上海市嘉定区第一中学2025-2026学年高二上学期数学月考试卷（含解析）

嘉一实验2025-2026学年第一学期高二年级数学月考
2025.9
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.复数的虚部是_____.
2.函数在上的值域为_____.
3.圆柱的底面半径为高为则其体积为_____.
4.已知，则_____.
5.已知正四面体棱长为则与平面所成角的余弦值为__________.
6.中,为边中点,，则_____(用表示)
7.已知恒成立,则范围为__________.
8已知圆锥的底面半径为，母线长为过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为_____.
9.的值域为，则实数取值范围是_____.
10.已知二面角为,是半平面内一点,点到平面的距离是,则点在平面内的投影到的距离是_____.
11.如图所示,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,点分别为面和线段上的动点,则周长的最小值为_____.
12.如图，已知矩形的边，点分别在上，且，则的最小值为_____.
二、选择题(本大题满分18分13、14题各4分,15、16题各5分)
13.已知关于的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是,下列结论中恒成立的是（ ）.
A.和互为共轭复数 B.
C. D
14.在中,内角的对边分别为,下列说法中正确的是（ ）.
A.若,则为等腰三角形
B.若,则解的个数为2
C.若为锐角三角形,则.
D.若,则解
15.如图,正方体中,分别为棱的中点,连接,对空间任意两点,若线段与线段都不相交,则称两点可视,下列选项中与点可视的为（ ）.
A.点 B.点 C.点 D.点
16.在平面直角坐标系中,已知任意角以坐标原点为顶点,轴的非负半轴为始边,若终边经过点,且,定义,称“正余弦函数”,对于“正余弦函数”,有同学得到以下性质:
①该函数的值域为；②该函数为奇函数；③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数,且最小正周期为.其中正确的个数是（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
三、解答题(本大题满分78分)
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.
已知向量.
(1)若与的夹角为,求实数的值:
(2)若,求向量在向量上的投影向量.(结果写成坐标形式)
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题7分,第2小题7分.
如图,在正四棱柱中,.
(1)求与底面所成角；
(2)求点到平面的距离.
19.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题3分,第2小题5分,第3小题8分.
已知数
(1)写出的单调增区间.
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围；
(3)将的图象先向左平移个单位,再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解,求实数的取值范围.
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题6分,第2小题4分,第3小题6分.
如图,已知等腰梯形中,,,是的中点,,将沿着翻折成,使平面.
(1)求证:平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在点,使得平面,若存在,求的长；
若不存在,说明理由.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
设为给定的实常数,若函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“函数”.
(1)若函数为“函数”,求实数的值；
(2)若函数为“函数”,求实数的取值范围；
(3)已知为“函数”,设.若对任意的,当时,都有成立,求实数的最大值.
嘉一实验2025-2026学年第一学期高二年级数学月考
2025.9
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.复数的虚部是_____.
【答案】
【解析】所以虚部为
2.函数在上的值域为_____.
【答案】
【解析】函数在单调递增，在单调递减，
所以在上的值域为
3.圆柱的底面半径为高为则其体积为_____.
【答案】
【解析】
4.已知，则_____.
【答案】
【解析】
5.已知正四面体棱长为则与平面所成角的余弦值为__________.
【答案】
【解析】如图
6.中,为边中点,，则_____(用表示)
【答案】
【解析】
7.已知恒成立,则范围为__________.
【答案】
【解析】
8已知圆锥的底面半径为，母线长为过该圆锥的顶点作圆锥的截面,则截面面积的最大值为_____.
【答案】
【解析】
9.的值域为，则实数取值范围是_____.
【答案】
【解析】，的值域为，
10.已知二面角为,是半平面内一点,点到平面的距离是,则点在平面内的投影到的距离是_____.
【答案】
【解析】如图：由题知：所以
11.如图所示,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,点分别为面和线段上的动点,则周长的最小值为_____.
【答案】
【解析】如图所示：，所以
当三点共线时，周长最小；此时为所求最小值；
12.如图，已知矩形的边，点分别在上，且，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】设，
，当且仅当时取等；
二、选择题(本大题满分18分13、14题各4分,15、16题各5分)
13.已知关于的实系数一元二次方程在复数集中的两个根是,下列结论中恒成立的是（ ）.
A.和互为共轭复数 B.
C. D
【答案】C
14.在中,内角的对边分别为,下列说法中正确的是（ ）.
A.若,则为等腰三角形
B.若,则解的个数为2
C.若为锐角三角形,则.
D.若,则解
【答案】D
15.如图,正方体中,分别为棱的中点,连接,对空间任意两点,若线段与线段都不相交,则称两点可视,下列选项中与点可视的为（ ）.
A.点 B.点 C.点 D.点
【答案】B
16.在平面直角坐标系中,已知任意角以坐标原点为顶点,轴的非负半轴为始边,若终边经过点,且,定义,称“正余弦函数”,对于“正余弦函数”,有同学得到以下性质:
①该函数的值域为；②该函数为奇函数；③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数,且最小正周期为.其中正确的个数是（ ）.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
①该函数的值域为，正确；
②该函数非奇非偶函数，所以为奇函数，错误；
③该函数在时值为，非最大值最小值，错误；
④该函数为周期函数,且最小正周期为，正确；故选B.
三、解答题(本大题满分78分)
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分.
已知向量.
(1)若与的夹角为,求实数的值:
(2)若,求向量在向量上的投影向量.(结果写成坐标形式)
【答案】（1）或. （2）
【解析】(1)因为,则,
若与的夹角为,则且,
可得,解得或,所以实数的值为或.
(2)若,则,解得,
可得,
所以向量在向量上的投影向量为.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题7分,第2小题7分.
如图,在正四棱柱中,.
(1)求与底面所成角；
(2)求点到平面的距离.
【答案】（1） （2）
【解析】(1)平面,为与底面所成角,,
故与底面所成角为
(2)由,可得,,
所以,
设到平面的距离为,则
19.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题3分,第2小题5分,第3小题8分.
已知数
(1)写出的单调增区间.
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围；
(3)将的图象先向左平移个单位,再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解,求实数的取值范围.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】(1)令
所以的单调增区间
(2)因为,则,所以,,
所以,,
因为不等式对任意恒成立,
所以,对任意恒成立,则,
解得.因此,实数的取值范围是
(3)将的图象向左平移个单位,可得到函数
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),
可得到函数的图象,
当时,,
因为关于的方程在上有且只有一个实数解,
所以,直线与函数在上的图象只有一个公共点,如图所示:
由图可知,当时,直线与函数在上的图象只有一个公共点.
因此,实数的取值范围是.
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题6分,第2小题4分,第3小题6分.
如图,已知等腰梯形中,,,是的中点,,将沿着翻折成,使平面.
(1)求证:平面平面；
(2)求二面角的大小；
(3)在线段上是否存在点,使得平面,若存在,求的长；
若不存在,说明理由.
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，
【解析】(1)在等腰梯形中,是的中点,
所以可得四边形为菱形,可得,又,
所以可得;因为平面;
所以平面,又平面,所以平面平面；
(2)由平面平面,可得；
易知,所以;
又因为平面;所以平面,
又平面,所以又,
因此可得即为二面角的平面角,
在直角三角形中,,可得,即.
(3)假设线段上是否存在点,使得平面,
过点作交于,连接,如图所示:
所以,即可得四点共面,
又因为平面,所以,
所以四边形为平行四边形,故,可得点为的中点;
故在线段上存在点,使得平面,且;
易知为正三角形,且,所以可得,
由勾股定理可得,所以,
因此.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
设为给定的实常数,若函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“函数”.
(1)若函数为“函数”,求实数的值；
(2)若函数为“函数”,求实数的取值范围；
(3)已知为“函数”,设.若对任意的,当时,都有成立,求实数的最大值.
【答案】（1） （2） （3）最大值为1.
【解析】(1)由为“函数”,得
即,解得,故实数的值为;
(2)由函数为“函数”可知,存在实数,
使得,
即;由,得,整理得.
①当时,,符合题意:
②当时,由,即,
解得且；
综上,实数的取值范围是;
(3)由为“函数”,得,
即,从而,
不妨设,则由,即,得,
令,则在区间上单调递增
又,
在单调递增，在单调递减，在单调递增；
可知,故实数的最大值为1.