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人教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷02
试卷分析
一、试题难度
二、知识点分布
一、单选题
1 0.94 二次函数的识别
2 0.94 用勾股定理解三角形；圆的基本概念辨析
3 0.85 事件的分类
4 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
5 0.75 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
6 0.65 已知概率求数量；由频率估计概率
7 0.65 根据方差判断稳定性；事件的分类；判断事件发生的可能性的大小；概率的意义理解
8 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；面积问题(二次函数综合)
9 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质
10 0.15 正多边形和圆的综合；含30度角的直角三角形
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 销售问题(实际问题与二次函数)
12 0.75 y=ax +bx+c的图象与性质；坐标与图形变化——轴对称；求抛物线与y轴的交点坐标
13 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度
14 0.65 几何概率
15 0.64 游戏的公平性
16 0.4 用勾股定理解三角形；同弧或等弧所对的圆周角相等；圆周角定理
二、知识点分布
三、解答题
17 0.95 求中位数；根据概率公式计算概率
18 0.85 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移
19 0.75 等腰三角形的性质和判定；利用垂径定理求值；用勾股定理解三角形；圆周角定理
20 0.65 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值；三线合一
21 0.65 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性；根据概率公式计算概率
22 0.65 面积问题(二次函数综合)；相似三角形问题(二次函数综合)；待定系数法求二次函数解析式
23 0.55 y=a（x-h） +k的图象和性质；投球问题(实际问题与二次函数)；待定系数法求二次函数解析式；求抛物线与x轴的交点坐标
24 0.15 反比例函数与几何综合；根据图形面积求比例系数（解析式）；求弧长；其他问题(二次函数综合)2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷02
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列关于的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，点在上，，垂足为，已知，，则的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．10
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B．阴天会下雨
C．13名同学，至少有两人的出生月份相同
D．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
4．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的乒乓球，这m个球中只有12个黄色乒乓球，其余均为白色．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到黄球的频率稳定在左右，则m的值大约为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．100
7．下列说法正确的是（ ）
A．概率很大的事件一定会发生 B．“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件
C．两组身高数据的方差分别是，，则乙组的身高更整齐 D．某抽奖活动的中奖概率为，表示抽奖10次就有1次中奖
8．如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线满足，且点，，在该抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正六边形，P点在上，记图中的面积为，已知正六边形边长，下列式子中不能确定的式子的是（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ．
12．若抛物线的图象与抛物线的图象关于轴对称，则函数与轴的交点坐标为 ．
13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ．
14．如图，阴影部分是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ．
15．甲、乙两人做游戏，他们任意掷一枚质地均匀的骰子，若掷出的点数是奇数，则甲赢；若掷出的点数是偶数，则乙赢．这个游戏对甲、乙来说是 的．（填“公平”或“不公平”）
16．如图，上三点B、C、D将圆三等分，弦，若，则 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．某校师生为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制统计表：
零花钱数额/元 5 10 15 20
学生人数/名 a 15 20 5
根据表格中信息，回答下列问题：
(1)求a的值．
(2)求这50名学生每人一周内零花钱数额的中位数．
(3)随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为多少？
18．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的二次函数的表达式．
19．如图1，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是的“幸运角”．
(1)如图2，是的直径，弦，是上一点，连结交于点，连结，是的“幸运角”吗？请说明理由；
(2)在（1）的条件下，直径，，的“幸运角”为，求CP的长．
20．如图，，交于点，，是半径，且于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
21．某班有名同学，其中男生人，女生人．
(1)若从名同学中随机选取人作为某次活动的记录员，求选到男生的概率；
(2)若只在甲、乙两人中选人，准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取张，若牌面数字之和为奇数，则甲参加，否则乙参加．试问这个游戏公平吗？请用树状图说明理由；
(3)在（）中，只将四张牌面数字分别为的扑克牌中牌面数字为的换为，其余都不变，请直接回答：这个游戏（填“公平”或“不公平”）．
22．如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标；
(3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标．
23．掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
24．在数学上，我们不妨约定，两个关于原点对称的函数称为“集聚”函数，
(1)求直线的“集聚”函数；
(2)如图，直线与函数交与A、两点，直线的“集聚”函数与函数交于、两点，四边形为矩形且三角形的面积为，求的值．
(3)函数与轴交于、两点，与轴交于，函数的“集聚”函数与轴交于点，点在三角形的外接圆的上运动，为三角形的内心，当从运动到时，求内心的运动路径长．2025—2026学年九年级数学上学期期中模拟卷02
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D C C B A A C
1．D
一般地，我们把形如（其中是、、为常数）的函数叫做二次函数，其中称为二次项系数，为一次项系数，为常数项，根据二次函数的定义逐项判断即可．
本题考查了二次函数的定义，理解并掌握二次函数的定义是解题的关键．
A．，是一次函数，故该选项不符合题意；
B．，是一次函数，故该选项不符合题意；
C．，不符合二次函数的定义，不是二次函数，故该选项不符合题意；
D．，是二次函数，故该选项符合题意．
故选：D．
2．D
本题考查了圆的基本概念、勾股定理，连接构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，在中利用勾股定理求出的长，再结合是的直径即可得出答案．
解：如图，连接，
，
，
，，
，
是的直径，
．
故选：D．
3．C
本题考查事件的分类，根据一定条件下一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能发生也可能不发生的事件是随机事件，进行判断即可．
解：A、是随机事件，不符合题意；
B、是随机事件，不符合题意；
C、是必然事件，符合题意；
D、是随机事件，不符合题意．
故选：C
4．D
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
解：抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
5．C
本题考查了垂径定理，勾股定理，由，且点为的中点，则，，设，则，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵，且点为的中点，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴大摆锤的长度为，
故选：．
6．C
本题考查了利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，在同样条件下，大量重复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可，解题的关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
解：由题意得：
，
解得：，
故选：C．
7．B
本题考查了事件的概率，随机事件的分类，方差等知识的综合运用，理解概率，事件分类，方差的概念是解题的关键．
根据概率，事件的分类，方差的概念，逐一分析即可求解．
解：A、概率很大的事件发生的可能性大，不一定会发生，故A选项错误，不符合题意；
B、“任意画一个三角形，其外角和是”是必然事件，正确，符合题意；
C、∵，
∴甲组的身高更整齐，故C选项错误，不符合题意 ；
D、某抽奖活动的中奖概率为，则抽奖10次不一定就有1次中奖，故D选项错误，不符合题意；
故选：B ．
8．A
本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可．
解：如图所示，连接，
由点坐标，得，
当时，，即，
假设，
∴，
，
，
∴
即，
整理得，
将代入得，
，
解得或，
∵点位于正半轴，
∴，
解得，
∴符合题意，
故选：A．
9．A
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴为直线，根据即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．
解：∵抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
∴抛物线开口向上，离对称轴近的点其函数值更小，
点，，，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，
即根据增减性可得，
故选：A．
10．C
连接，交于，设正六边形边长为，在正六边形中求得则，易得，，，设，则，分别求得计算即可．
解：连接，交于，
设正六边形边长为，
在正六边形中求得，
则，，
，易得四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
本题考查了正多边形的性质，三角形面积的有关计算，角所对的直角边等于斜边的一般以及勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握正多边形的性质．
11．14万元
本题主要考查实际问题与二次函数；设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元，根据题意列出二次函数，求出二次函数的最大值即可．
解：设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元，
则
；
∴当时，能获得的最大利润；
故最大利润为14万元．
故答案为：14万元．
12．
本题考查了关于y轴对称的抛物线，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特点，是解题的关键，
可直接利用关于y轴对称的点的坐标特点，横坐标变为相反数，纵坐标不变求出函数解析式，即可求出与y轴的交点坐标．
解：∵抛物线的图象与抛物线的图象关于y轴对称，
∴函数的解析式为：,
令，得，
即函数与轴的交点坐标为．
故答案为：．
13．
本题考查圆内接四边形以及圆周角定理，根据圆内接四边形的对角互补，以及直径所对的圆周角为直角，进行求解即可．
解：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：35．
14．
本题主要考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
先设阴影部分的面积是x，得出整个图形的面积是，再根据几何概率求解即可．
解：设阴影部分的面积是x，则整个图形的面积是，
则这个点取在阴影部分的概率是．
故答案为：．
15．公平
本题考查了简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键．先求出他们任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数的所有等可能的结果，再分别找出掷出的点数是奇数、掷出的点数是偶数的结果，然后利用概率公式计算即可得．
解：由题意可知，甲、乙两人任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数共有6种等可能的结果，其中，掷出的点数是奇数的结果有三种，掷出的点数是偶数的结果有三种，
则甲赢的概率为，乙赢的概率为，
所以甲赢的概率和乙赢的概率相等，
所以这个游戏对甲、乙来说是公平的，
故答案为：公平．
16．
连接，作于点，作垂直延长线于点，设，，，在中，则，在中，则，最后可求解.
解：如图，连接，作于点，作垂直于延长线于点，
∵上三点B、C、D将圆三等分
∴，
∵，
设，，
在中，，
∴
∴，
∴
在中，则
同理在中，则
∴
解得：或（不合题意，舍去）
∴
故答案为：.
本题考查了圆的基本性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是与圆有关的综合题，难度适中，解答的关键是认真审题，找到相关联的信息，结合图形，掌握相关知识的运用是解答的关键．
17．(1)10
(2)元
(3)
本题考查的是概率，中位数．
（1）用50减去其余项的人数即可求解；
（2）利用中位数的定义即可得到结果；
（3）根据概率公式求解即可．
（1）解：；
（2）解：共50人，中位数应该是排序后第25人和第26人的平均数，
故中位数为元；
（3）解：∵共50人，零花钱数额不大于10元的有25人，
∴随机抽查一名学生，抽到一周内零花钱数额不大于10元的同学概率为：=．
18．(1)
(2)
本题考查了待定系数法进行求二次函数的解析式，二次函数的平移性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用待定系数法进行求二次函数的解析式，即可作答．
（2）先把二次函数的解析式化为顶点式，，得根据二次函数图象平移规律 “左加右减，上加下减”，进行作答即可．
（1）解：依题意，把点，分别代入中，
得到方程组，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）得，
则
∵该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位．
∴．
19．(1)是的“幸运角”，理由见解析；
(2)或．
本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）利用“幸运角”的定义，说明即可；
（2）连接，利用“幸运角”的定义和等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理列出方程，解方程求得值，再利用等腰直角三角形的性质解答即可．
（1）解：是的“幸运角”，理由如下：
∵是的直径，弦，
∴平分，
即为的垂直平分线，
，
，
，
，
是的“幸运角”；
（2）解：连接，如图：
的“幸运角”为，即，
，
，
，
，
∵直径，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
设，则，在中，
，
，
解得：或，
或．
20．(1)见解析
(2)的半径是
本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于半径的方程．
（1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，从而证明；
（2）设的半径是，由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，即可求出的半径．
（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
设的半径是，
，，
，，
，
，
，
，
，
的半径是．
21．(1)
(2)不公平，见解析
(3)公平
本题围绕概率计算与游戏公平性判断展开．
（）先算从名同学中选男生的概率，用男生人数除以总人数；
（）用树状图法分析从中取张牌，按和的奇偶性决定甲乙参加，因奇数概率大，游戏不公平；
（）换牌为，同样用树状图算出奇偶数概率相等，游戏公平；
（1）解：∵这个班有名同学，其中男生人，女生人，
∴从名同学中随机选取人作为某次活动的记录员，
选到男生的概率是：；
（2）树状图如下：
由树状图可得：从，，，四张扑克牌中任取张，一共有种等可能的结果，
其中牌面数字之和为奇数的结果有种，牌面数字之和为偶数的结果有种，
故牌面数字之和为奇数的概率是：，
牌面数字之和为偶数的概率是，
∵，
∴甲能参加的概率大于乙能参加的概率 ，
∴这个游戏不公平；
（3）树状图如下：
由树状图可得：从，，，四张扑克牌中任取张，一共有种等可能的结果，
其中牌面数字之和为奇数的结果有种，牌面数字之和为偶数的结果有种，
故牌面数字之和为奇数的概率是：，
牌面数字之和为偶数的概率是：，
∴甲能参加的概率等于乙能参加的概率，
∴这个游戏公平；
22．(1)
(2)存在，点P的坐标为或
(3)面积的最大值是8，点P的坐标是．
（1）把点，，代入解析式，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解；
（3）设的延长线交与点N，求出直线的表达式为：，然后设点，则），得，再根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：∵抛物线经过点，，
把点，代入解析式得：
，
解得，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：设，
当时，则有轴，如图，
∴点P的纵坐标为2，
∴，
解得：（舍去）或，
∴；
当时，过点P作轴，垂足为M，如图，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴=，
即，
解得：（舍）或，
∴，
综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为或；
（3）解：设的延长线交与点N，
∵，点C与点B关于x轴对称，
∴，
设直线的表达式为：，
把A，C代入得：
，
解得，
∴直线的表达式为：，
设点，则），
∴
∴，
∵，
∴有最大值，且，
∴当时，的面积最大，最大面积是8，
此时，，
综上所述，面积的最大值是8，点P的坐标是．
本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键．
23．(1)
(2)得不到满分；理由见解析
本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标即可求解；
（2）令，求出落地点坐标即可与进行比较，从而作出判断．
（1）解：由题可知抛物线的顶点为，
故可设关于的函数表达式为，
把起始点代入表达式，得，解得
；
（2）解：该男生在此项考试中得不到满分．
理由如下：
令，即，
解得（负值舍去）．
该男生在此项考试中得不到满分．
24．(1)
(2)4
(3)
（1）先求直线与坐标轴交点，再求关于原点对称点，再用待定系数求解析式即可；
（2）过A、B分别作轴，轴，交于点G，先求直线的“集聚”函数，用反比函数k的几何意义得到，设，，则有，解方程组求解即可；
（3）先求函数的“集聚”函数为，确定为等边三角形，由H、G、M、E四点共圆得，由内心得到，继而确定点I在以H为圆心，为半径的上，而，代入求解即可．
（1）解：对于直线，令，则，
∴，
∴与x轴交于，
令，则，
∴与y轴交于，
由题意得“集聚”函数与x，y轴交点为，
设，
代入得
，
解得：
∴直线的“集聚”函数为；
（2）过A、B分别作轴，轴，交于点G，
同（1）可求的“集聚”函数为
由反比例函数k的几何意义知，
∴，
∴，
设，
∴有，
再将A、B代入得：，
联立得：
解得：，
∴，
∴．
（3）解：，顶点为
∴函数的“集聚”函数为，
与轴交点，
令，则，解得或，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∵H、G、M、E四点共圆，
∴
∵I为内心，
∴，
∵，而，
∴点I在以H为圆心，为半径的上，而，
∴弧长为．
本题考查了二次函数的综合运用，涉及到一次函数，反比例函数k的几何意义，三角形的内心等知识点，熟练掌握基本知识是解题的关键．
