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人教版 九年级上册
九年级数学上册第一次月考卷02
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.95 根据概率公式计算概率
2 0.94 y=ax 的图象和性质
3 0.94 二次函数的识别
4 0.75 折线统计图；事件的分类；求众数；根据方差判断稳定性
5 0.85 二次函数图象的平移
6 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；比较反比例函数值或自变量的大小；证明四边形是平行四边形；关于频率与概率关系说法的正误
7 0.65 销售问题(实际问题与二次函数)
8 0.55 动点问题的函数图象；图形运动问题(实际问题与二次函数)
9 0.4 线段周长问题(二次函数综合)
10 0.4 概率的其他应用
二、知识点分布
二、填空题 11 0.95 列表法或树状图法求概率
12 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
13 0.75 游戏的公平性
14 0.65 已知概率求数量；由频率估计概率
15 0.64 面积问题(二次函数综合)
16 0.55 y=ax +bx+c的图象与性质；y=ax +bx+c的最值
二、知识点分布
三、解答题 17 0.95 实数的混合运算；把y=ax +bx+c化成顶点式
18 0.85 事件的分类；判断事件发生的可能性的大小
19 0.75 待定系数法求二次函数解析式；求抛物线与x轴的交点坐标；求一次函数解析式；一次函数与几何综合
20 0.65 求一次函数解析式；y=ax 的图象和性质
21 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)；列二次函数关系式；用一元一次不等式解决实际问题
22 0.64 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
23 0.64 条形统计图和扇形统计图信息关联；列表法或树状图法求概率；画条形统计图；由扇形统计图求总量
24 0.15 面积问题(二次函数综合)；特殊四边形(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式； 求矩形在坐标系中的坐标2025—2026学九年级数学上学期第一次月考卷02
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
3．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好；③打开电视，正在演电视剧，这个事件是必然发生的；④要反映抚顺市某一天内气温的变化情况，宜采用折线统计图．其中正确的是（ ）
A．①和③ B．②和④ C．①和② D．③和④
5．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ）
A． B． C．D．
6．以下说法正确的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．点，都在反比例函数图像上，且，则
D．对于一元二次方程，若，则方程的两个根互为相反数
7．某商城计划销售拉布布，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个拉布布降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，正方形的边长为，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点C处运动终止．连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）
A．B． C． D．
9．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．的矩形被分为6个的区域，现在有6种颜色供选择，要求每个区域染一种颜色，并且相邻区域颜色不同，则一共有（ ）种染色方案？
A．13230 B．27000 C．12300 D．14400
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．桌面上有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字1，2，3，4．把四张卡片背面朝上，随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张，则两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是 ．
12．已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ．
13．甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为2，3，4的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽取的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”）
14．一个不透明的箱子里有20枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，通过多次模拟实验后发现，摸出白棋子的频率稳定在左右，则箱子里棋子总数可能是 ．
15．如图，抛物线与轴交于、两点，点在抛物线上，则当的面积为8时，点的坐标为 ．
16．函数的最小值为，不等式的解集为，则实数的值为 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．（1）计算：；
（2）将二次函数化成的形式，并写出顶点坐标．
18．盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，然后放回；摇匀后，再摸第次、第次．
(1)小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种说法正确吗？
(2)小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明什么问题？
(3)小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的．这样认为对吗？
19．如图，已知二次函数（）与一次函数的图象相交于，两点．
(1)求，的值并写出两解析式．
(2)求点的坐标
(3)求．
20．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、．
(1) _______； _______；
(2)求直线的函数表达式；
(3)求的面积；
(4)观察图象，直接写出当时，y的取值范围．
21．某商品进价为40元/件，经市场调查发现，其售价（元/件）与日销量（件）满足．
(1)求日销售利润（元）与（元/件）的函数关系式；（不要求写的取值范围）
(2)在确保盈利前提下，若日销量不低于80件，求售价的取值范围．
(3)在（2）的条件下日销售利润能否为1600元？若能，售价是多少？
22．小明和小亮玩一个游戏：三张大小、质地都相同的卡片上分别标有数字2，3，4（背面完全相同），现将标有数字的一面朝下．小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和．若和为奇数，则小明胜；若和为偶数，则小亮胜．
(1)请你用画树状图或列表的方法，求出小明和小亮各自获胜的概率；
(2)你认为这个游戏规则对双方公平吗？说说你的理由．
23．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育运动项目：A．足球B．篮球C．射箭D．羽毛球，为了解学生最喜欢哪一种体育运动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有 人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)在平时的射箭项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加射箭比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．
24．如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标；
(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．2025—2026学九年级数学上学期第一次月考卷02
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-2章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C B B D A A D A
1．A
本题考查了概率公式，掌握概率的定义是解题的关键．
根据概率的定义解答即可．
解：由题意可知，白球个数占球总数的，
故随机摸出一个球为白球的概率是．
故选：A．
2．A
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键．
根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可．
解：∵，
∴，
∴抛物线开口向下，
故选：A．
3．C
本题考查了二次函数的定义：“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义逐项判断即可得．
解：A、不是二次函数，则此项不符合题意；
B、是正比例函数，不是二次函数，则此项不符合题意；
C、是二次函数，则此项符合题意；
D、是一次函数，不是二次函数，则此项不符合题意；
故选：C．
4．B
本题考查了众数、统计图的选择、方差及随机事件的知识，众数是一组数据中出现次数最多的数，可能有两个；方差能反应数据的波动情况，方差越大，波动越大；打开电视，正在演电视剧是偶然事件；反映某一天内气温的变化情况，可采用折线统计图．
解：①众数是一组数据中出现次数最多的数，可能有多个，根据众数的定义这句话是错误的；
②方差越小，波动越小，样本越稳定，故正确；
③打开电视，正在演电视剧是偶然事件，故③错误；
④用折线统计图能较好地反映这天的气温变化情况，故④正确，
正确说法有②④两个．
故选：B．
5．B
本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．根据二次函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案．
解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为：，
故选：B．
6．D
本题考查了利用频率估计概率、平行四边形的判定、反比例函数的图像与性质、一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据利用频率估计概率的方法即可判断A错误；根据平行四边形的判定即可得B错误；根据反比例函数的增减性即可得C错误；先根据一元二次方程根的判别式可得这个方程有两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与系数的关系即可得D正确．
解：A、只有试验次数足够多，频率才能稳定在概率附近，则此项错误，不符合题意；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，或两组对边分别平行的四边形是平行四边形，或两组对边分别相等的四边形是平行四边形，则此项错误，不符合题意；
C、因为不确定这个反比例函数的增减性，所以无法判断，
反例：点，都在反比例函数的图像上，且，但是函数值，则此项错误，不符合题意；
D、对于一元二次方程，
∵，
∴这个方程根的判别式为，有两个不相等的实数根，
由一元二次方程的根与系数的关系得：方程的两个根之和为，即方程的两个根互为相反数，则此项正确，符合题意；
故选：D．
7．A
本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可．
由题意，可列y关于x的函数关系式为：．
故选：A．
8．A
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
解：①当时，
∵正方形的边长为，
∴；
②当时，如图，
，
所以，只有A选项图象符合，
故选：A．
9．D
四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标；
本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键．
解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，
连接交对称轴于D点，如图，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
四边形的周长，
此时四边形的周长最小；
当时，，
解得，
，
抛物线的对称轴为直线，，
当时，，
，
设直线的解析式为，
把，代入得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
．
故选：D．
10．A
本题考查了概率的应用，固定一个区域，分与其相邻的区域颜色相同或不同找出各染色方案的种数是解题的关键．
给各区域标上字母，先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑，求出各情况下染色方案的种数，再将其相加，即可求出结论．
解：给各区域标上字母，如图所示．
先从区域染色，分，，颜色相同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同、，颜色相同且颜色不同及，，颜色各不相同五种情况考虑．
当，，颜色相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，有5种颜色可选，
∴（种）；
当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，
∴（种）；
当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，
∴（种）；
当，颜色相同且颜色不同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，有5种颜色可选，
∴（种）；
当，，颜色各不相同时，有6种颜色可选，有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选，有4种颜色可选，有4种颜色可选，
∴（种）．
∴共有（种）．
故选：A ．
11．
本题考查了画树状图求概率，先理解题意，再画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为5的结果有4种，即可列式计算，得出两次抽取卡片上的数字之和为5的概率．
解：依题意，画树状图，如图所示：
共有种等可能的结果，两次抽取卡片上的数字之和为5的结果有4种，
∴两次抽取卡片上的数字之和为5的概率是，
故答案为：．
12．
本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断．
解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为，
∵，
∴，
故答案为：．
13．不公平
本题考查利用概率判断游戏公平性，熟练掌握列举法求概率是解题的关键，利用列表法表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．
解：由题可列表如下：
2 3 4
2 4 5 6
3 5 6 7
4 6 7 8
由表知，共有9种等可能结结果，其中和为奇数的有4种结果，和为偶数的有5种结果，
∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平，
故答案为：不公平．
14．80
此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．
由题意可知白棋子的概率为，可得黑棋子的概率为，再根据黑棋子的数量解答即可．
解：∵摸出白棋子的频率稳定在左右，
∴摸出白棋子的概率为，
∴摸出黑棋子的概率为，
∴箱子里棋子总数可能是，
故答案为：80．
15．或或
本题主要考查了二次函数综合，先求出点A的坐标，进而求出，再根据三角形面积计算公式得到，据此求出点P的横坐标即可得到答案．
解：在中，当时，
解得或，
∴，
∴，
∵的面积为8，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，解得；
在中，当时，解得；
∴点P的坐标为或或，
故答案为：或或．
16．
本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数的对称性，根据题意可得函数的函数值小于k时，x的取值范围为，则由二次函数的对称性可得到对称轴为直线，且当时，，再由对称轴计算公式可推出，再由最小值为，可推出，再根据可推出答案．
解：∵不等式的解集为，
∴函数的函数值小于k时，x的取值范围为，
∴函数的对称轴为直线，且当时，，
∴，
∴，
∵函数的最小值为，且函数开口向上，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
17．（1）；（2），顶点坐标为
（1）负指数，特殊角的三角函数值，平方差公式化简，再进行运算即可；
（2）提取二次项系数，配方，把抛物线化为顶点式，写出顶点坐标即可．
解：（1）
；
（2），
顶点坐标为．
本题考查了负指数，特殊角的三角函数值，平方差公式，二次函数的图像和性质等．
18．(1)这种说法不正确，理由见解析；
(2)说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件；
(3)不对，理由见解析．
本题考查了随机事件可能性，正确理解随机事件事件发生的可能性是解题的关键．
（1）根据事件发生的可能性进行判断即可；
（2）根据事件发生的可能性进行判断即可；
（3）根据事件发生的可能性进行判断即可；
（1）解：小颖同学摸球次，没有摸到红球，便断定“摸到红球”是不可能的，这种判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件；
（2）解：小亮同学摸球次，摸到白球次，红球次，黄球次，这说明盒中装有红球、黄球和白球，共个，每个球除颜色外都相同，每次摸个球，摸到球的颜色是白、红、黄三种颜色中的一种是随机事件；
（3）解：小明同学没有去摸球，就认为摸到红球、黄球、白球的可能性大小是一样的，这种说法不对，因为红球数、黄球数及白球数不相等时，他们的可能性就不一样．
19．(1)，，，
(2)
(3)3
本题考查了二次函数与一次函数综合问题，解一元二次方程．
（1）根据待定系数法即可求得；
（2）解析式联立，解一元二次方程即可求得B的坐标；
（3）设直线与y轴的交点为G，则，利用求得的面积．
（1）解：∵过点，
∴，解得，
∵一次函数的图象过点，
∴，
解得，
∴，；
（2）∵二次函数与一次函数的图象相交于，两点，
∴，
解得：（舍去），，
∴，
∴B的坐标为；
（3）设直线与y轴的交点为G，则，
∴．
20．(1)；
(2)；
(3)6
(4)．
此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
（1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可；
（1）运用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出的长，根据“”求解即可；
（2）观察图象，利用数形结合法求解即可；
（1）解：∵点在的图象上，
∴，
解得，
∴，
当时，；
故答案为：；；
（2）解：∵，，
设直线的解析式为，
把，点坐标代入得，
解得，，
∴直线的解析式为：；
（3）解：对于直线：，
当时，，
∴，
∴；
（4）解：对于抛物线，
∵，
∴当时，有最小值为0，
∵，，
∴当时，y的取值范围为．
21．(1)
(2)售价的取值范围是
(3)能，60元
本题主要考查求函数解析式、不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据日销售利润、售价、进价、销售量的关系列出函数关系式为即可；
（2）由题意，，则，解得：，再结合要保证盈利即可解答；
（3）根据（1）所得的关系式，列一元二次方程求解并结合（2）的条件即可解答．
（1）解：由题意可得：
日销售利润与的函数关系式为．
（2）解：由题意，，
则，解得：，
要保证盈利
售价的取值范围是．
（3）解：由，
则，解得：（舍去）或．
答：当定价为60元时，日销售利润为1600元．
22．(1)
(2)不公平，见解析
此题考查了列表法或树状图法求概率（注意树状图与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的情况）．解题的关键是理解概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）首先根据题意列表，然后分别求出和为奇数、和为偶数的概率，再利用概率公式求解即可；
（2）分别求出和为奇数、和为偶数的概率，即可得出游戏的公平性．
（1）解：根据题意，列出表格，如下：
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，和为奇数有4种，和为偶数有种，
所以；
（2）解：这个游戏规则对双方不公平，理由如下：
由（1）得两数之和为奇数的概率为，两数之和为偶数的概率为，
∵，
所以这个游戏规则对双方不公平．
23．(1)200
(2)图象见解析
(3)
本题考查扇形统计图和条形统计图的识别、概率的求法：
（1）根据图中A的人数及其占扇形的圆心角即可求出总人数；
（2）用总人数减去A、B、D的人数即可得C的人数，从而可补全条形统计图；
（3）画出树状图求解即可．
（1）解：根据题意得这次被调查的总人数为：（人），
故答案为：200；
（2）解：C的人数：60（人），补全图形，如图所示：
；
（3）解：画出树状图：
总共12种可能结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
故概率为．
24．(1)；
(2)或或；
(3)，，，．
本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与矩形的综合、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H，设点E的坐标为，根据已知条件可得、、，再求得直线的解析式为，则点F的坐标为，；再根据求得，然后分两种情况求得m的值即可解答；
（3）由题意可得对称轴为，设，结合分为矩形的对角线、为矩形的边、为矩形的对角线三种情况，分别根据矩形的对角线相互平分以及一个角为直角的性质求解即可．
（1）解：∵在抛物线，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图：过E作轴，交直线于点F，交x轴于点H，
设点E的坐标为，
∵，矩形，
∴，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵轴，
∴点F的坐标为，
，
∴
，
，
∴，
∴，
①时，整理得：，
解得：或，
∴点E的坐标为或．
②时，整理得：，
解得：或（不合题意、舍弃），
∴点E的坐标为；
综上，点E的坐标为或或．
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
设，，
①如图：当为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：
，解得：，
又∵，
∴，
∴，
解得：或4，
∴或
∴，；
②如图：当为矩形的边时，
由中点坐标公式得：
，解得：，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴；
③若为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，，
，解得：，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
综上，点Q的坐标为，，，．
