云南省昆明市云南师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期高考适应性月考卷(三)数学试卷(含答案)

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名称 云南省昆明市云南师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期高考适应性月考卷(三)数学试卷(含答案)
格式 docx
文件大小 269.9KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-10-03 21:27:44

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文档简介

云南师范大学附属中学2026届高三上学期高考适应性月考卷(三)
数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足,则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.设集合,若“”是“”的必要不充分条件,则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中,已知,则该数列前项和的值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量,若,则( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
6.世纪初,约翰纳皮尔发明了对数,大大简化了运算.根据科学记数法,任何一个正实数都可以表示成的形式,若两边取常用对数,则有给出部分常用对数值如下表,则可以估计的最高位的数值为( )
真数
A. B. C. D.
7.已知分别为椭圆的左、右焦点,在椭圆上存在点,满足,且点到直线的距离为则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数与函数的图象有两个不同的交点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.近几年,人工智能逐渐走入人们的生活并得到越来越多的使用.为了解某大学大一学生对的使用情况,随机抽取了该校位大一学生,收集了该位学生在上学期中向提问的次数,得到如图所示的频率分布直方图次及以上的称为经常向提问,则下列结论正确的是( )
A.
B. 这位学生中经常向提问的人数为
C. 估计大一学生向提问的次数的平均数为
D. 按照“经常向提问”与“不经常向提问”进行分层随机抽样,从这人中抽取人,则在经常向提问的学生中应抽取人
10.已知函数图象上两个最值点之间最短距离为,则( )
A.
B. 在区间上单调递减
C. 在区间有两个极值点
D. 将图象上各点向右平移个单位长度之后得到的函数图象与的图象共有个交点
11.数学中有很多优美的图形,如图所示的叶子形状的曲线,是由函数与的部分图象组合而成的封闭曲线,则( )
A. 是轴对称图形
B. 的弦长的最大值为
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.二项式展开式中的第项为 .
13.某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择,高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣.若甲加入理科学社的概率为,加入十三月音乐社的概率为,两个都加入的概率为,则甲只加入其中一个社团的概率为
14.在平面四边形中,,是边长为的正三角形.将该四边形沿对角线折成一个大小为,的二面角,则四面体的外接球半径的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中,,,分别为内角,,的对边,且.
求角的大小;
若,的角平分线交于点,求的长度.
16.本小题分
如图,在四棱锥中,四边形是边长为的正方形,为等边三角形,平面平面点是线段的中点,.
证明:平面;
求平面与平面的所成角的余弦值.
17.本小题分
已知为双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,过的直线交的右支于两点,且.
求的方程;
点关于轴对称点为异于点,直线交轴于点,记,的面积分别为,求的值.
18.本小题分
已知函数.
当时,求曲线在点处的切线方程;
若函数有两个极值点,且,求证:.
19.本小题分
伯努利欧拉的装错信封问题是一个十分有趣的数学问题.现有共个元素及共个位置,的对应位置为,定义错排数为将共个元素排列在共个位置上,其中有个元素不在其对应位置上的情况数,例如另外,规定.
计算:;
在概率论中常使用协方差来衡量两个离散型随机变量之间的总体偏差,定义协方差为当时,记错排的元素个数为,正确排列的元素个数为,求证:;
定义错排概率为随机将共个元素排列在,共个位置上,其中恰有个元素不在其对应位置上的概率,证明:.
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】因为,
由正弦定理得,整理得,
由余弦定理得,
因为,所以;
在中,
因为,
所以,
则;

16.【详解】如图,连接交于,连接,由是的中点可得,
因为,,
所以与相似,所以,
又,所以,
又平面平面,所以平面;
因平面平面,且平面平面,
由已知,点是线段的中点,所以,
又平面,故得平面.
如图,取的中点为,分别以为轴的正方向,建立空间直角坐标系.
则,,
,,则,
设平面的法向量为,由,
则,故,取,则,
故为平面的一个法向量;
设平面的法向量为,
由,
则,故,取,则,
故为平面的一个法向量,
设平面与平面的夹角为,
所以,
所以平面与平面的夹角的余弦值为.

17.【详解】因为,根据双曲线的定义可得.
又双曲线过点,所以.
所以双曲线的方程为:.
如图:

因为,所以,.
因为、关于轴对称,且与不同,所以直线必存在斜率,
可设直线:,代入得:,
整理得:.
设,,则,因为均在双曲线右支,
由韦达定理可得,,所以.
直线方程为:,
令得

所以为定点,坐标为.
所以.

18.【详解】当时,函数,求导得,
而,而,因此,即,
所以曲线在点处的切线方程是.
函数的定义域为,
求导得,令函数,
求导得,由,得,令,
当时,;当时,,
函数在上单调递增,在上单调递减,
当从大于的方向趋近于时,趋近于,而,
当且仅当,即时,有两个零点,
当或时,;当时,,
因此是函数的两个极值点,,则,
不等式,
令,函数,求导得,
函数在上单调递增,,则,
于是,则,因此;
显然,不等式
,令,函数,
求导得,函数在上单调递增,
则,即,因此,
整理得,而,则,
整理得,又,
于是,同理,
则,整理得,
而,因此,即,则,
所以.

19.【详解】可以排在上,有种排法,
当的位置确定后,剩下两个元素只有种排法.
所以.
可以排在上,有种排法.
不妨设排在上,接下来讨论.
当排在上时,剩下两个元素的排法有种.
当不排在上时,可以排在上,有种情况.
若排在上,剩下两个元素只有种排法.
所以.
易知当时,的所有可能取值为,,,.


所以的分布列为:
所以,
于是,


由的分布列可得随机变量的分布列为:
于是,得证.
根据定义,,
先从个元素中选出个元素,再对它们进行排列,并使它们均不排在对应位置上,
所以,所以.
不妨记,则,且,
得,
则,又,
故是以为首项,为公比的等比数列,
所以,
变形得,
则当时,,
将上式累加得,
经检验也符合上式,所以,
所以,得证.

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