北京市第三十五中学2024-2025学年高一下学期期中数学试卷（图片版，含答案）

北京市第三十五中学 2024-2025 学年度第二学期 高一数学 期中测试
北京市第三十五中学 2024-2025 学年第二学期 期中测试
高一数学 2025.4
行政班 姓名 学号________
试卷说明：试卷分值 150 ，考试时间 120 分钟
I 卷
一．选择题（共 10 个小题，每题 4 分，共 40 分。每小题只有一个正确选项，请．选．择．正．
确．答．案．填．在．答．题．纸．相．应．的．题．号．处．）
1． sin( 210 ) 的值为（ ）
1 1 3 3
A． B． C． D．
2 2 2 2
3
2．设 a 与 b 为单位向量，且 a b ，则 a 与 b 的夹角为（ ）
2
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
3．已知 x (0, ) ， tan x 2 2 ，则 cos x （ ）
2 2 1 2 2 1
A． B． C． D．
3 3 3 3
4．已知 A B C 中，C A 3 ，C B 5 ， A 6 0 ，则 sin B （ ）
3 3 3 5 5 3
A． B． C． D．
10 1 0 6 6
5．已知向量 a (2, 4) ， b ( x , 2) ，且 a // b ，则 | a b | 等于（ ）
A． 5 B．3 C．5 D． 13

6．要得到函数 f ( x ) 2 sin (2 x ) 的图象，只需要将函数 g ( x ) sin 2 x 的图象上所有的
3
点（ ）

A. 纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变），再向左平移 个单位
3
1
B. 纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），再向右平移 个单位
2 3
1
C. 纵坐标变为原来的 倍（横坐标不变），再向右平移 个单位
2 6

D. 纵坐标变为原来的 2 倍（横坐标不变），再向左平移 个单位
6
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7．已知函数 f ( x ) 2 sin ( x ) ，若关于 x 的方程 f ( x ) 2 在区间 (0, ) 上有且仅
4
有 2 个不相等的实数根，则正整数 的取值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
sin ax
8．设 a是实数，则函数 f ( x ) 1 的图象可能是（ ）
a
A． B．
C． D．
9．如图是《易 系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文
明的源头. 洛书中 9 个数字的排列可抽象为两正方形 ABCD，EFGH，其中 O 为这两正
方形的中心，E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点，若正方形 ABCD 的边长
为 2，则下列结论中不．正．确．的是（ ）
A． AO HG B． AO (G C G B ) 0
1 3
C． B H E F E H D． AO BH 1
3 2
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10．如图是函数 f ( x ) A sin ( x )( A 0, 0, 0 ) 图象的一部分，M，N
2
是它与 x轴的两个交点，C，D 分别为它的最高点和最低点，E (0,1) 是线段 MC 的中点，
2

且 M C M D 4 ，则函数 f ( x ) 的解析式为（ ）
3

A． f ( x ) 2 3 sin( x )
4 3
3
B． f ( x ) 2 sin( x )
2 4
2
C． f ( x ) 2 sin( x )
3 4
3
D． f ( x ) 2 sin( x )
2 3
II 卷
二．填空题（共 5 小题，每题 5 分，共 25 分。请．将．正．确．答．案．填．在．答．题．纸．相．应．的．题．号．处．）
11．已知扇形的半径为 2，圆心角为 2 弧度，则该扇形的面积为______.

12．角 的终边经过点 ( 3, 4) ，则 cos( ) ______； tan 2 ______.
2
5
13．已知函数 f ( x ) cos( x )( 0) 的图象关于直线 x 对称，则当 f ( x ) 的最小
6 6
正周期取得最大值时，距离原点最近的对称中心为______.
14．在 2022 年 2 月 4 日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来
了一场视觉盛宴，96 朵“小雪花”汇聚成一朵代表全人类的“一起走向未来”的“大雪
花”的意境惊艳了全世界，顺次连接图中“大雪花”各顶点可近似得到正六边形 ABCDEF.
1
已知正六边形的边长为 1，点 M满足 AM ( AB AF ) ，则 AM ；若点 P 是
2
正六边形内部一点（包含边界），则 AP AB 的取值范围是______.
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sin x , s in x co s x
15．已知函数 f ( x ) ，给出下列四个结论：
co s x , s in x co s x
① f ( x ) 的值域是 [0,1] ；
② f ( x ) 是以 为最小正周期的周期函数；
3
③ f ( x ) 在区间 ( , ) 上单调递增；
2
④ f ( x ) 在[0, 2 ] 上有 2 个零点；
其中所有正确结论的序号是________.
三．解答题（共 6 小题，共 85 分。请．将．正．确．答．案．及．过．程．填．在．答．题．纸．相．应．的．题．号．处．）
2
16．已知 ， sin ( ) .
4 2 4 10
（1）求 tan ；

（2）求 s in ( 2 ) .
4
1
17．已知 a (1, cos x ) ， b ( , s in x ) ， x (0, ) .
3
sin x cos x
（1）若 a // b ，求 的值；
sin x cos x
（2）若 a b ，求 sin x cos x 的值.
2 1
18．已知函数 f ( x ) sin x sin x cos x
2
（1）求 f ( x ) 的最小正周期；
（2）求 f ( x ) 的单调递增区间；
π
（3）当 x [0 , ] 时，关于 x 的不等式 f ( x ) m 恒成立，求实数m 的取值范围.
2
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19．已知函数 f ( x ) 3 sin x co s x (0 3) ，再从条件①、条件②、条件③
中选择一个作为已知：
π
条件①：函数 f ( x ) 的图象经过点 ( , 2 ) ；
3
π
条件②：函数 f ( x ) 的图象相邻的两个对称轴之间的距离为 ；
2
条件③：函数 f ( x ) 的图象可由函数 g ( x ) 2 sin 2 x 的图象平移得到.
（1）求 f ( x ) 的解析式；

（2）若 f ( x ) 在区间 [ , m ] 上的最大值为 2 ，求 m 的最小值.
3
注：如果选择的条件不符合要求，得 0分；如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，
按第一个解答计分.
20．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条；行车
不规范，亲人两行泪”，讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”. 2019 年公安部交通管理
局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪
行为提出了新规定，其中车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值如
表所示.
驾驶行为类别 阈值 (mg / 100mL )
饮酒驾车 [20,80)
醉酒驾车 [80, )
经反复试验，一般情况下某人喝一瓶啤酒后酒精含量在人体血液中的变化规律“散点图”
如图所示，且图中所示的酒精含量 f ( x ) （单位：mg / 100mL ）随时间 x （单位：h）变

4 0 sin ( x ) 1 3, 0 x 2
化的函数模型可表示为 f ( x ) 3 ，根据上述条件：
0 .5 x
9 0 e 1 4, x 2
（1）试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算某人喝 1 瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间 x 以整小时计；参考数据：
ln 15 2 .71 ， ln 3 0 3 .4 0 ）
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21．对于一组向量 ， ， ，…， （ *a a a a m N 且m 3 ），令 S a a a a ，
1 2 3 m m 1 2 3 m
如果存在 a （ p {1, 2, 3, , m} ），使得 | a | | S a |，那么称 a 是该向量组的“1 向
p p m p p
量”.
（1）设 *a (n , x n ) ， n N ，若 a 是向量组 a ， a ， a 的“1 向量”，求实数 x 的
n 3 1 2 3
取值范围；
n n
（2）若 *a (sin , cos ) ， n N ，则向量组 a ，a ，a ，…， *a （ i N ）是否
n 1 2 3 4 i 3
2 2
存在“1 向量”？若存在，求出“1 向量”；若不存在，请说明理由；
（3）已知 a ， a ， a 均是向量组 a ， a ， a 的“1 向量”，其中 a (sin x , cos x ) ，
1 2 3 1 2 3 1
*
a (2 cos x , 2 sin x ).设在平面直角坐标系中有一点列 P ，P ，P ，…，P（ t N 且 t 4 ）
2 1 2 3 t
满足：P 为坐标原点，P P a ，且 （ *P k N ）与 P 关于点 P 对称，P 与 P 关
1 1 2 3 2 k 1 2 k 1 2 k 2 2 k 1
于点 P 对称，求 | P P | 的最大值.
2 2025 2026
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高一数学评分标准
I 卷
一．选择题（共 10 个小题，每题 4 分，共 40 分。每小题只有一个正确选项）
1-5．BDDBA 6-10. DCACB
二．填空题（共 5 个小题，每题 5 分，共 25 分）
11．4
4 24
12． ,
5 7

13． ( ，0)
3
1 1 3
14． ；[ , ]
2 2 2
15．①④
II 卷
三．解答题（共 6 个题，共 85 分。）
2 2
16．法 1 ：（1）sin( ) = sin cos cos sin = (sin cos ) =
4 4 4 2 10
1
sin cos =
5
2 sin + cos2 = 1，
4 2
4
sin = 5 sin 4
tan = = .
3 cos 3 cos =
5
24
（2） sin 2 = 2sin cos = ，
25
7
cos 2 = cos2 sin2 =
25
2 2 17 17 2
sin(2 + ) = sin 2 cos + cos 2 sin = (sin 2 + cos 2 ) = =
4 4 4 2 2 25 50
2
法 2 ：（1） sin( ) = ，0
4 10 4 4
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7 2
cos( ) = 1 sin2 ( ) =
4 4 10

sin( )

tan( ) = 4
1
=
4 7
cos( )
4
1
tan( ) +1 +1
4 7 4 tan = tan[( ) + ] = = =
4 4 1 3
1 tan( ) 1
4 7
2
（2） sin( ) =
4 10
2 7 2 7
sin(2 ) = 2sin( )cos( ) = 2 =
2 4 4 10 10 25
2 2 49 1 24cos(2 ) = cos ( ) sin ( ) = =
2 4 4 50 50 25
7 24
即：cos 2 = ， sin 2 =
25 25
2 2 17 17 2
sin(2 + ) = sin 2 cos + cos 2 sin = (sin 2 + cos 2 ) = =
4 4 4 2 2 25 50
1
17．（1） a / /b cos x = sin x
3
sin x + 3sin x
原式 = = 2
sin x 3sin x
1 1
（2） a ⊥ b a b =1 + sin xcos x = 0 sin xcos x =
3 3
1 5
(sin x cos x)2 =1 2sin xcos x =1 2 ( ) =
3 3

sin x cos x 0, x (0, ) x ( , )
2
15
sin x cos x 0 sin x cos x =
3
1 cos 2x 1 1
18．（1） f (x) = + sin 2x
2 2 2
1 1 2 2 2
= sin 2x cos 2x = sin(2x ) T = = =
2 2 2 4 | | 2
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π π π
（2）令 + 2kπ 2x + 2kπ，
2 4 2
π 3π
解得 + kπ x + kπ
8 8
π 3π
增区间为[ + kπ, + kπ](k Z )
8 8

（3） x [0, ]， f (x) m恒成立 m f (x)max , ， x [0, ]
2 2
3
x [0, ] 2x [ , ]
2 4 4 4
3 2 2
当2x = 即 x = 时， f (x) ， max = 1 =
4 2 8 2 2
2 2
m ，即 m 的取值范围是[ ,+ ) .
2 2

19．（1）选①：由条件： f ( ) = 2 = + 2k
3 3 6 2
= 2 + 6k(k Z )
0 3 = 2

f (x) = 2sin(2x )
6
T 2
选②：由条件： = T = 又T = = 2
2 2 | |
0 3 = 2

f (x) = 2sin(2x )
6
选③： f (x)的图象可由函数 g(x) = 2sin 2x的图象平移得到
∴ f (x) 的周期与 g(x) 的周期相同
2 2
g(x) 的周期T = = ，则 f (x) 的周期T = =
2 | |
0 3 = 2

f (x) = 2sin(2x )
6
5
（2） x [ ,m] 2x [ , 2m ]
3 6 6 6

f (x)max = 2 sin(2x ) max =1
6
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2m
6 2

m 即m = . min
3 3
2
20． （1）当0 x 2时，0 x
3 3
3
x = 时，即 x = 时， f (x)max = 40 1+13 = 53
3 2 2
当 x 2 时， f (x) = 90 e 0.5x +14单调递减，
90
f (x)max = f (2) = +14 53 .
e
3
综上， f (x)max = f ( ) = 53，
2
所以，喝 1 瓶啤酒后 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值是 53 毫克/百毫升.
（2） 当 f (x) 20 时可以驾车，且 x N ， x 2，
1
令90 e 0.5x
0.5x 0.5x
+14 20 得：90 e 6 e
15
1
0.5x ln( ) x 2ln15 5.42
15
x N* ， x 的最小值为 6. 故喝 1 瓶啤酒后 6 小时才可以驾车.
21． （1） ， ，
a1 = (1, x +1) a2 = (2, x + 2) a3 = (3, x + 3)
S3 a3 = (3,2x + 3) ,
| a3 | | S3 a3 |
9 + (x + 3)2 9 + (2x + 3)2 2，化简得： x + 2x 0
x的范围是[ 2,0] .
（2）法 1：

a ， a = (sin , cos ) = (0, 1) ， 1 = (sin ,cos ) = (1,0) 2
2 2
3 3
a = (sin ,cos ) = ( 1,0) ，a4 = (sin 2 , cos 2 ) = (0,1)，a5 = a1 = (1,0) ，… 3
2 2
向量组 a1,a2 ,...,a4i+3 以 4 为周期.
S4i+3 = a1 + a2 + ...+ a4i+3 = (0, 1)
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| S4i+3 a1 |=| ( 1, 1) |= 2 | a1 |， a1 不是该向量组的“1 向量“；
| S4i+3 a2 |=| (0,0) |= 0 | a2 |， a2 是该向量组的“1 向量“；
| S4i+3 a3 |=| (1, 1) |= 2 | a3 |， a3 不是该向量组的“1 向量“；
| S4i+3 a4 |=| (0,2) |= 2 | a4 | ， a4 不是该向量组的“1 向量“；
a1,a2 ,...,a4i+3 存在“1 向量”，“1 向量”为 a4i+2 .
法 2：
2 n n | an |= sin + cos
2 =1
由题意可得 2 2 ，
因为 ，
a
所以向量组 1
a2 a， ， 3 ， ， 以 4 为周期，
a p | Sn a | 1若存在“1 向量” ，只需使 p ，
又 ，
所以 ，
故只需使
p p 1
= 2 + 2cos 1 1 cos
2 ，即 2 2 ，
p = 2
当 ，6， ， 时，符合要求，
a
故存在“1 向量”，且“1 向量”为 2 ， a6 ， ， ；
2 2
（3）由题意， | a1 | | a2 + a3 |，即 | a1 | | a2 + a3 | ，
2 2 2
a1 a2 + 2a2 a3 + a3 ，
2 2 2 2 2 2
同理 a2 a1 + 2a1 a3 + a3 ， a3 a1 + 2a1 a2 + a2
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上述三式相加，得：
2 2 2
a1 + a2 + a3 + 2a1 a2 + 2a1 a3 + 2a2 a3 0
(a1 + a2 + a )
2
3 0
2
又 (a1 + a2 + a3) 0 a1 + a2 + a3 = 0 .
a3 = (a1 + a2 ) = ( sin x 2cos x, cos x 2sin x)
(x2k+1, y2k+1 ) = 2(x1, y1 ) (x2k , y2k )
设 Pt (xt , yt )，则依题意得 ，
(x2k+2 , y2k+2 ) = 2(x2 , y2 ) (x2k+1, y2k+1 )
得 (x2k+2 , y 2k+2 ) = 2 (x2 , y2 ) (x1, y1 ) + (x2k , y2k ) ，
故 (x2k+2 , y 2k+2 ) = 2k (x2 , y2 ) (x1, y1 ) + (x2 , y2 )，
(x2k+1, y 2k+1 ) = 2k (x1, y1 ) (x2 , y2 ) + (x2 , y2 )，
所以 P2k+1P2k+2 = (x 2k+2 x2k+1, y2k+2 y2k+1 ) = 4k (x2 , y2 ) (x1, y1 ) = 4kP1P2 ，

2 2 2
P1P2 = ( sin x 2cos x) + ( cos x 2sin x) = 5 + 8sin xcos x = 5+ 4sin 2x
2
当 2x = + 2k ，即 x = + k ( k Z )时， P1P2 = 9， P1P2 = 3
2 4 max max
| P ． 2025P2026 |max = 4 1012 3 =12144
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