,并写出这个二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当x为何值时,y随x的增大而增大
解:(1)∵二次函数图象经过点,
∴
解得
∴该二次函数的解析式为
抛物线的开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标为；
(2)∵抛物线的开口向下,对称轴是y轴
∴当时,y随x的增大而增大.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（4）
教学目标1. 能用描点法画出二次函数的图象．2. 掌握二次函数的性质．3. 掌握二次函数与的联系．
重点 二次函数图象的画法及其性质．
难点 二次函数图象性质的应用．
教学过程
一、复习引入
1. 如图，观察二次函数,的图象,并回答:
(1)两条抛物线的位置关系.
解：由向下平移1个单位长度得到.
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标.
解：对称轴都是y轴，开口方向都向下，
的顶点坐标为，
顶点坐标为.
2. 二次函数的图象与二次函数的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗？这两个函数的图象之间有什么关系？
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
问题1 对于前面提出的第2个问题,你将采取什么方法加以研究？
答：画出函数和函数的图象，并加以比较.
问题2 在同一直角坐标系中,画出函数与的图象.
解:(1)列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
… 8 2 0 2 8 …
… 18 8 2 0 2 …
(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.
(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数和的图象.
问题3现在你能回答前面提出的第2个问题了吗？
解：
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 y轴
向上 直线
问题4你可以由函数的性质,得到函数的性质吗？
解：当x时，函数值y随x的增大而减小；
当x时，函数值y随x的增大而增大；
当x时，函数取得最 小 值，最 小 值y = 0 ．
三、例题分析
例1 (1) 在同一直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
, ,
解:列表
x 0 1 2 3
2 0 2
x 0 1
2 0 2
x 0 1 2 3 4 5
2 0 2
描点并连线
(2)由上图可知:把抛物线向左平移
2个单位,就得到抛物线；
抛物线是由抛物线
向 右 平移 2 个单位得到的.
(3)写出抛物线的开口方向、对
称轴及顶点坐标.
解:抛物线的开口向上,对称轴是直线,顶点坐标是.
四、当堂训练
1.已知二次函数.当,y的最大值为5,求a的值.
解:∵二次函数图象的对称轴为直线
∴当时, y随x的增大而减小
∴当时,
即
解得.
五、课堂小结
1.二次函数具有哪些性质？
2.二次函数与图象之间有什么联系？
六、课堂小测
1.抛物线的开口向 下 ,对称轴是直线,顶点坐标为,它有最 高 点,它可由抛物线向 左 平移 4 个单位得到.
2.对于函数(a,h是常数,)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,请填写下表:
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 直线
向下
3.已知二次函数,当时,y随x的增大而 增大 .(填“增大”或“减小”）
4.已知抛物线的顶点坐标为,且经过点,求该抛物线的解析式.
解:∵抛物线的顶点坐标为
∴
∵抛物线经过点
∴
解得
∴抛物线的解析式为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（5）
教学目标1.能用描点法画出二次函数的图象．
2.掌握二次函数的性质．3. 掌握二次函数与的联系．
重点 二次函数图象的画法及其性质．
难点 二次函数图象性质的应用．
教学过程
一、复习引入
1. 函数的图象与函数的图象有什么关系
解：函数的图象可以看成是将函数的图象向上平移1个单位得到的．
2. 函数的图象与函数的图象有什么关系
解：函数的图象可以看成是将函数的图象向右平移1个单位得到的．
3. 函数图象与函数图象有什么关系 函数有哪些性质
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
问题1 完成下列表格：
开口方向 向上 向上 向上
对称轴 y轴 直线 直线
顶点坐标
问题2 从上表中,你能分别找到函数与函数，图象的关系吗
解：函数的图象可以看成是将函数的图象向上平移1个单位得到的,也可以看成是将函数的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.
问题3 你能发现函数有哪些性质
解：①当时,y随x的增大而减小；
②当时,y随x的增大而增大；③当时,函数y有最小值是 .
师生活动：教师可组织学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识．
归纳：抛物线有如下特点：
①当时，开口向上；当时，开口向下．
②对称轴是．
③顶点是．
三、例题分析
例1 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点
向上
向下
向上
向下
例2 已知二次函数的图象与轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)直接写出A,B,C,D的坐标,并在网格坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)写出抛物线可由抛物线如何平移得到的
解:(1),,,；
二次函数的图象如
图所示；
(2)抛物线是由抛物线
向下平移4个单位,再向右
平移1个单位得到的.
四、当堂训练
1.对于二次函数的图象,下列说法错误的是( C )
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标为,对称轴为直线
C.当时,y随x的增大而增大；当时,y随x的增大而减小
D.它的图象可以由的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
2.已知点,和都在抛物线上,则a,b,c的大小关系为.(用“”连接)
五、课堂小结
1. 二次函数具有哪些性质？
2. 二次函数与图象之间有什么联系？
六、课堂小测
1.抛物线的顶点坐标是( D )
A. B. C. D.
2.已知点,都在抛物线上,则,的大小关系为.(用“”连接)
3.按要求画图,并回答问题.
(1)在如图所示的平面直角坐标系内,画出二次函数与的图象；
(2)写出这两条抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(3)观察(1)中两条抛物线,抛物线怎样平移得到抛物线
解:(1)二次函数与的
图象如图所示；
(2)抛物线的开口向上,对称轴是y轴,
顶点坐标为；
抛物线的开口向上,对称
轴是直线,顶点坐标为；
(3)把抛物线向下平移2个单位,再向左平移1个单位,就得到抛物线.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（6）
教学目标1. 能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标等性质．2. 会利用对称性画出二次函数的图象．3. 掌握公式确定的对称轴和顶点坐标．
重点 通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标等性质．
难点 配方法推导二次函数顶点坐标的过程．
教学过程
一、复习引入
1. 你能说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
解：函数图象的开口向下,对称轴为直线,顶点坐标是.
2.函数增减性及最值的性质？
解：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当时，函数取得最大值，最大值.
师生活动：学生发言，相互补充．
二、新知形成
思考 画二次函数的图象,如果能够先确定它的对称轴,那么就可以用描点法对称地画出图象.那能否把化为的形式呢？
方法探究 以为例
解：
这种方法也叫配方法,但与一元二次方程中的配方法是不同的(不能除以二次项系数,只能提取二次项系数).从配方后的函数关系式可知:抛物线的对称轴是直线,顶点是(6,3).这样,在列表时就可以利用图象的对称性进行取值
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… 5 3 5 …
归纳：一般地,我们可以用配方求抛物线的顶点与对称轴.如下:
当时,开口向上；当时,开口向下.
对称轴是直线,顶点坐标是.
从图象上我们进一步可以得到:
一般地,因为抛物线的顶点是最低(高)点,所以当时,二次函数有最小(大)值.
三、例题分析
例1 先确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,再描点画图.
解:∵
∴抛物线的开口向上,对称
轴是直线,顶点坐标为
利用对称性列表:
例2 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,并求当为何值时,的最小(或最大)值是多少
(1)；
解:
∴抛物线开口向上,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,；
(2).
解:
∴抛物线的开口向下,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,.
四、当堂训练
1. 把二次函数化成的形式是( A )
A. B.
C. D.
2.将抛物线先向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,得到新抛物线的解析式是.
五、课堂小结
1.如何将二次函数化成的形式？
2.二次函数具有哪些性质？ 顶点坐标公式和对称轴
3.二次函数与之间有什么关系？
六、课堂小测
1.若二次函数配方后为,则b,k的值分别为( D )
A.0,4 B.0,1 C.,5 D.,1
2.二次函数的图象的顶点坐标为.
3. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标,并求当x为何值时,y的最小(或最大)值是多少
(1)；
解:
∴抛物线的开口向下,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,；
(2).
解:
∴抛物线的开口向上,对称轴是直线,顶点坐标为,当时,.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.1 二次函数（7）
教学目标1. 能根据条件用待定系数法求二次函数的解析式．2. 通过灵活的根据条件恰当地选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化．
重点 利用待定系数法求二次函数的解析式．
难点 灵活地把非常态问题化成一般式或顶点式的常态形式,确定二次函数的解析式．
教学过程
一、复习引入
1.完成下列表格：
对称轴 直线 直线
顶点
3.已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为
∵一次函数经过点(1,3)和(-2,-12)
∴
解得
∴这个一次函数的解析式为.
二、新知形成
问题1 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点，求这个函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为
∵一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点
∴
解得
∴这个二次函数的解析式为.
问题2 已知抛物线的顶点为(-1,-3)，与y轴的交点为(0,-5)，求抛物线的解析式.
解：∵抛物线的顶点为(-1,-3)
设这个抛物线的解析式为
∵与y轴的交点为(0,-5)
∴
解得
∴这个抛物线的解析式为.
三、例题分析
例1 已知抛物线经过点,.求抛物线的解析式.
解:∵经过点,
∴
解得
∴该抛物线的解析式为.
例2 抛物线的顶点坐标为,且过点,求该抛物线的解析式.
解:∵抛物线的顶点坐标为
∴可设抛物线的解析式为
∵抛物线过点
∴
解得
∴该抛物线的解析式为.
四、当堂训练
1. 一个二次函数,当自变量时,函数值；当与时,.求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数的解析式为,根据题意,得
，解得.
∴二次函数的解析式为.
五、课堂小结
待定系数法求二次函数解析式的一般方法:
1.已知图象上三点或三对的对应值,通常选择一般式;
2.已知图象的顶点坐标、对称轴、最值和另一个点的坐标,通常选择顶点式.
六、课堂小测
1.已知抛物线经过点,.求抛物线的解析式.
解:∵过点,
∴
解得
∴该抛物线的解析式为.
2.抛物线的顶点坐标为,且过点,求该抛物线的解析式.
解:设这个抛物线的解析式为
∵函数的图象经过点
∴
解得
∴该抛物线的解析式为.
3.一个二次函数图象经过,,三点,求这个二次函数的解析式.
解:设这个二次函数的解析式为,根据题意,得
解得
∴二次函数的解析式为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.2 二次函数与一元二次方程(1)
教学目标1. 探究并掌握二次函数与一元二次方程之间的联系．2. 经历探究二次函数与一元二次方程之间的关系,学会归纳与总结等方法．
重点 理解二次函数与一元二次方程之间的联系,并会进行简单的运用．
难点 培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想．
教学过程
一、情境引入
问题 如图,以 40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位: m)与飞行时间 t (单位: s)之间具有关系: .
(1)球的飞行高度能否达到15 m？
若能,需要多少时间？
(2)球的飞行高度能否达到20 m？
若能,需要多少时间？
(3)球的飞行高度能否达到20.5 m？若能,需要多少时间？
(4)球从飞出到落地要用多少时间？
二、新知形成
为解决上述问题，我们先探究以下问题
问题1 h是t的二次函数，h和t表示的实际意义分别是什么？
解：h表示球的飞行高度，t表示球的飞行时间.
问题2 当h取具体值时,得到关于t的一元二次方程；如何求解一元二次方程的根呢？
解：根据方程的特点选择合适的方法——配方法、公式法、因式分解法.
问题3 如何理解一元二次方程与二次函数的关系？
解：二次函数代入不同的函数值，可以得到不同的一元二次方程.
下面解决情境引入的问题
解：（1）解方程，，.
当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.
（2）解方程，，.
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
（3）解方程，.
因为，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
（4）小球飞出时和落地时的高度都为0m，解方程，，.
当小球飞行0s和4s时，它的飞行高度为0m.这表明球从飞出到落地要用4s.
探究 你能结合图象说明为什么15 m高度时有两个解,20 m高度时是两个相同解,20.5 m时无解吗？
小结:二次函数与一元一次方程关系密切,二次函数与的交点的横坐标就是方程的解,反过来方程的解又可以看作是抛物线与x轴交点的横坐标.
三、例题分析
例1画出函数的图象,利用图象回答:
(1)方程的解是；
(2)当函数值大于0时,自变量的取值范围是
；
(3)当函数值小于0时,自变量的取值范围是
.
例2 如图,一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是,求铅球推出的距离.
解:当时,
解得,
∴铅球推出的距离为.
四、当堂训练
1. 二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,则它的图象与x轴的两个交点坐标分别是.
x … 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
2.已知抛物线经过,,则关于x的方程的解为.
3.已知二次函数的部分图象如图所示,其中与x轴交于,对称轴为直线,则关于x的一元二次方程的解为.
4.如图,二次函数的图象与x轴交于坐标原点和,若关于x的方程(t为实数)在的范围内有解,则t的取值范围是.
五、课堂小结
1.二次函数与一元二次方程的关系？
2.数形结合思想方法的渗透.
六、课堂小测
1.已知抛物线的对称轴是直线,若关于x的方程
的一个根是4,则该方程的另一个根是( B )
A. B. C.1 D.0
2.二次函数的部分对应值如下表:
x 0 1 2 4
y 5 0 5
则关于x的一元二次方程的解为( C )
A., B.,
C., D.,
3.画出二次函数的图象,观察图象回答下列问题:
(1)当x为何值时,函数值
(2)当x为何值时,函数值
(3)当x为何值时,函数值
解:
利用对称性列表:
由图象可知:
(1)当或时,函数值；
(2)当或时,函数值；
(3)当时,函数值.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.2 二次函数与一元二次方程(2)
教学目标1. 进一步学习二次函数与一元二次方程之间的联系．2. 理解二次函数图象与x轴交点的个数和一元二次方程根的个数之间的关系．
重点 二次函数的图象与x轴交点情况的探究及其运用．
难点 二次函数的图象与x轴交点情况的探究过程及数形结合思想的渗透．
教学过程
一、复习引入
1.直线与y轴交于点，与x轴交于点.
2.一元二次方程,当时,方程有两个不相等的实数根；当时,方程有两个相等的实数根；当时,方程没有实数根.
3.上节课学过的二次函数与一元二次方程的关系有哪些？
解：二次函数与的交点的横坐标就是方程的解,反过来方程的解又可以看作是抛物线与x轴交点的横坐标.
二、新知形成
探究:下列二次函数的图象与x轴有没有公共点？若有,求出公共点的横坐标；若没有请说明理由.
这些函数图象如图所示:
分析:从图象就可以看出与x轴的交点情况,并也可以求出与x轴的交点的横坐标.
归纳如下:(一元二次方程的实数根记为、)
二次函数 与 一元二次方程
与x轴有 2 个交点 0,方程有 两个不相等 的实数根.
与x轴有 1 个交点；这个交点是 顶 点 0,方程有 两个相等 的实数根.
与x轴有 0 个交点 0,方程 没有 实数根.
三、例题分析
例1已知抛物线,判断顶点在什么位置.
(1)当时:
①若方程有两个不等的实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 下方 ；
②若方程有两个相等的实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 上 ；
③若方程无实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 上方 .
(2)当时:
①若方程有两个不等的实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 上方 ；
②若方程有两个相等的实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 上 ；
③若方程无实数根,即0,则抛物线的顶点在x轴 下方 .
例2 求证:不论m为何实数,函数的图象与x轴都有两个不同交点.
证明:∵
∴不论m为何实数,此二次函数的图象与x轴都有两个不同交点.
四、当堂训练
1.抛物线与坐标轴的交点个数为( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.当或时,与的值相等,则函数与x轴的交点坐标为( A )
A., B., C., D.,
3.若二次函数的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1)二次函数与一元二次方程的关系；
(2)二次函数图象与x轴交点的个数情况和一元二次方程根的情况之间的关系.
六、课堂小测
1.若二次函数的图象与x轴没有交点,则m的取值范围是
.
2.若抛物线的对称轴是直线,与x轴的一个交点是
,则这条抛物线与x轴的另一个交点坐标是.
3.求抛物线与x轴的交点个数.
解:∵
∴抛物线与x轴有两个交点.
4.已知二次函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值,并求出这个交点坐标.
解:根据题意,得
∴
解得
当时,二次函数为
当时,
解得
∴这个交点坐标为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.3 实际问题与二次函数 (1)
教学目标1. 会求二次函数的最小(大)值．2. 初步体会将实际问题转化为数学问题,并利用二次函数解决最值问题．
重点 初步体会将实际问题转化为数学问题,并利用二次函数解决最值问题．
难点 如何将实际问题抽象出二次函数模型．
教学过程
一、复习引入
1.前面已经学过二次函数的性质,回答下列问题:
(1)二次函数的顶点坐标公式是什么？
解：顶点坐标是.
(2)二次函数的最值性质是什么？
解：一般地,因为抛物线的顶点是最低(高)点,所以当时,二次函数有最小(大)值.
2.在现实生活中,我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,如抛球、围墙、拱桥跨度等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义．从这节课开始,我们就共同解决这几个问题．
二、新知形成
探究: 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是 ．小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：找出问题中的两个变量:小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)．
计算当t＝1、t＝2、t＝3、t＝4、t＝5、t＝6时,h的值是多少？
t 1 2 3 4 5 6
h 25 40 45 40 25 0
根据算出的数据,画出函数 的图象．
根据函数图象,观察出小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
解：这个函数的图象是一条抛物线的一部分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值．
师生活动：教师引导学生求函数的顶点坐标,解决这个问题．
解：当t＝3时,h有最大值为45．
答:小球运动的时间是3 s时,小球最高．小球运动中的最大高度是45 m．
三、例题分析
例1如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球飞行高度y(m)与飞行时间x(s)之间具有函数关系,请根据要求解答下列问题:
(1)在飞行过程中,当小球的飞行高度为时,飞行时间是 1或3 s；
(2)在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少
(3)在飞行过程中,小球飞行高度何时最大 最大高度是多少
解:(2)当时, 解得,
∴
答:在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是；
(3)
∴当时,y取得最大值为20
答:在飞行过程中,小球飞行高度第时最大,最大高度是.
例2 如图,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线运行,然后准确落入篮框内.已知篮框的中心离地面的距离为.
(1)球在空中运行的最大高度为多少米
(2)该运动员跳投时,球出手离地面的高度为,请问他距离篮框中心的水平距离为多少时,球才能准确落入篮框内
解:(1)∵抛物线的顶点坐标为
∴球在空中运行的最大高度为；
(2)当时,
解得
∵
∴
当时, 解得
∵ ∴
∴运动员距离篮框中心水平距离为.
四、当堂训练
1.某广场有一喷水池,水从地面喷出,以水平地面为x轴,出水点为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是( A )
A. B.
C. D.
2.已知飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)与滑行的时间t(单位:s)的函数关系式是,求飞机着陆后滑行多远才能停下来
解:
∵当飞机滑行的路程s达到最大值时,路程不再增加了,说明此时飞机停下来了
∴该飞机着陆后滑行了才停下来.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1)二次函数的顶点坐标；
(2)利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤:
①找出变量和自变量；
②列出二次函数的解析式；
③根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
④在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值.
六、课堂小测
1.在羽毛球比赛中,羽毛球的运动路线可以看作是抛物线 的一部分(如图),其中出球点B离地面点O的距离是,球落地点A到点O的距离是,求羽毛球的运动过程中离地面的最大高度.
解:根据题意,得抛物线经过点和
∴ 解得
∴函数解析式为
∴当,y取得最大值为
答:羽毛球的运动过程中离地面的最大高度为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.3 实际问题与二次函数 (2)
教学目标1. 能根据实际问题列出二次函数关系式,并利用二次函数知识解决几何图形面积的最值问题．2. 通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,让学生体会建立数学模型的思想,渗透转化的数学思想方法．
重点 根据实际问题建立二次函数模型,利用二次函数知识解决几何图形面积的最值问题．
难点 从实际问题抽象出二次函数模型．
教学过程
一、复习引入
1.利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤有哪些？
解：①找出变量和自变量；
②列出二次函数的解析式；
③根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
④在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值．
下面,我们一起来探究有关几何面积的实际问题．
二、新知形成
探究: 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时,场地的面积S最大？
解:矩形场地的周长是60 m,一边长为l m,
所以另一边长m．则场地的面积
,即．
∵,开口向下.
∴当时,S有最大值．
也就是说,当l是15 m时,场地的面积S最大．
三、例题分析
例1如图,在足够大的空地上有一段长为的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中.已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了木栏.求矩形菜园ABCD的最大面积.
解:设,菜园ABCD的面积为,根据题意,得
∴当时,y随x的增大而增大
即当时,
∴矩形菜园ABCD的最大面积为.
例2 一块直角三角形废料如图所示,,,.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大,点E应选在何处
解:设,长方形CDEF面积为y
∵ ∴
∴
∵ ∴
∴
∴
∴
∵, ∴y有最大值
∴当时,
即当点E在AB中点(或点E在AB上与点A的距离6)时,剪出长方形铁片面积最大.
四、当堂训练
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大 最大值是多少
解:设直角三角形的面积为S,一条直角边为x,则另一条边为,根据题意,得
,即
∵
∴当时,S有最大值,
答:两直角边均为4时,这个直角三角形的面积最大,最大值是8.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1) 二次函数的最值问题；
(2) 利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤：
①找出变量和自变量；
②列出二次函数的解析式；
③根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
④在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值．
六、课堂小测
1. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为,求这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值.
解:设这三间长方形种牛饲养室的总占地面积为,垂直于墙的边长,则三间饲养室总长
∴
∵,且
∴
∴当时,y取得最大值为144
答:这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.3 实际问题与二次函数 (3)
教学目标1.从实际问题抽象出二次函数模型,并利用二次函数解决最大利润的实际问题．2. 经历探索利用二次函数的最值性质解决利润问题的过程,进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型．
重点 从实际问题抽象出二次函数模型,并利用二次函数解决最大利润的实际问题．
难点 如何从实际问题抽象出二次函数模型．
教学过程
一、复习引入
1.完成下列表格.
开口方向 向上 向下
对称轴 直线 直线
顶点坐标
有了前面所学的知识,现在继续应用二次函数的知识去解决有关利润的实际问题．
二、新知形成
探究 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件. 已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先看涨价的情况.
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y随x变化的函数解析式.涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出件，销售额为元，买进商品需付元.因此所得利润，即
，其中，.
当时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
（2）在降价的情况下，最大利润是多少？
解：设每件降价x元，则销售量为件，
利润，
即，其中，
当时，y最大，最大值为6125.
综上所述，涨价5元，即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
三、例题分析
例1某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件元出售,可卖出件,应如何定价才能使利润最大 最大利润是多少元
解:设利润为y元,根据题意,得
∵
∴y有最大值
∴当时,
答:商品每件以65元出售时才能使利润最大,最大利润为元.
例2 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克；销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.销售单价为每千克多少元时,月销售利润最大
解:设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,根据题意,得
∴当时,y取得最大值
答:销售单价为每千克70元时,月销售利润最大.
四、当堂训练
1.某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多少时,宾馆的利润最大
解:设每个房间的房价每天增加x元时,宾馆的利润为y元,根据题意,得
∵
∴y有最大值
∴当时,y有最大值,这时房价为(元)
答:每个房间的房价定为350元时,宾馆每天利润最大.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1) 销售总利润=单利润×销售量；
(2) 利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤.
六、课堂小测
1.某商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:
,求销售单价为多少元时,该商品每天的销售利润最大,最大利润多少元
解:∵
∴当时,y取得最大值,最大值为175
答:销售单价为10元时,该商品每天的销售利润最大,最大利润175元.
2.某网店销售某款童装,每件售价60元,每星期可卖300件,为了促销,该网店决定降价销售.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元,设该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每件售价定为多少元时,每星期的销售利润最大,最大利润多少元
(3)若该网店每星期想要获得不低于元的利润,每星期至少要销售该款童装多少件
解:(1)；
(2)设每星期的销售利润为w元,根据题意,得
∴当时,
∴每件售价定为55元时,每星期的销售利润最大,最大利润元；
(3)当时,
解得
在函数中,当时,
在函数中,y随x的增大而减小
当时,
∴该网店每星期想要获得不低于元的利润,每星期至少要销售
该款童装360件.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
22.3 实际问题与二次函数 (4)
教学目标1. 建立适当的平面直角坐标系,利用二次函数解决抛物线型的实际问题．2. 在问题转化、建模过程中,发展合情推理能力,体会数形结合的思想．
重点 建立适当的平面直角坐标系,利用二次函数解决抛物线型的实际问题．
难点 如何建立适当的平面直角坐标系及二次函数模型．
教学过程
一、情境引入
1.观察下列图片，说一说它们都有什么共同的特点.
有了前面所学的知识,现在继续应用二次函数的知识去解决有关抛物线形的实际问题．
二、新知形成
探究 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴建立直角坐标系.
解：设这条抛物线表示的二次函数为
由抛物线经过点，可得
解得.
这条抛物线表示的二次函数为.
当时，，.
当水面下降1m时，水面宽度为m，水面宽度增加m.
小结：适当的选择坐标系的位置可以使得解答简便，否则不仅解答不简便，有时还会导致问题无法解答. 总结出用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤.
(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)设二次函数的解析式(待定系数法)；(3)问题求解；(4)找出实际问题的答案(注意变量的取值范围)
三、例题分析
例1如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,且AC⊥x轴.若,求桥拱离水面的最大高度.
解:∵
∴点A的横坐标为
∴当时,
∴
由知,桥拱离桥面的最大高度为
∴桥拱离水面的最大高度为.
例2 如图,小明的父亲在相距的两棵树间拴了一根绳子,给他做了一个简易的秋千,拴绳子的地方A,B距地面都是,绳子自然下垂呈抛物线状,身高的小明距较近的那棵树时,头部刚好接触到绳子C处,求绳子的最低点距地面的距离为多少m
解:以两棵树之间地面连线所在的直线为x轴,绳子所成抛物线的对称轴是y轴,建立如图所示的平面直角坐标系
∴可设它的函数关系式为
根据题意知在抛物线上
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴y有最小值
∴当时,
答:绳子的最低点距地面的距离为.
四、当堂训练
1.如图是抛物线型拱桥,当拱顶离水面时,水面宽,水面下降,水面宽度增加多少米
解:以抛物线的顶点为原点,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系
设抛物线的解析式为,根据题意,得抛物线经过
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
当水面下降时,水面的纵坐标为
把代入,得
解得
∴此时水面的宽度为
∴水面宽度增加.
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤:
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)设二次函数的解析式(待定系数法)；
(3)问题求解；
(4)找出实际问题的答案(注意变量的取值范围).
六、课堂小测
1. 某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物,大门的地面宽度AB为,两侧距地面高各有一个壁灯,两壁灯之间的水平距离CD为,如图所示,求厂门的高为多少米 (水泥建筑物厚度忽略不计,精确到)
解:如图,以AB的中点为原点,以AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系.这时,抛物线的对称轴是y轴
∴可设它的函数关系式为
根据题意,得在抛物线上
∴ 解得
∴抛物线的解析式为
∵ ∴y有最大值
∴当时,
即厂门的高约为.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
数学活动 二次函数
教学目标1. 找出两个特殊数乘积最大的规律，并能用二次函数的知识进行合理说明．2. 能够根据给定的几何条件，准确作出曲线，推导曲线方程，判断曲线类型．
重点 利用二次函数解决实际问题．
难点 如何建立适当的二次函数模型．
教学过程
一、情境引入
展示生活实例：利用多媒体展示一些生活中涉及二次函数最值的例子，如喷泉的轨迹、篮球投篮的高度与水平距离关系等，引起学生的兴趣.
同学们，我们已经学习了二次函数，知道它在很多实际问题中都有应用．今天，我们通过两个有趣的数学活动，进一步感受二次函数的魅力．在活动中，大家要积极观察、思考和探索．
二、新知形成
活动一 特殊数乘积最大值探究
观察下列两个两位数的积 (两个乘数的十位上的数都是 9, 个位上的数的和等于 10), 猜想其中哪个积最大．
解：设其中一个数的个位数字为x，因为两个乘数个位上的数的和等于 10，则另一个数的个位数字为，可得这两个数分别表示为.
依题意，得.
∵
∴当时，y有最大值，
即两个数分别为95和95时，乘积最大.
活动二 曲线性质探究
（1）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是.在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线，过点M作x轴的垂线，记的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来.
观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线.
（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？设点P的坐标是，你能由PA与PM的关系得到x，y满足的关系式吗？你能由此确定曲线L是哪种曲线吗？你得出的结论与先前你的猜想一样吗？（提示：根据勾股定理用含x，y的式子表示线段PA的长.）
解：设点P的坐标是，A，M.
根据勾股定理，，；
∵
∴
化简得，这是一个二次函数，所以曲线L是抛物线.
三、例题分析
例1 观察下列两个三位数的积（两个乘数的百位上的数都是 9，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于 100），猜想其中哪个积最大．
解：设其中一个数的十位上的数与个位上的数组成的数为x，因为两个乘数十位上的数与个位上的数组成的数的和等于 100，则另一个数的十位上的数与个位上的数组成的数为，可得这两个数分别表示为.
依题意，得.
∵
∴当时，y有最大值，
即两个数分别为950和950时，乘积最大.
例2 若A点坐标变为，重复活动2步骤，求曲线方程并判断曲线类型.
解：设点P的坐标是，A，M.
根据勾股定理，，；
∵
∴
化简得，这是一个二次函数，所以曲线L是抛物线.
小结
特殊数乘积的规律：当两个数的高位数字相同，且低位数字之和为固定值时，两个数相等时它们的乘积最大.
求曲线方程：（1）设点坐标；（2）表示线段长；（3）根据等量关系列方程；（4）整理化简.
四、当堂训练
1.两个两位数，十位上的数字都是4，个位上数字之和为10，则这两个数乘积最大时，这两个数分别是（ C ）.
A.41和49 B.46和44 C.45和45 D.43和47
2. 已知两个两位数，它们十位数字相同都为3，个位数字之和为10，设其中一个数的个位数字为x，它们的乘积为y，则y关于x的函数关系式为（ A ）.
A. B.
C. D.
3. 已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,3) ，在x轴上任取一点M，连接AM，作AM垂直平分线，过M作x轴垂线，与交点为P，当P点横坐标为2时，P点纵坐标为 .
五、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
用抛物线的知识解决生活中的一些实际问题的一般步骤:
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)设二次函数的解析式(待定系数法)；
(3)问题求解；
(4)找出实际问题的答案(注意变量的取值范围).
六、课堂小测
1.有一组数，按照如下规律排列：设第一个因数为n（为正整数），这两个因数的乘积为y，则y与n的函数关系为（C）
A. B.
C. D.
2. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0, 5)。过点A作直线l平行于x轴，点P是x轴正半轴上一动点，连接AP，作∠APQ = 90°，PQ与直线l相交于点Q。设点P的坐标为(x, 0)，点Q的坐标为(m, 5)，则m与x满足的函数关系是.
七、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
八、教学反思
单元复习 二次函数（1）
教学目标1. 掌握二次函数的有关概念及图象性质．2. 会利用待定系数法求函数解析式．3. 理解二次函数与一元二次方程之间的关系,并会简单的应用．
重点 掌握二次函数的核心知识．
难点 二次函数相关知识的灵活运用及数形结合思想的渗透．
教学过程
一、题练精析
知识点一：二次函数的定义
例1 下列函数中，是二次函数的是（D）
A. B.
C. D.
练习1 已知函数，当m为何值时，这个函数是二次函数？
解：依题意，得，解得，
所以当时，这个函数是二次函数．
知识点二：二次函数的图象与性质
例2 已知二次函数中,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x 0 1
y 0 0
(1)二次函数图象与x轴的交点坐标是；与y轴的交点坐标是；对称轴是直线；顶点坐标是.
(2)在方格图中画出二次函数图象,并求出它的解析式；
(3)结合图象写出当时,自变量x的取值范围.
解:(2)二次函数图象如图所示；
∵二次函数的图象经过点,,
∴ 解得
∴二次函数的解析式为；
(3)由图象知,当时,自变量x的取值范围为.
练习2
（1）二次函数图象的对称轴是直线.
（2）当时,二次函数有最小值为.
（3）抛物线与x轴有两个交点,则k的取值范围是.
知识点三：二次函数图象的平移
例3 抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线解析式为.
练习3 把抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为.
知识点四：用待定系数法求二次函数的解析式
例4 已知抛物线过点,,求该抛物线解析式.
解:根据题意,得
解得
∴抛物线的解析式为.
练习4 已知二次函数的顶点坐标为，且经过点，求该二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为，
∵经过点
∴
∴
∴该二次函数的解析式为.
知识点五：二次函数与一元二次方程
例5 抛物线与x轴有两个交点,则k的取值范围是.
练习5 已知抛物线与x轴的交点坐标为，，则一元二次方程的根是.
二、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
(1)二次函数的有关概念及图象性质；
(2)利用待定系数法求函数解析式；
(3)二次函数与一元二次方程之间的关系.
三、课堂小测
1.对于二次函数,下列说法正确的是( B )
A.图象开口向下 B.图象的对称轴是直线
C.图象的顶点坐标是 D.当时,y随x的增大而增大
2.若二次函数的图象经过点,则该二次函数的解析式是
.
3.将抛物线向左平移4个单位,再向上平移3个单位,得到的抛物线的解析式为.
4.已知抛物线与x轴交于A,B两点,则线段AB的长为.
5.已知抛物线过点,,求该抛物线解析式.
解:根据题意,得
解得
∴抛物线的解析式为.
四、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
五、教学反思
单元复习 二次函数（2）
教学目标1.会根据具体问题中的变量关系建立二次函数模型,并利用二次函数的图象和性质解决实际问题．2.通过复习和解析利用二次函数建立数学模型解决问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验数学的应用价值,提高数学应用意识．
重点 将实际问题转建立二次函数模型,并利用二次函数解决最值问题．
难点 如何从实际问题抽象出二次函数模型．
教学过程
一、题练精析
知识点一：利用二次函数解决面积问题
例1 如图,已知矩形ABCD的周长为,矩形绕它的一条边AB旋转形成一个圆柱,边AB长为多少时,旋转形成的圆柱的侧面积S最大
解:设,则
∴
∵
∴S有最大值
∴当,即时,
答:当时,旋转形成的圆柱的侧面积最大,最大面积为.
练习1 如图,有一个矩形苗圃园,其中一边靠墙(墙长为),另外三边用长为的篱笆围成,则这个苗圃园面积的最大值为.
知识点二：利用二次函数解决利润问题
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（ C ）
A.定价70元时，利润为6000元 B.定价56.5元时，利润为6105元
C.降价3元，能使所获利润最大 D.涨价5元，能使所获利润最大
练习2 某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨一元，月销售量就减少10千克．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ C ）
A． B．
C． D．
知识点三：利用二次函数解决拱桥问题
例3 一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示现测得当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．这时，离开水面处，涵洞的宽度是 1m ．
练习3 如图，有一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面1米时，宽10米，水位再下降3米时为水面，则这时水面宽度为 20 米．
二、课堂小结
学生小结,教师引导纠正并补充完整:
利用二次函数解决实际问题的最值问题一般步骤有哪些？
①找出变量和自变量；
②列出二次函数的解析式；
③根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围；
④在自变量的取值范围内,求出二次函数的最小(大)值．
三、课堂小测
1.某商场第1年销售计算机台,若每年的销售量比上一年增加相同的百分率x,则第3年的销售量y与每年增加的百分率x之间的函数关系式为.
2.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内,若以每件x元(,且x为整数)出售,可卖出件,若要使利润最大,则每件商品的售价应为元.
3.某广告公司设计一幅周长为的矩形广告牌,广告设计费为每平方米元.设矩形一边长为,面积为.
(1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(2)设计费能达到元吗 为什么
(3)当x是多少米时,设计费最多 最多是多少元
解:(1)∵矩形的一边为,周长为
∴矩形的另一边长为
∴,其中；
(2)能.
理由:∵
∴
解得,
∴设计费能达到元；
(3)
∵
∴当时,S有最大值,
∵
∴当x是时,设计费最多,最多是元.
四、作业布置
课时训练基础必做、中档运用 选做题:
五、教学反思
复习与二次函数相关的前置概念——一元二次方程与函数相关的基础知识，为学习二次函数做好准备．
从现实情境中，抽象出二次函数模型，体会数学来源于现实生活．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——二次函数．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
从大单元的角度，类比一次函数的研究方法，进行二次函数的研究，引导学生建立研究函数的观念．
从具体函数中探究归纳一类函数的图象与性质．
x
y
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通过例题讲解本节内容．
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通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
x
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函数性质的研究方法一脉相承，通过列表描点连线画出图象，根据图象进行研究．
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通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
x
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复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
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函数性质的研究方法一脉相承，通过列表描点连线画出图象，根据图象进行研究．
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通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
从图形变换——平移的角度，理解函数解析式的变化．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
通过配方法将一般式转化为顶点式是研究二次函数图象及性质非常重要的方法.
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
由已知条件(如二次函数图像上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c就可以写出二次函数的解析式．
若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时,通常设函数的解析式为顶点式 .
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
感知数学与实际生活的联系．依据具体生活情境，引出本章的核心问题：在变化过程中建立函数观念．感受生活中处处有数学．
一步一步拆解问题，将现有问题，与先前学习的知识建立联系．
t
h
O
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通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
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分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
函数有数和形两方面，数形结合研究问题，体会数形结合的数学思想方法．
x
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通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
将实际问题转化为数学问题,并利用二次函数解决最值问题．
通过例题讲解本节内容．
x
2.25m
3.05m
y
O
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．感知数学与实际生活的联系．
感知数学与实际生活的联系．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
复习上节课的内容，引入本节课的新问题．
感知数学与实际生活的联系,感受生活中处处有数学．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否 全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
感知数学与实际生活的联系．感受生活中处处有数学．
通过问题探究，体会建立平面直角坐标系解决现实生活中抛物线形问题的便利．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
感知数学与实际生活的联系．感受生活中处处有数学．
通过两个活动探究，体会运用二次函数解决问题的妙用．
通过例题讲解本节内容．
通过练习巩固本节内容．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
例题配套练习，讲练结合进行单元复习．
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
例题配套练习，讲练结合进行单元复习．
苗圃园
通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心．
检测本课基础知识是否全体过关,再根据当堂检测结果对个别帮扶.
分层要求,关注学生差异.
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