课件26张PPT。第二十五章 概率初步25.1 随机事件与概率第1课时 随机事件1课堂讲解事件的认识、随机事件可能性的大小2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 同学们听过“天有不测风云”这句话吧!它的原意是指刮风、下雨、阴天、晴天这些天气状况很难预料，后来它被引申为：世界上很多事情具有偶然性，人们不能事先判定这些事情是否会发生.降水概率90% 人们果真对这类偶
然事件完全无法把握、
束手无策吗？不是！随
着对事件发生的可能性
的深入研究，人们发现
许多偶然事件的发生也是有规律可循的.概率这个
重要的数学概念，正是在研究这些规律中产生的.
人们用它描叙事件发生的可能性的大小.例如，天
气预报说明天的降水概率为90%，就意味着明天有
很大可能下雨（雪）.降水概率90%降水概率90% 现在概率的应用日益广泛.本章中，我们将学习
一些概率初步知识，从而提高对偶然事件发生规律的
认识. 试分析:“从一堆牌中任意抽一张抽到红牌”这一
事件的发生情况．1知识点事件的认识知1－导问 题知1－导可能发生, 也可能不发生必然发生必然不会发生知1－讲1、想一想：５名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每
个人的出场顺序。签筒中有５张形状大小、完全相同
的纸签，上面分别标有出
场的序号１、２、３、４、
５，小军首先抽签，他在
看不到纸签上数字的情况
下从筒中随机（任意）地
取一张纸签，请考虑以下
问题:形状大小相同的签知1－讲(1)抽到的序号有几种可能的结果？(2)抽到的序号小于6吗？(3)抽到的序号会是0吗？(4)抽到的序号会是1吗？1、2、3、4、5.一定是.不可能.可能是，也可能不是.知1－讲2、投掷一个质地均匀的正方体骰子.骰子六个面上分
别刻有1到6的点数.每组同学掷10次并记录结果，
并完成以下练习. 在(2)(3)(4)三种结果中哪些是必然发生的？哪些是
不可能发生的？哪些有可能发生也有可能不发生？(3)出现的点数是7.知1－讲(1)可能出现哪些点数？(4)出现的点数是4.
（1、2、3、4、5、6）（必然发生）（不可能发生）（可能发生也可能不发生）(2)出现的点数大于0.不可能事件必然事件随机事件知1－讲3、盒中有4个黄球，2个白球，摸出一个球是白球，
这一事件是随机事件吗？不是.如果在白球都有一个小洞的前提条件下摸白
球是必然事件.如果看着摸一样是必然事件.盒中有4个黄球，2个白球，这些球的形状、大小、
质地等完全相同.在看不到球的条件下，随意摸出
一个球是白球，这一事件是随机事件吗？知1－讲是要判断事件是不是随机事件还应注意：必须在一定的条件下进行.知1－讲必然会发生的事件必然事件不可能发生的事件不可能事件可能发生也有可
能不发生的事件随机事件在一定条件下确定性事件总 结1 下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，
哪些是随机事件.
（1）通常加热到100℃时，水沸腾；
（2）篮球队员在罚线上投篮一次，未投中；
（3）掷一枚骰子，向上的一面是6点；
（4）度量三角形的内角和，结果是360°；
（5）经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；
（6）某射击运动员射击一次，命中靶心.知1－练 2 列举一些生活中的随机事件、不可能事件和必
然事件的例子. 3 “a是实数，|a|≥0”这一事件是( )
A．必然事件 B．不确定事件
C．不可能事件 D．随机事件 知1－练（来自《典中点》）（来自教材） 4 (2015·龙岩)下列事件中，属于随机事件的是( )
A. 的值比8大
B．购买一张彩票，中奖
C．地球自转的同时也在绕日公转
D．袋中只有5个黄球，摸出一个球是白球知1－练（来自《典中点》）2知识点 随机事件可能性的大小知2－讲 活动：盒子中装有4个黄球2个白球，这些球形状、 大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地 从袋子中摸出一个球.你想一下：究竟 ⑴摸出的这个球是白球还是黄球？ ⑵如果两种球都有可能被摸出，那么“摸出黄球”和 “摸出白球”的可能性一样大吗？ 知2－讲 (1)可能是白球，也有可能是黄球. 你们再想一想，不同的随机事件发生的可能性会不会相同呢？随机事件发生可能性有大小.(2)由于两种球的数量不等，所以摸出白球的可能性小.大家议一议:
通过从盒中摸球的试验，有谁可用课本上的一
句话总结随机事件发生的可能性的特点呢？知2－讲 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，
不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.知2－讲探究活动:
盒中有4个黄球，2个白球，这些球的形状、大小、
质地等完全相同.在看不到球的条件下，要使摸出白球
和黄球的可能性一样大,你有什么办法吗? 关键:使盒中黄球和白球的数目相同.1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3:7.如果
宇宙中飞来一块陨石落在地球上,“落在陆地上”与
“落在海洋里”哪种可能性大？知2－练（来自教材）2 桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、
2张红桃．从中随机抽取1张.
(1)能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗?
(2)你认为抽到哪种花色的可能性大?
(3)能否通过改变某种花色的扑克牌的数量,使“抽到
黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？3 A袋中有4个白球，6个黑球；B袋中有2个白球，
1个黑球．在每个袋中随机摸出一个球，是白球
的可能性哪个大？为什么？知2－练（来自《典中点》）1、事
件确定性事件随机事件（可能会发生）必然事件（一定会发生）不可能事件（不可能会发生）2、一般地，随机事件发生的可能性是有大有小的，
不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.必做：1.完成教材P134 T1
2.补充: 完成《典中点》P118 T2、T3、T5、T6、
T7、T8、T9；P119 T12必做：1.完成教材P134 T1
2.补充: 完成《点拨》P207 T1、T2、T3、T4、
T5；P205举一反三T4；P206举一反三T225.1 随机事件与概率
第1课时 随机事件
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P134 T1
1.请指出在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．
（1）通常温度降到0℃一下，纯净的水结冰；
（2）随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；
（3）从地面发射1枚导弹，未击中空中目标；
（4）明天太阳从东方升起；
（5）汽车累积行驶10 000 km，从未出现故障；
（6）购买1张彩票，中奖．
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
2．“抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”这一事件是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．确定事件 D．不可能事件
3．(2015·盐城)下列事件中，是必然事件的是( )
A．3天内会下雨
B．打开电视机，正在播放广告
C．367人中至少有2人公历生日相同
D．某妇产医院里，下一个出生的婴儿是女孩
5．(2015·三明)在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，下列事件中，不可能事件是( )
A．摸出的2个球都是白球
B．摸出的2个球有1个是白球
C．摸出的2个球都是黑球
D．摸出的2个球有1个是黑球
6．(2015·随州)下列说法正确的是( )
A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件
B．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件
C．了解我国青年人喜欢的电视节目应作全面调查
D．甲、乙两组数据，若S甲2＞S乙2，则乙组数据波动大
7．下列每一个不透明的袋子中都装有若干个红球和白球(除颜色不同外其他均相同)．
第一个袋子：红球1个，白球1个；
第二个袋子：红球1个，白球2个；
第三个袋子：红球2个，白球3个；
第四个袋子：红球4个，白球10个．
分别从中任意摸出一个球，摸到红球可能性最大的是( )
A．第一个袋子 B．第二个袋子
C．第三个袋子 D．第四个袋子
8．(2015·厦门)一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这
样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．6种
9．甲箱装有40个红球和10个黑球，乙箱装有60个红球、40个黑球和50个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两箱中的球，从两箱中分别任意摸出一个球，下列说法正确的是( )
A．从甲箱摸到黑球的可能性较大
B．从乙箱摸到黑球的可能性较大
C．从甲、乙两箱摸到黑球的可能性相等
D．无法比较从甲、乙两箱摸到黑球的可能性
12．一个不透明的口袋里装有5个红球，3个白球，2个绿球，这些球形状和大小完全相同，小明从中任意摸出一个球．
(1)你认为小明摸到的球很可能是什么颜色？为什么？
(2)摸到三种颜色球的可能性一样吗？
(3)如果想让小明摸到红色球和白色球的可能性一样，该怎么办？写出你的方案．
答案
教材
1.解：(1)必然事件；(2)随机事件；(3)随机事件；(4)必然事件；(5)随机事件；(6)随机事件．
典中点
2.B 3.C 5.A 6.B 7.A
8．C 点拨：总共有6种情况，向上一面点数是偶数的结果有3种可能，故选择C.
分析事件发生的可能性大小关键是要找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目．
9． B
12．解：(1)红色，因为红球最多． (2)不一样．
(3)取2个红球出来，或放2个白球进去．
点拨： (3)题答案不唯一，合理即可．
25.1 随机事件与概率
第1课时 随机事件
课后作业：方案（B）
一、教材题目：P134 T1
1.请指出在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．
（1）通常温度降到0℃一下，纯净的水结冰；
（2）随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；
（3）从地面发射1枚导弹，未击中空中目标；
（4）明天太阳从东方升起；
（5）汽车累积行驶10 000 km，从未出现故障；
（6）购买1张彩票，中奖．
二、补充: 部分题目来源于《点拨》
1．下列说法中正确的是( )
A．某市“明天降雨的可能性是75%”表示明天有75%的时间会降雨
B．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后正面一定朝上
C．在装有3个球的布袋里摸出4个球
D．在平面内，平行四边形的两条对角线一定相交
2．小李和小王同时分别抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中是不可能事件的是( )
A．点数之和是偶数
B．点数之和大于3且小于5
C．点数之和是13
D．点数之和是3的倍数
3．〈跨学科题〉下列成语所描述的事件是必然事件的是( )
A．水中捞月 B．拔苗助长
C．守株待兔 D．瓮中捉鳖
4．下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)太阳从西边下山；
(2)某人的体温是100 ℃；
(3)a2＋b2＝－1(其中a，b都是实数)；
(4)通常水往低处流；
(5)酸和碱反应生成盐和水；
(6)三个人性别各不相同；
(7)一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解；
(8)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；
(9)抛掷3枚硬币，全部正面朝上．
5．一个袋子里装有20个质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其他都是黄球，从中任摸一个，摸出哪种球的可能性最大？为什么？
举一反三
4．〈福建福州〉袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是( )
A．3个
B．不足3个
C．4个
D．5个或5个以上
举一反三
2．小明和小强在一起玩摸球游戏，盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外都相同，两个人规定：一次只能从盒中摸出一个球，且摸到红球赢，否则对方赢．当由小强摸球时，请设计一种放球方案，分别满足下列所给条件：
(1)小强一定会赢；
(2)小强一定不会赢；
(3)小强很可能赢；不太可能赢．
答案
教材
1.解：(1)必然事件；(2)随机事件；(3)随机事件；(4)必然事件；(5)随机事件；(6)随机事件．
点拨
1．D 2.C
3．D 点拨：A中的水中捞月，B中的拔苗助长是不可能事件，C中的守株待兔是随机事件，只有D中的事件是必然事件．
4．解：必然事件：(1)(4)(5)(7)；不可能事件：(2)(3)(6)；随机事件：(8)(9)．
5．解：摸出黄球的可能性最大．因为黄球有11个，数量最多．
举一反三4.D
举一反三2．解：(1)盒中全部是红球．
(2)盒中全部是黄球．
(3)很可能赢：放9个红球，1个黄球；不太可能赢：放1个红球，9个黄球．
课件32张PPT。第二十五章 概率初步25.1 随机事件与概率第2课时 概率1课堂讲解概率的定义、概率的范围、概率的计算2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升随机事件发生的可能性究竟有多大？我可没我朋友那么粗心撞到树上去，让他在那等着吧，嘿嘿!守株待兔1知识点概率的定义知1－导问 题（一） 从分别写有数字1，2，3，4，5的五个纸团中随
机抽取一个，这个纸团里的数字有5种可能，即1，2，
3，4，5．因为纸团看上去完全一样，又是随机抽取，
所以每个数字被抽到的可能性大小相等． 我们用 表示每一个数字被抽到的可能性大小．知1－导问 题（二） 掷一枚骰子，向上一面的点数有6种可能，即1，
2，3，4，5，6．因为骰子形状规则、质地均匀，又
是随机掷出，所以每种点数出现的可能性大小相等． 我们用 表示每一种点数出现的可能性大小．知1－导归 纳（来自教材） 一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发
生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率
(probability)，记作P(A)． 导引：根据概率的意义求解，即可求得答案．注意排
除法在解选择题中的应用．【例1】 (甘肃兰州)“兰州市明天降水概率是30%”，
对此消息下列说法中正确的是( )
A．兰州市明天将有30%的地区降水
B．兰州市明天将有30%的时间降水
C．兰州市明天降水的可能性较小
D．兰州市明天肯定不降水 知1－讲（来自《点拨》）C总 结知1－讲 随机事件的概率从数量上反映了随机事
件发生的可能性的大小．（来自《点拨》）1 抛掷一枚质地均匀的硬币,向上一面有几种可
能的结果?它们的可能性相等吗?由此能得到
“正面向上”的概率吗？知1－练（来自教材）知1－练2 (2015·巴中改编)下列说法中正确的是( )
A.“打开电视，正在播放新闻节目”是必然事件
B.“拋一枚硬币，正面朝上的概率为 ”表示每
拋两次就有一次正面朝上
C.拋一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概
率与朝上的点数是3的概率相等
D.为了了解某种节能灯的使用寿命，选择全面调查（来自《典中点》）2知识点 概率的范围知2－导小明从盒中任意摸出一球，一定能摸到红球吗？知2－导小麦从盒中摸出的球一定是白球吗？小米从盒中摸出的球一定是红球吗？知2－导三人每次都能摸到红球吗？ 概率的范围：0≤P(A) ≤1.特别地，
当Ａ为必然事件时，P(Ａ)＝1；
当Ａ为不可能事件时，P(Ａ)＝0．
事件发生的可能性越大，它的概率越接近1；反之，事件
发生的可能性越小，它的概率越接近0．
知2－讲事件发生的可能性越来越大事件发生的可能性越来越小不可能事件必然事件概率的值总 结知2－讲 概率的大小反映了事件发生的可能性的大小，但不能肯定是否发生．只有概率为0或1的事件，才能肯定事件是否发生．（来自《点拨》）1 (2015·百色)必然事件的概率是( )
A．－1 B．0 C．0.5 D．1
知2－练（来自《典中点》）2 (2015·德阳)下列事件发生的概率为0的是( )
A．射击运动员只射击1次，就命中靶心
B．任取一个实数x，都有|x|≥0
C．画一个三角形，使其三边的长分别为8 cm，
6 cm，2 cm
D．拋掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的
点数的正方体骰子，朝上一面的点数为63 一个箱子中装有除颜色外其他都相同的白球和
蓝球共 8 个，其中白球有3个，从箱子中任意
摸出一个球，求下列事件发生的概率，并指出
其属于哪种事件.
(1)摸出红球；
(2)摸出蓝球；
(3)摸出白球或蓝球．知2－练（来自《点拨》）3知识点 概率的计算知3－讲 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果， 并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m 种结果，那么事件A发生的概率 ．【例2】 掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点 数，求下列事件的概率： (1)点数为2； (2)点数为奇数； (3)点数大于2且小于5．知3－讲 (3)点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3,4，
因此P(点数大于２且小于５)= (2)点数为奇数有3种可能，即点数为1,3,5，
因此 P(点数为奇数)=
(1)点数为2有1种可能,因此P(点数为2)=
知3－讲（来自教材）解：掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为1,
2,3,4,5,6，共6种．这些点数出现的可能性相等．
总 结知3－讲（来自《典中点》）应用 求简单事件的概率的步骤：
(1)判断：试验所有可能出现的结果必须是有限的，
各种结果出现的可能性必须相等；
(2)确定：试验发生的所有的结果数n和事件A发生
的所有结果数m；
(3)计算：套入公式 计算．【例3】 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成7个
大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．
指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某
个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两
个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．求下
列事件的概率： (1)指针指向红色； (2)指针指向红色或黄色； (3)指针不指向红色．
知3－讲分析：问题中可能出现的结果有7种,即指针可能指向
7个扇形中的任何一个．因为这7个扇形大小相
同,转动的转盘又是自由停止,所以指针指向每
个扇形的可能性相等.
解：按颜色把7个扇形分别记为:红1 ,红2 ,红3 ,绿1 ,
绿2 ,黄1 ,黄2 ,所有可能结果的总数为7,并且它
们出现的可能性相等.
知3－讲(3)指针不指向红色(记为事件C)的结果有4种,即绿1 ,
绿2 ,黄1 ,黄2 ,因此(2)指针指向红色或黄色(记为事件B)的结果有5种,
即红1 ,红2 ,红3 ,黄1 ,黄2 ,因此
(1)指针指向红色(记为事件A)的结果有3种,即红1 ,
红2 ,红3 ,因此
知3－讲（来自教材）总 结知3－讲（来自《点拨》） 对于受几何图形的面积影响的随机事件，在
一个平面区域内的每个点，事件发生的可能性是
相等的，如果所有可能发生的区域面积为S，所
求事件A发生的区域面积为S′，则 ，
即若将图形等分成若干份，那么事件A发生的概
率等于此事件所有可能结果组成的图形所占的份
数除以总份数．1 不透明袋子中装有5个红球、3个绿球，这些球 除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1
个球，“摸出红球”和“摸出绿球”的可能性
相等吗？它们的概率分别为多少？知3－练（来自教材）2 (2015·甘南州)在盒子里放有三张分别写有整
式a＋1，a＋2，2的卡片，从中随机抽取两张卡
片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，
则能组成分式的概率是( )
A． B． C． D．知3－练（来自《典中点》）3 (2015·泰安)如图，在方格纸中，随机选择标有
序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图
中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )
A． B．
C． D．知3－练（来自《典中点》）知3－练（来自《点拨》）4 一名汽车司机准备去商场购物，他随意把汽车
停在某个停车场内，如图所示，停车场分A，B
两区，停车场内一个停车位置正好占一个格且
每个格除颜色外完全一样，则汽车停在A区阴
影区域的概率是________，停在B区阴影区域
的概率是________．概率各种结果出现的可能性相等结果只有有限个0≤P(A)≤1必做：1.完成教材P134 T2-T5
2.补充: 完成《典中点》P121 T12、T14、T15必做：1.完成教材P134 T2-T5
2.补充: 完成《点拨》P214 T3；P215 T5、
T8、T1325.1 随机事件与概率
第2课时 概率
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P134 T2-T5
2.足球比赛前，由裁判员抛掷一枚硬币，若正面向上则由甲队首先开球，
若反面向上则由乙队首先开球．这种确定首先开球一方的做法对参赛的甲、乙
两队公平吗？为什么？
3. 10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为多少？
4.一个质地均匀的小正方体,六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”.掷小正方体后,观察朝上一面的数字.
(1)出现“5”的概率是多少？
(2)出现“6”的概率是多少？
(3)出现奇数的概率是多少？
如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的扇形.请你在转盘的适当地方涂上红、蓝两种颜色,使得转动的转盘停止时,指针指向红、蓝两色的概率分别为
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
12．甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5，0.1，0.9，它们各与下面的哪句话相配．
(1)发生的可能性很大，但不一定发生；
(2)发生的可能性很小；
(3)发生与不发生的可能性一样．
14．(2015·茂名)在一个不透明的袋中装有2个黄球，3个黑球和5个红球，它们除颜色外其他都相同．
(1)将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率；
(2)现在再将若干个红球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是，请求出后来放入袋中的红球的个数．
15．(2015·大庆)某商场举行开业酬宾活动，设立了两个可以自由转动的转盘(如图所示，两个转盘均被等分)，并规定：顾客购买满188元的商品，即可任选一个转盘转动一次，转盘停止后，指针所指区域内容即为优惠方式；若指针所指区域空白，则无优惠．已知小张在该商场消费300元．
(1)若他选择转动转盘1，则他能得到优惠的概率为多少？
(2)选择转动转盘1和转盘2，哪种方式对于小张更合算？请通过计算加以说明．
(第15题)
答案
教材
2．解：公平．因为抛掷一枚硬币，正面向上和反面向上的可能性都是，所以甲、乙两队谁首先开球的可能性也是相同的．
点拨：判断是否公平主要看事件发生的可能性是否相同．
3．解：抽到不合格产品的概率为.
4．解：(1)出现“5”的概率是＝；
(2)出现“6”的概率是0；
(3)出现奇数的概率是＝.
5．略． 点拨：涂4个红色的，2个蓝色的扇形即可．
典中点
12．解：(1)发生的可能性很大，但不一定发生，0.9.
(2)发生的可能性很小，0.1.
(3)发生与不发生的可能性一样，0.5.
14．解：(1)∵共有10个球，有2个黄球，
∴P(摸出黄球)＝＝.
(2)设后来放入x个红球，根据题意得：＝，
解得：x＝5.故后来放入袋中的红球有5个．
15．解：(1)∵整个圆被分成了12个扇形，其中有6个扇形能享受折扣，∴P(得到优惠)＝＝.
(2)转盘1能获得的优惠平均为：
＝25(元)，
转盘2能获得的优惠平均为：40×＝20(元)，所以选择转盘1更合算．
点拨：本题考查了几何概率，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
25.1 随机事件与概率
第2课时 概率
课后作业：方案（B）
一、教材题目：P134 T2-T5
2. 足球比赛前，由裁判员抛掷一枚硬币，若正面向上则由甲队首先开球，
若反面向上则由乙队首先开球．这种确定首先开球一方的做法对参赛的甲、乙
两队公平吗？为什么？
3. 10件外观相同的产品中有1件不合格，现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为多少？
4.一个质地均匀的小正方体,六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”.掷小正方体后,观察朝上一面的数字.
(1)出现“5”的概率是多少？
(2)出现“6”的概率是多少？
(3)出现奇数的概率是多少？
如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的扇形.请你在转盘的适当地方涂上红、蓝两种颜色,使得转动的转盘停止时,指针指向红、蓝两色的概率分别为
二、补充: 部分题目来源于《点拨》
3．某商店举办有奖购物活动，购物满100元者发兑奖券一张，在10 000张兑奖券中，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖100个．若某人获得一张兑奖券，则他中一等奖的概率是( )
A. B.
C. D.
5．在英语句子“Wish you success！”(祝你成功！)中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是________．
8．〈广西南宁〉在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率为( )
A. B. C. D.
(第8题)
13．一个口袋中放着若干个红球和白球，这两种球除了颜色以外没有其他区别，口袋中的球已经搅匀，蒙上眼睛从口袋中取出一个球，取出红球的概率是.
(1)取出白球的概率是多少？
(2)如果口袋中的白球有18个，那么口袋中的红球有多少个？
答案
教材
2．解：公平．因为抛掷一枚硬币，正面向上和反面向上的可能性都是，所以甲、乙两队谁首先开球的可能性也是相同的．
点拨：判断是否公平主要看事件发生的可能性是否相同．
3．解：抽到不合格产品的概率为.
4．解：(1)出现“5”的概率是＝；
(2)出现“6”的概率是0；
(3)出现奇数的概率是＝.
5．略． 点拨：涂4个红色的，2个蓝色的扇形即可．
点拨
3.B 5.
8．D 点拨：可以找到6个恰好能使△ABC的面积为1的点，如图所示，∴所求概率为.
(第8题)
13．解：(1)P(取出白球)＝1－P(取出红球)＝1－＝.
(2)设口袋中的红球有x个，则有＝(或＝)，解得x＝6.经检验，x＝6是分式方程的根，且符合题意，所以口袋中的红球有6个．
课件22张PPT。第二十五章 概率初步25.2 用列举法求概率第1课时 用列表法求
概率1课堂讲解用枚举法求概率(等可能事件结果
有限个)、用列表法求概率(等可
能事件结果较多个)2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，
且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过
列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率． 1知识点用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)知1－讲 用枚举法求某一事件的概率，关键是找出所有可
能发生的结果以及某一事件发生的结果． 解：列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：
正正，正反，反正，反反．
所有可能的结果共有4种，并且这4种结果出现的
可能性相等.【例1】 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的 概率： （1）两枚硬币全部正面向上； （2）两枚硬币全部反面向上； （3）一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上．知1－讲(2)两枚硬币全部反面向上（记为事件B) 的结果也
只有1种,即“反反”，所以 (1)所有可能的结果中,满足两枚硬币全部正面向上
(记为事件A) 的结果只有1种,即“正正”，
所以 知1－讲（来自教材）(3)一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上（记为事
件C) 的结果共有2种,即“反正”“正反”，
所以 总 结知1－讲 直接列举法求概率的采用：当试验的结果是有限个的，且这些结果出现的可能性相等，并决定这些概率的因素只有一个时采用．（来自《点拨》）思考
“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次抛
掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结果
一样吗？知1－讲2 (2015·自贡)如图，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，
则能让灯泡 发光的概率是( )
A． B．
C． D．1 (2015·绥化)从长度分别为1、3、5、7的四条线段中
任选三条作边，能构成三角形的概率为( )
A． B． C． D．知1－练（来自《典中点》）2知识点 用列表法求概率(等可能事件结果较多个)知2－讲对于求两步以上的概率采用列表法.知2－讲【例2】 同时掷两枚质地均匀的骰子，计算下列事件
的概率： （1）两枚骰子的点数相同； （2）两枚骰子点数的和是9； （3）至少有一枚骰子的点数为2． 分析：当一次试验是掷两枚骰子时,为不重不漏地列
出所有可能的结果,通常采用列表法.解:两枚骰子分别记为第1枚和第2枚,可以用下表列
举出所有可能出现的结果.知2－讲第1枚第2枚(1)两枚骰子的点数相同(记为事件A)的结果有6种,
即(1,1)，(2,2),(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，
所以 由上表可以看出,同时掷两枚骰子,可能出现的结果
有36种,并且它们出现的可能性相同.知2－讲(2)两枚骰子的点数和是9(记为事件B)的结果有4种,
即(3,6)，(4,5),(5,4)，(6,3)，所以 (3)至少有一枚骰子的点数为2(记为事件C)的结果
有11种,即(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(2,5),(2,6),(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，
所以 知2－讲（来自教材）2.适用条件：如果事件中各种结果出现的可能性均
等，含有两次操作(如掷骰子两次)或两个条件(如
两个转盘)的事件．总 结知2－讲1.用列表法求概率的步骤：①列表；②通过表格计数，
确定所有等可能的结果数n和关注的结果数m的值；
③利用概率公式 计算出事件的概率．（来自《点拨》）思考
如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”改
为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有
变化吗？为什么?知2－讲1 (2015·北海)小强和小华两人玩“剪刀、石头、
布”游戏，随机出手一次，则两人平局的概率
为( )
A． B． C． D．知2－练（来自《典中点》）2 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外
无其他差别.随机摸出一个小球后,放回并摇匀,
再随机摸出一个.求下列事件的概率:
(1)第一次摸到红球,第二次摸到绿球；
(2)两次都摸到相同颜色的小球；
(3)两次摸到的球中一个绿球、一个红球.
知2－练（来自教材）3 有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着1,2,3,
4,5,6.随机抽取1张后,放回并混在一起,再随机
抽取1张,那么第二次取出的数字能够整除第一
次取出的数字的概率是多少?知2－练（来自教材）1.用列表法求概率时要注意些什么?2.什么时候用列表法?必做：1.完成教材P139 T1；P140 T2、T3
2.补充: 完成《典中点》P122 T7-T9必做：1.完成教材P139 T1；P140 T2、T3
2.补充: 完成《点拨》P223 T3；P224 T925.2 用列举法求概率
第 1 课时 用列表法求概率
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P139 T1、P140 T2、T3
1.把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概率：
（1）抽出的牌是黑桃6；
（2）抽出的牌是黑桃10；
（3）抽出的牌带有人像；
（4）抽出的牌上的数小于5；
（5）抽出的牌的花色是黑桃.
有一个质地均匀的正十二面体,十二个面上分别写有1-12这十二个整数.投掷这个正十二面体一次,求下列事件的概率:
向上一面的数字是2或3;
向上一面的数字是2的倍数或3的倍数.
一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,求下列事件的概率:
两次取出的小球的标号相同;
两次取出的小球标号的和等于4.
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
7．(2015·泰安)若十位上的数字比个数上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是( )
A. B. C. D.
8．学生甲与学生乙玩一种转盘游戏．如图是两个完全相同的转盘，每个转盘均被分成完全相同的四个区域，分别用数字“1”，“2”，“3”，“4”表示．固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次．在该游戏中乙获胜的概率是( )
(第8题)
A. B. C. D.
9．有A，B两个不透明的口袋，每个口袋里装有两个相同的球，A袋中的两个球上分别写了“细”，“致”的字样，B袋中的两个球上分别写了“信”，“心”的字样，从每个口袋里各摸出一个球，刚好能组成“细心”字样的概率是( )
A. B. C. D.
答案
教材
1．解：(1)P(黑桃6)＝；
(2)P(黑桃10)＝；
(3)P(带有人像)＝；
(4)P(数小于5)＝；
(5)P(花色是黑桃)＝＝1.
2．解：投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共12种可能的结果．
(1)P(向上一面的数字是2或3)＝＝；
(2)P(向上一面的数字是2的倍数或3的倍数)＝＝.
点拨：1～12这12个整数中是2或3的倍数的有2，3，4，6，8，9，10，12共8个．
3．解：两次摸出小球的标号列举如下：
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
共有16种情况．
(1)P(两次取出的小球标号相同)＝＝；
(2)两次取出的小球标号的和等于4有3种情况，故P(两次取出的小球标号的和等于4)＝.
点拨：列举所有可能的结果时要按一定的顺序进行，做到不重复、不遗漏．
典中点
7．C 点拨：列表得：
9
379
479
579
679
879
－
8
378
478
578
678
－
978
6
376
476
576
－
876
976
5
375
475
－
675
875
975
4
374
－
574
674
874
974
3
－
473
573
673
873
973
个位
百位
3
4
5
6
8
9
∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，∴与7组成“中高数”的概率是＝，故选C.
8．C 9.B
25.2 用列举法求概率
第 1 课时 用列表法求概率
课后作业：方案（B）
一.教材题目：P139 T1、P140 T2、T3
1.把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概率：
（1）抽出的牌是黑桃6；
（2）抽出的牌是黑桃10；
（3）抽出的牌带有人像；
（4）抽出的牌上的数小于5；
（5）抽出的牌的花色是黑桃.
有一个质地均匀的正十二面体,十二个面上分别写有1-12这十二个整数.投掷这个正十二面体一次,求下列事件的概率:
向上一面的数字是2或3;
向上一面的数字是2的倍数或3的倍数.
一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,求下列事件的概率:
两次取出的小球的标号相同;
两次取出的小球标号的和等于4.
二.补充: 部分题目来源于《点拨》
3．从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是( )
A. B. C. D.
9．〈四川自贡〉已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上的数字为x，乙摸出的球上的数字为y，数对(x，y)对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为( )
A. B. C. D.
答案
教材
1．解：(1)P(黑桃6)＝；
(2)P(黑桃10)＝；
(3)P(带有人像)＝；
(4)P(数小于5)＝；
(5)P(花色是黑桃)＝＝1.
2．解：投掷这个正十二面体一次，向上一面的数字有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12共12种可能的结果．
(1)P(向上一面的数字是2或3)＝＝；
(2)P(向上一面的数字是2的倍数或3的倍数)＝＝.
点拨： 1～12这12个整数中是2或3的倍数的有2，3，4，6，8，9，10，12共8个．
3．解：两次摸出小球的标号列举如下：
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4)
共有16种情况．
(1)P(两次取出的小球标号相同)＝＝；
(2)两次取出的小球标号的和等于4有3种情况，故P(两次取出的小球标号的和等于4)＝.
点拨：列举所有可能的结果时要按一定的顺序进行，做到不重复、不遗漏．
点拨
3.A
9．A 点拨：根据题意列表如下：
y
x
0
1
2
3
4
5
0
(0，0)
(0，1)
(0，2)
(0，3)
(0，4)
(0，5)
1
(1，0)
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
(1，5)
2
(2，0)
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
(2，5)
3
(3，0)
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
(3，5)
4
(4，0)
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(4，5)
5
(5，0)
(5，1)
(5，2)
(5，3)
(5，4)
(5，5)
∵数对(x，y)对应平面直角坐标系内的点Q，点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内，∴满足条件的点有8个，
∴点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为：＝.故选A.
课件24张PPT。第二十五章 概率初步25.2 用列举法求概率第2课时 用树状图法
求概率1课堂讲解两步试验的树状图、两步以上试
验的树状图2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升
双方对阵中，只有一种对抗情况下，田忌能赢，所以
田忌获胜的概率为（1）你知道孙膑给的是怎样的建议吗？
（2）假如在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌能赢
的概率是多少呢？当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下：
1知识点两步试验的树状图知1－讲 这是上节课学习的列举法中的列表法，这节课
学习列举法中的另一种方法——树状图法.解：如图，用画“树状图”法求概率．
【例1】 一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，
除颜色外其余特征均相同，若从这个袋中任取
2个珠子，求都是蓝色珠子的概率． 知1－讲∴P(都是蓝色珠子)＝可看出任取两个珠子共有12种等可能结果，其中都
是蓝色珠子的有两种结果，知1－讲（来自《点拨》）从中任取2个珠子可看作第一次取出一个，第二次
再取出一个．总 结知1－讲用树状图法求概率的“四个步骤”：
1.定:确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果.
2.画:列举每一环节可能产生的结果,得到树状图.
3.数:数出全部均等的结果数m和该事件出现的结果数n.
4.算:代入公式P(A)= .1 (2015·湖州)一个布袋内只装有1个黑球和2个
白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出
一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则
两次摸出的球都是黑球的概率是( )
A． B． C． D．
知1－练（来自《典中点》）知1－练2 (2015·黔南州)同时拋掷两枚质地均匀的硬币，
则下列事件发生的概率最大的是( )
A．两正面都朝上
B．两背面都朝上
C．一个正面朝上，另一个背面朝上
D．三种情况发生的概率一样大（来自《典中点》）3 (2015·德州)经过某十字路口的汽车，可能直行，
也可能左转或者右转，如果这三种可能性大小相
同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，
一辆右转的概率是( )
A． B． C． D．
知1－练（来自《典中点》）2知识点两步以上试验的树状图知2－讲【例2】 甲口袋中有2个相同的小球，它们分别写有字
母A和B；乙口袋中装有3个相同的小球，它们
分别写有字母C，D和E；丙口袋中装有2个相
同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口
袋中各随机取出1个小球.
知2－讲(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母
的概率分别是多少？
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？分析：当一次试验是从三个口袋中取球时,列表法就
不方便了,为不重不漏地列出所有可能的结
果,通常采用画树状图法．知2－讲解：根据题意,可以画出如下的树状图:
(1)只有1个元音字母的结果有5种,即ACH,ADH,BCI,BDI,
BEH,所以P(1个元音)=
由树状图可以看出,所有可能出现的结果共有12中,即
A A A A A A B B B B B B
C C D D E E C C D D E E
H I H I H I H I H I H I
知2－讲这些结果出现的可能性相等. 有2个元音字母的结果有4种,即ACI,ADI,AEH,BEI,
所以P(2个元音)=
知2－讲（来自教材） 全部为元音字母的结果只有1种,即AEI,所以
P(3个元音)=
(2)全是辅音字母的结果共有2种,即BCH,BDH,所以
P(3个辅音)=
总 结知2－讲(1)当事件涉及三个或三个以上元素时，用列表法
不易列举出所有可能结果，用树状图可以依次
列出所有可能的结果，求出n，再分别求出某
个事件中包含的所有可能的结果，求出m，从
而求出概率．
(2)用树状图法列举时，应注意取出后放回与不放
回的问题．（来自《典中点》）1 有三个筹码，第一个一面画×，一面画○；第
二个一面画○，一面画□；第三个一面画×，
一面画□，依次抛掷这三个筹码，出现一对相
同画面的概率是( )
A． B． C． D．
知2－练（来自《典中点》）2 如图，一个小球从A点入口往下落，在每个交
叉口都有向左或向右两种可能，且两种可能性
相等．则小球最终从E点落出的概率为( )
A． B．
C． D．
知2－练（来自《典中点》）3 (2015·荆门)在排球训练中，甲、乙、丙三人相
互传球，由甲开始发球(记为第一次传球)，则经
过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是( )
A． B． C． D．
知2－练（来自《典中点》）知2－练（来自教材）4 经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转
或向右转.如果这三种可能性大小相同,求三辆汽
车经过这个十字路口时,下列事件的概率:
(1)三辆车全部继续直行；
(2)两辆车向右转,一辆车向左转；
(3)至少有两辆车向左转. 利用树状图或表格可以清晰地表示出某个事件发
生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事
件发生的概率.当试验包含两步时,列表法比较方便,
当然,此时也可以用树状图法,当试验在三步或三步以
上时,用树状图法方便. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 必做：1.完成教材P140 T4、T6
2.补充: 完成《典中点》P125 T10、T12必做：1.完成教材P140 T4、T6
2.补充: 完成《点拨》P224 T8、T1325.2 用列举法求概率
第 2 课时 用树状图法求概率
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P140 T4、T6
4.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅实物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少?
6.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化,那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是多少?
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
10．(2016·贵阳模拟)体育课上，小明、小强、小华三人在学习训练踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次．
(1)如果从小强开始踢，经过两次踢后，足球踢到了小华处的概率是多少？(用树状图表示或列表说明)
(2)如果踢三次后，足球踢到了小明处的可能性最小，应从谁开始踢？请说明理由．
12．(2015·兰州)为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次．
(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；
(2)求三次传球后，球回到甲脚下的概率；
(3)三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？
答案
教材
4．解：用树状图表示蚂蚁的路径，如图所示，其中 “○”表示没有食物，“△”表示有食物．所以P(蚂蚁获得食物)＝＝.
(第4题)
点拨：本题树杈的分支虽然不同，但蚂蚁选择任何一条路径的可能性都是相等的．
(1)P(2个球都是黄球)＝；(2)P(2个球中1个是白球、1个是黄球)＝＝.
6．解：三只雏鸟的雌雄情况用如图所示的树状图表示：
(第6题)
由图可知，共有8种可能的结果，其中恰有2只是雄鸟的结果有3种，所以P(恰有2只雄鸟)＝.
点拨：每只雏鸟为雌雄的概率相同．
典中点
10．解：(1)如图：
(第10题(1))
∴P(足球踢到小华处)＝
(2)应从小明开始踢．
如图：
(第10题(2))
若从小明开始踢，P(踢到小明处)＝＝，
若从小强开始踢，P(踢到小明处)＝，
若从小华开始踢，P(踢到小明处)＝，故应从小明开始踢．
解：(1)根据题意画出树状图如下：
(第12题)
(2)由(1)可知三次传球后，球回到甲脚下的概率为＝.
(3)由(1)可知球回到甲脚下的概率为，传到乙脚下的概率为，所以球传到乙脚下的概率大
25.2 用列举法求概率
第 2 课时 用树状图法求概率
课后作业：方案（B）
一.教材题目：P140 T4、T6
4.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅实物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是多少?
6.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果3枚鸟卵全部成功孵化,那么3只雏鸟中恰有2只雄鸟的概率是多少?
二.补充: 部分题目来源于《点拨》
8．袋中有一个红球和两个白球，它们除了颜色外都相同．任意摸出一个球，记下球的颜色，放回袋中，搅匀后再任意摸出一个球，记下球的颜色．为了研究两次摸球出现某种情况的概率，画出树状图如图．
(第8题)
(1)请把树状图填写完整；
(2)根据树状图求摸到一红一白两球的概率．
13．〈山东滨州〉在一个口袋里有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，小明和小强采取的摸取方法分别是：
小明：随机摸取一个小球记下标号，然后放回，再随机摸取一个小球，记下标号；
小强：随机摸取一个小球记下标号，不放回，再随机摸取一个小球，记下标号．
(1)用画树状图(或列表)的方法分别表示小明和小强摸球的所有可能出现的结果；
(2)分别求出小明和小强两次摸球的标号之和等于5的概率．
答案
教材
4．解：用树状图表示蚂蚁的路径，如图所示，其中“○”表示没有食物，“△”表示有食物．所以P(蚂蚁获得食物)＝＝.
(第4题)
点拨：本题树杈的分支虽然不同，但蚂蚁选择任何一条路径的可能性都是相等的．
(1)P(2个球都是黄球)＝；(2)P(2个球中1个是白球、1个是黄球)＝＝.
6．解：三只雏鸟的雌雄情况用如图所示的树状图表示：
(第6题)
由图可知，共有8种可能的结果，其中恰有2只是雄鸟的结果有3种，所以P(恰有2只雄鸟)＝.
点拨：每只雏鸟为雌雄的概率相同．
点拨
8．解：(1)填写树状图如图．
(第8题)
(2)∵根据树状图可知，所有可能的结果总数为9 ，摸到一红一白两球的结果数是 4 ，
∴摸到一红一白两球的概率为.
13．解：(1)画树状图如图．
(第13题)
则小明共有16种等可能的结果；
小强共有12种等可能的结果．
(2)∵小明两次摸球的标号之和等于5的有4种情况，小强两次摸球的标号之和等于5的有4种情况，
∴P(小明两次摸球的标号之和等于5)＝＝；
P(小强两次摸球的标号之和等于5)＝＝.
课件31张PPT。第二十五章 概率初步25.3 用频率估计概率1课堂讲解用频率估计概率、频率与概率的关系2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升任务1：抛掷一枚硬币，“正面向上” 的概率为 0.5．意
味着什么？如果重复试验次数增多，结果会如何？ 活动： 逐步累加各小组试验获得的“正面向上”的频数，求频
率，用Excel表格生成频率的折线图，观察、思考．任务2：观察随着重复试验次数的增加，“正面向上”的频
率的变化趋势是什么？第一组1 000 次试验第二组1 000 次试验第三组1 000 次试验第四组1 000 次试验第五组1 000 次试验第六组1 000 次试验1知识点用频率估计概率知1－导 历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试 验，其中一些试验结果见下表：知1－导知1－导根据表中数据,描出对应的点,如图:知1－导思考:
随着抛掷次数的增加,“正面向上”的频率的
变化趋势是什么？知1－导归 纳 对一般的随机事件在做大量重复试验时，随着试
验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定
数的附近摆动，显示出一定的稳定性，因此，我们可
以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率
去估计它的概率. 为什么要用频率估计概率？虽然之前我们学过用列
举法确切地计算出随机事件的概率，但由于列举法受各
种结果出现的可能性相等的限制，有些事件的概率并不
能用列举法求出.例如：抛掷一枚图钉,估计“钉尖朝上”
的概率，这时我们就可以通过大量重复试验估计它们的
概率.知1－讲【例】 某林业部门要考察某种幼树在一定条件下的
移植成活率,应采用什么具体做法?
知1－讲是实际问题中的一种概率,可理解为成活的概率.观察在各次试验中得到的幼树成活的频率，谈
谈你的看法．知1－讲0.940.9230.8830.9050.897知1－讲 由上表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿
左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈
加明显. 所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．0.90.9 2 我们学校需种植这样的树苗500棵来绿化校园,则
至少向林业部门购买约_______棵.知1－练1 林业部门种植了该幼树1000棵,估计能成活_____棵.估计某幼树移植成活的概率为0.9．2知识点 频率与概率的关系知2－讲1．频率与概率的关系:在大量重复试验中,如果事件
A发生的频率 稳定于某个常数b,则该事件发生
的概率P(A)= ____.b知2－讲知2－讲2．频率与概率关系的的应用:完成下表,利用你得到的结论解答下列问题: 某水果公司以2元/千克的成本新进了10 000
千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润
5 000元,那么在出售柑橘(已去掉损坏的柑橘)时,
约定价为每千克大多少元比较合适?知2－讲0.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103知2－讲 从上表可以看出，柑橘损坏的频率在常数_____左右
摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐______，那
么可以把柑橘损坏的概率估计为这个常数．如果估计
这个概率为0.1，则柑橘完好的概率为_______．0.1稳定0.9知2－讲设每千克柑橘的销价为x元，则应有
（x－2.22）×9 000=5 000,解得 x≈2.8.因此，出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润
5 000元． 根据估计的概率可以知道，在10 000千克柑橘中完好
柑橘的质量为10 000×0.9＝9 000千克，完好柑橘的
实际成本为知2－讲完成下表,利用你得到的结论解答下列问题:共同练习 为简单起见，我们能否直接把表中的500千克柑
橘对应的柑橘损坏的频率看作柑橘损坏的概率？知2－讲0.1010.0970.0970.1030.1010.0980.0990.103知2－讲 根据频率稳定性定理，在要求精确度不是很高
的情况下，不妨用表中试验次数最多一次的频率近
似地作为事件发生概率的估计值.知2－练1. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验,
结果如下表所示:知2－练知2－练一般地,1 000 kg种子中大约有多少是不能发芽的?（来自教材）通过本课时的学习,需要我们掌握:1.用频率估计概率的条件及方法,应用以上的内容
解决一些实际问题.2.从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是偶
然的,但多次观察某个随机现象,可以发现:在大
量的偶然之中存在着必然的规律.必做：1.完成教材P144 T1；P147 T3；P148 T4、T5、
T6
2.补充: 完成《典中点》P128 T5、T6、T9；
P127 T11必做：1.完成教材P144 T1；P147 T3；P148 T4、T5、
T6
2.补充: 完成《点拨》P228举一反三T4；
P231 T1、T4、T525.3 用频率估计概率
课后作业：方案（A）
一、教材题目：P144 T1、P147 T3、P148 T4、T5、T6
1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
152
251
投中频率
计算投中频率(结果保留小数点后两位);
这名球员投篮一次,投中的概率约是多少(结果保留小数点后一位)?
某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
射击次数
20
40
100
200
400
1000
“射中9环以上”
的次数
15
33
78
158
321
801
“射中9环以上”
的频率
(1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(结果保留小数点后两位);
(2)这些频率具有怎样的稳定性?
(3)根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(结果保留小数点后一位).
投针试验:
在一个平面上画一组间距为d=4 cm的平行线,将一根长度为l=3 cm的针任意投掷在这个平面上,针可能与某一直线相交,也可能与任一直线都不相交.根据记录在下表中的投针试验数据,估计针与直线相交的概率.
试验次数n
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
...
相交频数m
...
相交频率
...
在投针试验中,如果在间距d=4 cm，针长l= 3 cm时，针与直线相交的概率为p，那么当d不变、l减小时，概率p如何变化？当l不变、d减小时，频率p如何变化（在试验中始终保持l＜d）?
为了估计鱼塘中的鱼数,养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼,在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘,再从鱼塘中打捞a条鱼.如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的,那么估计鱼塘中鱼的条数为.你认为这种估计方法有道理吗?为什么？
动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，活到30岁的概率为0.3.
现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？
现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
二、补充题目：部分题目来源于《典中点》
5．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是( )
A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1个球，取到红球的概率
C．拋一枚硬币，出现正面朝上的概率
D．任意写一个整数，它能被2整除的概率
(第5题)
6．(2014·山西)在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关
D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
9．下列说法合理的是( )
A．小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是30%
B．抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现6点朝上的概率是的意思是每掷6次就有1次掷得6点朝上
C．某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D．在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别为0.48和0.51
11．(2015·广州)4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
(1)从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
(2)从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
(3)在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
答案
教材
1．解：(1)从左到右依次为：0.56，0.60，0.52，0.52，0.49，0.51，0.50.
(2)投中的概率约是0.5.
3．解：(1)从左到右依次为0.75，0.83，0.78，0.79，0.80，0.80.(2)这些频率逐渐稳定于0.8.(3)这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约为0.8.
4．略． 点拨：本题的试验比较复杂，需要同学们相互协作．
5．解：有道理．因为，不妨设鱼塘中鱼的总条数为x，则＝，所以x＝.
点拨：任意从鱼塘中打捞出的若干条鱼中带记号的鱼的比例与整个鱼塘中带记号的鱼的比例是相同的．
6．解：设这种动物共有10n只，则根据题意知能活到20岁的有8n只，能活到25岁的有5n只，能活到30岁的有3n只．(1)所以现年20岁的这种动物活到25岁的概率为P1＝＝.(2)现年25岁的这种动物活到30岁的概率是P2＝＝.
典中点
B 6.D
9．错解：A
诊断：用频率估计概率时，要注意试验的次数越多，事件发生的频率就会越接近于这个事件发生的概率，试验的次数太少易受偶然性因素影响，此时的频率不能用来估计概率．
正解：D
11．解：(1)∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P(抽到不合格品)＝.
(2)用A代表不合格品，B1、B2、B3代表合格品，根据题意画树状图如下：
(第11题)
共有12种等可能的情况，抽到的都是合格品的情况有6种，
P(抽到的都是合格品)＝＝.
(3)∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，∴估计抽到合格品的概率等于0.95，
∴＝0.95，解得x＝16.
∴可以推算出x的值大约是16.
25.3 用频率估计概率
课后作业：方案（B）
一.教材题目：P144 T1、P147 T3、P148 T4、T5、T6
1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n
50
100
150
200
250
300
500
投中次数m
28
60
78
104
123
152
251
投中频率
计算投中频率(结果保留小数点后两位);
这名球员投篮一次,投中的概率约是多少(结果保留小数点后一位)?
某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
射击次数
20
40
100
200
400
1000
“射中9环以上”
的次数
15
33
78
158
321
801
“射中9环以上”
的频率
(1)计算表中相应的“射中9环以上”的频率(结果保留小数点后两位);
(2)这些频率具有怎样的稳定性?
(3)根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率(结果保留小数点后一位).
投针试验:
在一个平面上画一组间距为d=4 cm的平行线,将一根长度为l=3 cm的针任意投掷在这个平面上,针可能与某一直线相交,也可能与任一直线都不相交.根据记录在下表中的投针试验数据,估计针与直线相交的概率.
试验次数n
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
...
相交频数m
...
相交频率
...
在投针试验中,如果在间距d=4 cm，针长l= 3 cm时，针与直线相交的概率为p，那么当d不变、l减小时，概率p如何变化？当l不变、d减小时，频率p如何变化（在试验中始终保持l＜d）?
为了估计鱼塘中的鱼数,养鱼者首先从鱼塘中打捞n条鱼,在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘,再从鱼塘中打捞a条鱼.如果在这a条鱼中有b条鱼是有记号的,那么估计鱼塘中鱼的条数为.你认为这种估计方法有道理吗?为什么？
动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，活到30岁的概率为0.3.
现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？
现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
二.补充: 部分题目来源于《点拨》
举一反三4．某校男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是，这个的含义是 ( )
A．只发出5份问卷，其中3份是喜欢足球的问卷
B．在问卷中，喜欢足球的问卷数与总问卷数的比为3∶5
C．在问卷中，喜欢足球的问卷数约占总问卷数的
D．在问卷中，每抽出100份问卷，恰有60份问卷是不喜欢足球
1．盒子中有白色乒乓球8个和黄色乒乓球若干个，为求得盒中黄色乒乓球的个数，某同学进行了如下试验：每次摸出一个乒乓球后记下它的颜色并放回，如此重复360次，摸出白色乒乓球90次，则黄色乒乓球的个数估计为( )
A．90个 B．24个 C．70个 D．32个
4．不透明的袋中装有3个小球 (除颜色外均相同)，其中2个为白色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀再摸，研究恰好摸出红色球的概率，以下替代试验方法不可行的是( )
A．用6张相同的卡片，其中四张分别写上“白”，另外两张分别写上“红”，然后反复抽取
B．用3张相同的卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取
C．用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抛掷
D．用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面积为红色的2倍，然后反复转动
5．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针(未投入正三角形及其内部区域不算)，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为( )
A. B.π C.π D.
(第5题)
答案
教材
1．解：(1)从左到右依次为：0.56，0.60，0.52，0.52，0.49，0.51，0.50.
(2)投中的概率约是0.5.
3．解：(1)从左到右依次为0.75，0.83，0.78，0.79，0.80，0.80.(2)这些频率逐渐稳定于0.8.(3)这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约为0.8.
4．略． 点拨：本题的试验比较复杂，需要同学们相互协作．
5．解：有道理．因为，不妨设鱼塘中鱼的总条数为x，则＝，所以x＝.
点拨：任意从鱼塘中打捞出的若干条鱼中带记号的鱼的比例与整个鱼塘中带记号的鱼的比例是相同的．
6．解：设这种动物共有10n只，则根据题意知能活到20岁的有8n只，能活到25岁的有5n只，能活到30岁的有3n只．(1)所以现年20岁的这种动物活到25岁的概率为P1＝＝.(2)现年25岁的这种动物活到30岁的概率是P2＝＝.
点拨
举一反三 4．C
1．B 4.C 5.C
解码专训一：概率应用的四种类型
名师点金：应用很广泛，主要体现在与其他知识的综合，如：在方程和不等式中的应用、在函数中的应用、在几何中的应用、在物理学中的应用等．
概率在方程和不等式中的应用
1．(2015·成都)有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为________．
2．甲、乙两名同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次骰子所得到的点数．
(1)满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数解的概率是________．
(2)(1)中方程有两个相等实数解的概率是________．
概率在函数中的应用
题型1：放回事件
3．在四个完全相同的球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀．从口袋中任取一个球记下数字后作为点P的横坐标x，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为点P的纵坐标y，求点P(x，y)落在直线y＝－x＋5上的概率．
题型2：不放回事件
4．在一个不透明的布袋里装有4个分别标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y.
(1)计算由x、y确定的点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上的概率；
(2)小明和小红约定做游戏，其规则为：若x、y满足xy>6，则小明胜；若x、y满足xy<6，则小红胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请写出公平的游戏规则．
概率在几何中的应用
5．如图为4张背面完全相同的纸牌(分别用①、②、③、④表示)，在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回)，再随机摸出一张．
(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果；
(2)以两次摸出牌上的结果为条件，求能判定四边形ABCD是平行四边形的概率．
(第5题)
概率在物理学中的应用
6．如图所示，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关．
(1)请你画出树状图表示所有等可能的情况；
(2)请你求出使电路形成通路的概率．
(第6题)
解码专训二：几种常见的热门考点
名师点金：率是近年来中考的必考内容，主要考点是概率的意义，用频率估计概率，用列表法或树状图法计算概率及概率的应用，其考查形式既有单一考查，又有与平面直角坐标系、几何与统计知识等综合考查．
判断事件类型
1．下列事件中，是必然事件的为( )
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B．成都平原7月份某一天的最低气温是－2 ℃
C．在标准大气压下，通常加热到100 ℃时，水沸腾
D．打开电视，正在播放节目《中国好声音》
2．下列事件，是随机事件的是( )
A．四边形的内角和为180°
B．袋中有2个黄球，3个绿球共5个球，随机摸出一个球是红球
C．2016年巴西举办奥运会
D．从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限
求事件的概率
3．(2015·河北)将一枚质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数3相差2的概率是( )
A. B. C. D.
4．有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a(a－3)＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2－(a2＋1)x－a＋2的图象不经过点(1，0)的概率是________．
5．(2015·宜昌)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每个学生必须参加且只参加一个)．为了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成如图所示不完整的扇形统计图．已知参加“读书社”的学生有15人．请解答下列问题：
(1)该班的学生共有________名；
(2)若该班参加“吉他社”与 “街舞社”的人数相同，请你计算“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；
(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀成员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．
(第5题)
用频率估计概率
6．一个不透明的盒子里有红色、黄色、白色小球共80个，它们除颜色不同外其余均相同．小文将这些小球摇匀后从中随机摸出一个记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，多次试验后他发现摸到红色、黄色小球的频率依次为30%和40%.由此可知盒中大约有白球________个．
游戏的公平性问题
7．四张质地相同的卡片如图①所示，将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．
(1)求随机抽取一张卡片，恰好得到数字2的概率；
(2)童童和乐乐想用这四张卡片做游戏，游戏规则见图②.你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由；若认为不公平，请你修改规则，使游戏变公平．
(第7题)
答案
解码专训一
1. 点拨：若不等式组有解，则不等式组的解集为3≤x＜，且必须满足条件＞3，解得a＞5，∴满足条件的a的值为6，7，8，9，∴不等式组有解的概率为.
2．(1) (2)
3．解：画树状图如下：
(第3题)
∴点P的坐标有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共有16种等可能的结果，其中在直线y＝－x＋5上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．
∴点P(x，y)落在直线y＝－x＋5上的概率为＝.
4．解：(1)方法一：列表如下：
y
x
1
2
3
4
1
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
∵共有12种等可能的结果，在函数y＝－x＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果，
∴P(点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上)＝＝.
方法二：画树状图得：
(第4题)
∵共有12种等可能的结果，在函数y＝－x＋5的图象上的点有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种结果．
∴P(点(x，y)在函数y＝－x＋5的图象上)＝＝；
(2)不公平．理由如下：∵x、y满足xy＞6的有：(2，4)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，共4种情况，x、y满足xy＜6的有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，共6种情况，
∴P(小明胜)＝＝，P(小红胜)＝＝.
∵≠，∴游戏不公平．
公平的游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜，若x、y满足xy＜6，则小红胜．(答案不唯一)
5．解：(1)画树状图如图：
(第5题)
(2)由(1)知共有12种等可能的结果．其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③，共8种情况，∴能判定四边形ABCD是平行四边形的概率为＝.
6．解：(1)画出树状图如图：
(第6题)
(2)由树状图可知，共有20种等可能的情况，其中使电路形成通路的有ac，ad，ae，bc，bd，be，ca，cb，da，db，ea，eb，共12种情况，所以P(使电路形成通路)＝＝.
解码专训二
1．C 2.D 3.B 4.
5．解：(1)60.
(2)参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为＝10%，所以“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为360°×10%＝36°.
(3)画树状图如下：
(第5题)
或列表如下：
甲
乙
丙
甲
(甲，乙)
(甲，丙)
乙
(乙，甲)
(乙，丙)
丙
(丙，甲)
(丙，乙)
由树状图(或表格)可知，共有6种等可能的情况，其中恰好选中甲和乙的情况有2种，故P(恰好选中甲和乙)＝＝.
6．24
7．解：(1)P(随机抽取一张卡片，恰好得到数字2)＝.
(2)画树状图如下：
(第7题)
从树状图中可以看出所有等可能的结果共有16种，组成的两位数不超过32的有10种，
∴P(组成的两位数不超过32)＝＝，
∴P(童童胜)≠P(乐乐胜)，∴游戏规则不公平．
修改规则：
方法一：将游戏规则中的32换成26～31(包括26和31)之间的任何一个数都能使游戏公平．
方法二：将游戏规则改为：组成的两位数中，若个位数字是2，则童童胜，反之乐乐胜．（答案不唯一）
阶段强化专训一：事件的认识
名师点金：断一个事件的类型的方法：判断一个事件是不可能事件、必然事件还是随机事件，其标准在于结果是否在试验前预先确定，与这个试验是否进行无关，一般来说，描述已被确定的真理或客观存在的事实的事件是必然事件，描述违背已被确定的真理或客观存在的事实的事件是不可能事件，否则是随机事件．随机事件又分为等可能事件和非等可能事件．
确定性事件
题型1：不可能事件
1．下列事件中，属于不可能事件的是( )
A．某投篮高手投篮一次就进球
B．打开电视机，正在播放世界杯足球比赛
C．掷一次骰子，向上的一面出现的点数不大于6
D．在1个标准大气压下，90 ℃的水会沸腾
2．下列事件中，不可能事件有________(填序号)．
①度量三角形的内角和，结果是360°；②随意翻一本书的某页，这页的页码是奇数；③一个袋子里装有红、白、黄三种颜色的小球，从中摸出黑球；④如果|a|＝|b|，那么a＝b；⑤测量某天的最低气温，结果为－180 ℃.
题型2：必然事件
3．(2015·怀化)下列事件中是必然事件的是( )
A．地球绕着太阳转
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨
D．打开电视，正在播放新闻
4．(2015·徐州)一只不透明的袋子中装有4个黑球，2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是( )
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球
5．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．这些事件是确定性事件吗？
①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；
②367人中至少有2人的生日相同；
③没有水分，种子也会发芽；
④奥运会上百米赛跑的成绩是5秒；
⑤同种电荷，相互排斥；
⑥通常情况下，高铁比普通列车快；
⑦用3 cm，5 cm，8 cm的三条线段围成三角形．
随机事件
6．下列事件是随机事件的是( )
A．太阳从东边升起
B．一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实数解
C．明天会下雨
D．两直线相交，对顶角相等
7．下列事件：
①打开电视机，它正在播广告；
②从只装有红球的口袋中任意摸出一个球，恰好是白球；
③两次抛掷正方体骰子，掷得的数字之和小于13；
④抛掷硬币1 000次，第1 000次正面向上．
其中为可能发生的事件的是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
8．“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是________事件(填“随机”或“必然”)．
9．下列事件是随机事件的有________(填序号)
①任意买一张电影票，座位号是偶数；
②打开电视机，正在播放动画片；
③三个人分成两组，一定有两个人分在一组；
④三根长度为2 cm，2 cm，4 cm的木棒能摆成三角形．
10．指出下列随机事件中，哪些是等可能事件，哪些是非等可能事件．
①在一个装着3个白球、3个黑球(每个球除颜色外都相同)的袋中摸出一个球，摸出白球与摸出黑球；
②掷一枚均匀的骰子，朝上一面的点数分别为1、2、3、4、5、6；
③从4张扑克牌中(4张牌的花色分别为红桃、方块、梅花、黑桃)随意抽取一张，这张牌分别是红桃、方块、梅花、黑桃；
④掷一枚图钉，钉尖着地与钉尖朝上．
阶段强化专训二：概率的四种求法
名师点金：率可以通过大量重复试验中频率的稳定性来估计，它反映了事件发生的可能性的大小，需要注意的是：概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并不一定出现在每次试验中．常见的计算概率的方法有公式法(仅适用于等可能事件)、列表法、画树状图法和频率估算法等．
用公式法求概率
1．一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
(2)现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
用列表法求概率
2．(2015·潍坊)某校为了解九年级学生近两个月“推荐书目”的阅读情况，随机抽取了该年级的部分学生，调查了他们每人“推荐书目”的阅读本数．设每名学生的阅读本数为n，并按以下规定分为四档：当n＜3时，为“偏少”；当3≤n＜5时，为“一般”；当5≤n＜8时，为“良好”；当n≥8时，为“优秀”．将调查结果统计后绘制成如下不完整的统计图表：
阅读本数
n/本
1
2
3
4
5
6
7
8
9
人数/人
1
2
6
7
12
x
7
y
1
请根据以上信息回答下列问题：
(1)分别求出统计表中的x，y的值；
(2)估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数；
(3)从被调查的“优秀”档次的学生中随机抽取2名学生介绍读书体会，请用列表或画树状图的方法求抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率．
(第2题)
用画树状图法求概率
3．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性的大小是相同的，三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率．
(1)三辆车全部继续直行；
(2)两辆车向右转，一辆车向左转；
(3)至少有两辆车向左转．
用频率估算法求概率
4．一只不透明的袋子中装有4个球，分别标有数字2，3，4，x，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这两个球上数字之和．记录后都将球放回袋中搅匀，进行重复试验．试验数据如下表：
摸球总
次数
10
20
30
60
90
120
180
240
330
450
“和为7”出
现的频数
1
9
14
24
26
37
58
82
109
150
“和为7”出
现的频率
0.10
0.45
0.47
0.40
0.29
0.31
0.32
0.34
0.33
0.33
解答下列问题：
(1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
(2)根据(1)，若x是不等于2，3，4的自然数，试求x的值．
阶段强化专训三：用概率判断游戏规则的公平性
名师点金：过计算概率判断游戏是不是公平是概率知识的一个重要应用，也是中考考查的热点．解决游戏公平性问题要先计算游戏双方获胜的概率，若概率相等，则游戏公平；若概率不相等，则游戏不公平．
利用概率判断摸球游戏的公平性
1．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，除数字不同外，球没有任何区别，每次试验前先搅拌均匀．
(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
(2)若从中任取一球(不放回)，再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率；
(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1时甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案对甲、乙双方公平吗？请说明理由．
利用概率判断转盘游戏的公平性
2．如图，有A、B两个转盘，其中转盘A被分成4等份，转盘B被分成3等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时各转动其中一个转盘，转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效，重转)，若将A转盘指针指向的数字记为x，B转盘指针指向的数字记为y，从而确定点P的坐标为(x，y)．记S＝x＋y.
(1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标；
(2)李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当S<6时甲获胜，否则乙获胜，你认为这个游戏公平吗？若不公平，对谁有利？请说明理由．
(第2题)
利用概率判断掷骰子游戏的公平性
3．“五一”假期，某公司组织部分员工分别到A、B、C、D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
(1)若去D地的车票占全部车票的10%，请求出D地车票的数量，并补全统计图；
(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，那么员工小胡抽到去A地的概率是多少？
(3)若有一张车票，小王、小李都想要，决定采取抛掷一枚各面分别标有1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李．试用列表法或画树状图法分析，这个规则对双方是否公平？
(第3题)
答案
阶段强化专训一
1．D 2.①③⑤ 3.A 4.A
5．解：必然事件：①②⑤⑥；
不可能事件：③④⑦，这些事件都是确定性事件．
6．C 7.B 8.随机 9.①②
10．解：等可能事件：①②③；
非等可能事件：④.
阶段强化专训二
1．解：(1)P(摸出一个球是黄球)＝＝.
(2)设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，由题意得≥，解得x≥.∵x为正整数，∴x最小取9，则至少取出了9个黑球．
2．解：(1)由图表可知被调查学生中“一般”档次的有13人，所占比例是26%，所以共调查的学生数是13÷26%＝50(人)，
则调查学生中“良好”档次的人数为50×60%＝30(人)，所以x＝30－(12＋7)＝11，y＝50－(1＋2＋6＋7＋12＋11＋7＋1)＝3.
(2)由样本数据可知“优秀”档次所占的比例是＝0.08＝8%.
所以，估计该校九年级400名学生中为“优秀”档次的人数为400×8%＝32(人)．
(3)用A，B，C表示阅读本数是8的学生，用D表示阅读本数是9的学生，列表如下：
A
B
C
D
A
(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)
(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)
(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)
由列表可知，共有12种等可能情况，其中所抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的有6种．所以，抽取的2名学生中有1名阅读本数为9的概率P＝＝.
3．解：用树状图表示出三辆车经过该十字路口时所有可能出现的情况如图：
(第3题)
由树状图可以看出，三辆车经过该十字路口时所有等可能出现的情况共有27种．
(1)三辆车全部继续直行的结果只有一种，所以P(三辆车全部继续直行)＝.
(2)两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3种，所以P(两辆车向右转，一辆车向左转)＝＝.
(3)至少有两辆车向左转的结果有7种，所以P(至少有两辆车向左转)＝.
4．解：(1)0.33；
(2)列表如下：
甲和乙
2
3
4
x
2
/
5
6
2＋x
3
5
/
7
3＋x
4
6
7
/
4＋x
x
x＋2
x＋3
x＋4
/
由表格可知，一共有12种等可能的结果，由(1)知，出现“和为7”的概率约为0.33，∴“和为7”出现的次数为0.33×12＝3.96≈4.若2＋x＝7，则x＝5，符合题意，若3＋x＝7，则x＝4，不合题意．若4＋x＝7，则x＝3，不合题意．∴x＝5.
阶段强化专训三
1．解：(1)∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4的四个球，球上的数字为偶数的是2与4，∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为＝.
(2)画树状图如图：
(第1题)
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有(1，3)，(2，4)，(3，1)，(4，2)，共4种情况，
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为＝.
(3)∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，3)，(3，2)，(2，1)，共6种情况，
∴P(甲胜)＝＝，P(乙胜)＝＝，∴P(甲胜)＝P(乙胜)，∴这种游戏方案对甲、乙双方公平．
2．解：(1)列表如下：
转盘B
转盘A
2
4
6
1
(1，2)
(1，4)
(1，6)
2
(2，2)
(2，4)
(2，6)
3
(3，2)
(3，4)
(3，6)
4
(4，2)
(4，4)
(4，6)
由表格可知P点坐标有12种可能，分别如表格所示．
(2)由表格可知，S＝x＋y的值有12种等可能的结果，其中S＜6的情形有4种，故P(甲获胜)＝＝，所以乙获胜的概率为，因此这个游戏不公平，对乙有利．
3．解：(1)设D地车票有x张，则x＝(x＋20＋40＋30)×10%，解得x＝10，即D地车票有10张，补全统计图如图所示：
(第3题(1))
(2)小胡抽到去A地的概率为＝.
(3)列表如下：
小李掷得数字小王掷得数字
1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
(第3题(3))
或画树状图如图：
可知共有16种等可能的结果．其中小王掷得数字比小李掷得数字小的有6种，分别为：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)；
所以小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为＝；
则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为1－＝，因为≠，
所以这个规则对双方不公平．
