2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
2．从，，这三个数中任取两个数作为点的坐标，则点在第二象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．在同一坐标系中，函数与的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，y随x增大而增大
C．对称轴是直线 D．y有最小值是3
5．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，直径平分弦于点．若，，则弦（ ）
A． B．8 C．16 D．
7．甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（ ）
A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测
8．袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（ ）
A．3个 B．2个 C．4个 D．5个
9．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
10．如图，正六边形的边长为，以顶点A为圆心，长为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
11．如果二次函数的图像经过点，，那么 （填“”，“”或“”）．
12．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ．
13．一个盒子中装有除颜色外其他都相同的个蓝色小球和若干个红色小球．小明通过多次摸取小球的试验发现，摸取到红色小球的频率稳定在左右，则盒子中约有 个红色小球．
14．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点A、B，点P是抛物线在直线上方图象上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线于点Q，则当最大时，a的值是 ．
15．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为 ．
16．如图，D是以为直径的半圆O的中点，，E是直径上一个动点，已知，则图中阴影部分周长的最小值是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知二次函数．
(1)求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点；
(2)若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标．
18．如图，是的直径，弦垂直于于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
(1)若，求的直径；
(2)若，求的度数．
19．在一个不透明的袋子里装有个只有所标数字不同的小球，上面分别标有数字，，，．
(1)把小球搅匀后从中随机抽出两个小球，用列表的方法计算说明两个小球上所标数字之积为负数的概率；
(2)小明和小亮进行一个小游戏，规则是：小明从袋子中随机抽出一个小球记下所标数字后将小球放回，然后小亮从中随机抽出一个小球记下所标数字，若两个人抽出的数字之积为正数则小明获胜，若两个人抽出的数字之积为负数则小亮获胜．这个游戏规则对于小明和小亮来说是否公平 请说明理由．
20．某校生物兴趣小组为了解在相同的实验条件下，某植物种子发芽率，进行了相关的实验研究．下表是进行研究时所得到的数据：
试验的种子数n 100 400 600 1000 3000 5000
发芽的粒数m a 382 570 954 2859 4750
发芽频率 0.930 0.955 0.950 b 0.953 0.950
(1)求出a，b的值；
(2)任取一粒这种植物种子，估计它不能发芽的概率．（结果精确到0.01）
21．如图，二次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)当随的增大而增大且时，直接写出x的取值范围；
(3)平行于轴的直线与函数的图象相交于点、（点在点的左边），与函数的图象相交于点．若与的面积相等，求点的坐标．
22．如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断是否为直角三角形，并说明理由：
(3)求四边形的面积．
23．（1）如图1，在四边形中，，，若，且四边形有外接圆，则的值为多少？
（2）如图2，四边形为正方形，连接对角线，在上截取一点G，连接，将逆时针旋转后得到线段，连接，连接并延长交边于点H，交边于点F，则线段和线段具有什么样的数量关系？请给出证明．
24．设等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，平面内任意一点P到等边三角形中心的距离为d，若满足，则称点P叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系中，等边的三个顶点的坐标分别为．
(1)①等边中心的坐标为_____________；
②已知点．在D，E，F中，是等边的中心关联点的是_____________；
(2)如图1，过点A作直线交x轴正半轴于M，使．
①若线段上存在等边的中心关联点，求m的取值范围；
②将直线向下平移得到直线，当b满足什么条件时，直线上总存在等边的中心关联点；
(3)如图2，点Q为直线上一动点，的半径为，当Q从点出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t秒．是否存在某一时刻t，使得上所有点都是等边的中心关联点？如果存在，请直接写出所有符合题意的t的值；如果不存在，请说明理由．2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B A D B A D A C A
1．B
根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系．
本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键．
∵的直径为8，
∴的半径为4，
∵点A到圆心O的距离为4，
∴点A在上．
故选：B．
2．A
本题考查坐标系的概念，画树状图法求概率．
第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，根据题目要求画出树状图求概率即可．
解：
．
故选：A．
3．D
本题考查一次函数与二次函数的图象与性质，根据一次函数与二次函数的图象与性质分析各选项，即可解题．
解：当时，一次函数与二次函数的函数值都为，
一次函数与二次函数均过点，则A、C选项不符合题意；
B选项中二次函数开口向下，，一次函数过一、三象限，，存在矛盾，不符合题意，
D选项中二次函数开口向上，，一次函数过一、三象限，，符合条件，符合题意；
故选：D．
4．B
本题考查了二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．根据二次函数的顶点式，判断函数图象的开口方向，最大值，对称轴与增减性，由此判断选项即可．
解：二次函数为，
∵，
∴函数图象开口向下，故A错误；
∵二次函数为对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故B正确，C错误；
∵二次函数的顶点为，且开口向下，
∴y有最大值是3，故D错误；
故选：B．
5．A
此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得，根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
解：∵四边形为圆O的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
本题考查了垂径定理和勾股定理等知识．先求得，由垂径定理得，，由勾股定理求出，据此求解即可．
解：连接，
∵，，
∴，，
∴，
∵直径平分弦于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答．
列表如下：
总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种，
指针指向的数的和为正数的概率为：；
指针指向的数的和为非正数的概率为：；
∵，概率相同，
∴甲、乙获胜的概率相同，
即游戏对二人公平，
故选：A．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8．C
本题主要考查了随机概率，利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
由摸到白球的频率稳定在附近，可以得出口袋中得到白色球的概率，然后求得口袋中得到黑色球的概率，然后即可求解．
解：∵通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，
∴袋中得到白球的概率为，
∴袋中得到黑球的概率为：，
∵袋中有黑球6个，
∴袋中球的总个数为：个，
∴袋中有白球：个；
故选：C；
9．A
本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积关于平移距离的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象．
解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴；
当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为．
综上，选项A的图象符合题意，
故选：A．
10．/
本题主要考查正多边形与圆及扇形面积公式，熟练掌握正多边形与圆及扇形面积公式是解题的关键；由正六边形的性质可知，然后根据扇形面积公式可进行求解．
解：∵六边形是正六边形，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故答案为．
11．
此题考查了比较二次函数值的大小，分别将，代入求解比较即可．
解：∵二次函数的图像经过点，，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：．
12．
本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出．
解：∵，
∴，
∴，
∴，点M为的中点，
∵点O为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵的半径是6，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
13．20
本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
根据题意，得到摸取到红色小球的概率为，设盒子里有个红色小球，根据概率公式列出方程进行求解即可．
解：∵摸取到红色小球的频率稳定在左右，
∴摸取到红色小球的概率为，
设盒子里有个红色小球，
由题意，得：，
解得：，
故盒子中约有个红色小球，
故答案为：．
14．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．设，，求出，利用二次函数的性质求解即可．
解：根据题意，设，，
则，
∵，且，
∴当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
15．
根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可．
有实数根，
，
∴，
，
又，
对称轴为：，
时，随增大而减小，
，
综上，
可取0，2，
∴，
故答案为：．
此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键．
16．
取点C连关于对称的点 ，连接交于点E，当D、E、三点在同一直线上时最小．
解：作图如下：
取点C连关于对称的点 ，连接交于点E，
即为 的最小值，
过点D作 交延长线于F
，
，
，
，
图中阴影部分周长的最小值是，
故答案为：．
本题考查的核心原理在于两点之间的线段最短和垂线段最短，通常在求最值的时候我们会借助于几何三大变化，轴对称、平移、旋转变换进行线段的转移，从而转换成两大核心原理进行求解．
17．(1)见详解
(2)
本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点；
（2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答．
（1）解：∵，
∴
，
∵无论k为何值时，，
∴，
即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点．
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵该二次函数图像的对称轴为直线，
∴，
即，
依题意，令则，
∴，
解得，
∴它与x轴的交点坐标分别为．
18．(1)的直径为；
(2)．
本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．
（1）先根据，得出的长，进而得出的长，进而得出结论；
（2）由，结合直角三角形可以求得结果
（1）解：∵，
，
设，
又 ∵，
，
，
解得：，
∴的直径是20；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴，
，
．
19．(1)两个小球上所标数字之积为负数的概率为；
(2)这个游戏规则对于小明和小亮公平，理由见解析．
本题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用列表法求出所有可能的结果，然后得出两个小球上所标数字之积为负数的可能结果，再用概率公式即可求解；
（）利用列表法求出所有可能的结果，然后计算出数字之积为正数和数字之积为负数的概率，然后比较求解即可．
（1）解：列表如下，
一共有种等可能结果，两个小球上所标数字之积为负数可能结果有种，
∴两个小球上所标数字之积为负数的概率为；
（2）解：这个游戏规则对于小明和小亮公平，理由，
列表如下，
一共有种等可能结果，两个小球上所标数字之积为正数可能结果有种，两个小球上所标数字之积为负数可能结果有种，
∴两个小球上所标数字之积为正数的概率为，两个小球上所标数字之积为负数的概率为；
∵，
∴这个游戏规则对于小明和小亮公平．
20．(1)93，0.954
(2)0.05
本题考查频率，利用频率估计概率，理解频率与概率的关系是解题的关键．
（1）根据频数、频率、总数的关系求解；
（2）利用频率估计概率．
（1）解：，，
故答案为：93，0.954．
（2）解：由题意知，试验总数足够大时，发芽频率稳定在0.95附近，
，
所以估计它不能发芽的概率为0.05．
21．(1)二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)
(3)
（1）利用待定系数法即可求解．
（2）利用函数的性质结合图象即可求解．
（3）根据点和点的坐标得出三角形等高，再根据面积相等得出，进而确定点是抛物线对称轴和反比例函数的交点，进而可求解．
（1）解：∵二次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，
∴，，
解得，，
∴二次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）∵二次函数的解析式为，
∴对称轴为直线，
由图象知，当随的增大而增大，且时，
（3）∵当时，，
∴，
∵，
∴的边上的高与的边上的高相等，
∵与的面积相等，
∴，
即点是二次函数的对称轴与反比例函数的交点，
当时，，
∴．
本题考查了二次函数与反比例函数的综合、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数和反比例函数的图象及性质和待定系数法求函数解析式是解题的关键．
22．(1)
(2)是直角三角形
(3)
本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
（1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可；
（2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论；
（3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案．
（1）解：∵抛物线与轴相交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解；是直角三角形，理由如下：
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点M的坐标为，
在中，当时，或，
∴，
∴，，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：由（2）可得是直角三角形，且，，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
23．（1）（2），证明见详解
（1）连接，先根据勾股定理得结合等边对等角得，结合，得，因为四边形有外接圆，则，故，则，即可作答．
（2）结合正方形的性质得，，，根据旋转的性质得，，即，证明，得，，过E作交于点，再证明，即可作答．
解：（1）连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形有外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
（2）∵四边形是正方形，
∴，，，
∵将逆时针旋转后得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
过E作交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形对角互补，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
24．(1)①；②F
(2)①；②
(3)存在．或
（1）①求出，即可得等边中心的坐标；②分别求出，，，然后根据中心关联点的定义判断.
（2）①易得直线的解析式，如图，在上取点，且，可得，根据点P在上时，可得此时点P都是等边的中心关联点.
②如图，设平移后的直线交轴于点，过点作这条直线的垂线，垂足为，求出时的长，即可得到b的取值范围.
（3）如图，设，由题意得当时，上所有点都是等边的中心关联点，求出s即可得解．
（1）解：①∵，
∴，，，
∴等边中心的坐标为；
②由题意得：，点是的中心，
，
∵，
点是的中心关联点.
（2）解：①∵，，
∴，，
∴，
设直线为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
如图，在上取点，且，
∴，
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
设上的高为，
∴,
当点在上时，，
∴当点在上时，点都是等边的中心关联点，
∴；
②如图，设平移后的直线交轴于点，过点作这条直线的垂线，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时， ，
，
满足条件的的值为；
（3）解：存在，理由如下：
如图，设，
由题意得，当时，上所有点都是等边的中心关联点，
∴，
解得：，
或．
本题考查圆的综合题、等边三角形的性质、勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线解决问题，属于中考压轴题．(共6张PPT)
人教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题 1 0.94 判断点与圆的位置关系
2 0.85 判断点所在的象限；列表法或树状图法求概率
3 0.85 一次函数、二次函数图象综合判断
4 0.75 y=a（x-h） +k的图象和性质
5 0.65 已知圆内接四边形求角度；圆周角定理；半圆（直径）所对的圆周角是直角
6 0.65 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
7 0.64 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
8 0.64 由频率估计概率；已知概率求数量
9 0.55 图形运动问题(实际问题与二次函数)
二、知识点分布
二、填空题 10 0.85 正多边形和圆的综合；求扇形面积
11 0.85 y=ax +bx+c的图象与性质
12 0.75 垂径定理的推论；利用弧、弦、圆心角的关系求解；用勾股定理解三角形；与三角形中位线有关的求解问题
13 0.65 用频率估计概率的综合应用；已知概率求数量
14 0.64 一次函数与几何综合；线段周长问题(二次函数综合)
15 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；概率的其他应用
16 0.15 用勾股定理解三角形；利用弧、弦、圆心角的关系求解；求弧长
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 求抛物线与x轴的交点坐标；抛物线与x轴的交点问题；y=ax +bx+c的图象与性质
18 0.65 利用垂径定理求值；圆周角定理；用勾股定理解三角形
19 0.75 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
20 0.65 根据数据填写频数、频率统计表；由频率估计概率
21 0.64 反比例函数、二次函数图象综合判断；面积问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式；求反比例函数解析式
22 0.65 面积问题(二次函数综合)；特殊三角形问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
23 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形；已知圆内接四边形求角度
24 0.15 已知两点坐标求两点距离；正多边形和圆的综合；一次函数与几何综合；等边三角形的性质
