2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数定点定比定值问题（含答案）

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二次函数定点定比定值问题
第一部分基础知识储备：
一、一次函数过定点
y= kx,必过定点(0,0);y= kx+5,必过定点(0,5);y= kx+k,必过定点(-1,0);
y= kx+5k-3,必过定点(-5,-3);
方法就是将所有含有参数K的式子放一起，把K提出来，令其系数为0即可，求出此时的x和y，即为所求定点。因为此时K无论取多少，其系数都为0，所以与K无关，恒过一个定点。
二、二次函数中的直线过定点
引例一：如图(1)，在平面直角坐标系中，A、B为抛物线 上的两点,OA⊥OB,AB交y轴于点P结论：直线AB必过定点P(0， ).
证明：∵点A、B在二次函数 的图像上,∴设A(m,am ) ,B(n,an )∴ 即 ∴直线AB为: 化简得： 直线AB必经过定点
拓展延伸：如图(2)，在平面直角坐标系中，C、D为抛物线 上的两点，点E为抛物线的顶点,EC⊥ ED,CD 交对称轴于点Q
结论：直线CD必过定点
证明：如图(3)，通过平移抛物线 得到抛物线 顶点 则 因此直线CD必过定点
三、二次函数中的截距长度
二次函数与一次函数的两个交点间的距离，我们称之为截距长度。这种主要体现的是方程函数的思想和数形结合的思想，要求熟练掌握一次函数、二次函数、二次方程、韦达定理等内容。
引例二：如图，抛物线 与直线y= kx+m交于点A(xA,yA)、B(x ,yB),
结论：
证明:在Rt△ABC中, 即
四、二次函数中焦半径线段比
引例三：如图，过点 的直线交抛物线 于点A、B，(这个点叫做抛物线的焦点，高中才学)结论： (AF,BF叫做抛物线的焦半径，高中才学)
证明：设A(x ,y ),B(x ,y ),∵直线AB经过点 ∴设直线AB为：
联立得：
由引例二可知
当a<0时也满足，
拓展延伸：如图，过点 的直线交抛物线 于点C、D,
结论：
证明：根据抛物线平移变化几何性质不变的特点，
通过平移抛物线 得到抛物线 顶点
则 因此
五、线段倍数和差乘除关系定值
这种情况通常有两种思路，一种是用字母分别表示出两段线段，最后作和差即可，字母会消掉。第二种思路是利用等量关系转化其中的线段，转化的手段主要是相似和全等三角形、三角函数。
第二部分：典型例题分析
例 1 如图，在平面直角坐标系xDy中，抛物线 的顶点为点P,与x轴交于点A(4,0),B(点B位于点A左侧)，与y轴交于点C.
(1)求c与b之间的关系，并求出点P的坐标(用含b的代数式表示)；
(2)若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形，求b的值；
(3)在(2)的条件下，过点P作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点M，N(点M位于点N左侧)，探究直线MN是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解答】(1)把A(4,0)代入 得4+4b+c=0,∴c=-4b-4,
∴抛物线的顶点P的坐标为(
(2)在抛物线 中,令x=0,得y=-4b-4,∴C(0,-4b-4),
∵抛物线的对称轴为直线x=-2b，点B与点A关于对称轴对称，
∴B(-4b-4,0),∴OB=OC=4b+4,∴△BOC是等腰直角三角形,∴∠OBC=∠OCB=45°,
∵△ABC是直角三角形,且∠ABC=45°,0°<∠BAC<90°,
∴∠ACB=90°,∴∠ACO=∠ACB-∠OCB=90°-45°=45°,
A,即4b+4=4,∴b=0;
(3)由(2)得:b=0,∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点为P(0,-4),如图,过点P作直线l∥x轴,过点N作NE⊥l于点E,过点M作MF⊥l于点F,则∠NEP=∠PFM=90°,∴∠PNE+∠NPE=90°,
∵PM⊥PN,∴∠MPF+∠NPE=90°,
∴∠PNE=∠MPF,
设 则F(m,-4),E(n,-4),
设直线MN的解析式为y=kx+d，则 解得：
∴直线MN的解析式为 故直线MN一定经过定点(0，0).
例 2 (成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (m为常数)的图象与x轴交于点A(-3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线 (a,b,c为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B.
(1)求m的值及抛物线的函数表达式；
(2)若P是抛物线对称轴上使 的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程.
【解答 经过点 解得
∴直线解析式为
∵抛物线 对称轴为：x=1,且与x轴交于A(-3,0),∴另一交点为B(5,0),设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5),
∵抛物线经过 解得 ∴抛物线解析式为
(2)要使 的周长最小，只需.AP+CP最小即可.
如答图2，连接BC交x=1于P点，因为点A、B关于：x=1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时.AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度).
∴直线BC解析式为 即P(1,3).
令经过点P(1，3)的直线为y=kx+b,则k+b=3,即b=3-k,则直线的解析式是：y=kx+3-k,
联立化简得：
).
根据两点间距离公式得到：
M
∴ k ).
又) ) ;
同理
∴1 ).
为定值.
例 3 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的表达式；
(2)如图，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值 若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【解答】(1)∵抛物线 经过点A(-1,0),B(3,0),
解得：
∴该二次函数的表达式为
(2)抛物线 的对称轴为直线x=1,
∴E(1,0),
设 且-1设直线AQ的解析式为y=ex+f,则
解得：
∴直线AQ的解析式为
当x=1时，
同理可得直线BQ的解析式为
当x=1时，
故EM+EN的值为定值
第三部分：针对提高训练
练 1 在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+m(k≠0)与抛物线 相交于A，B两点.(点A在点B的左侧)
(1)如图1，若A、B两点的横坐标分别是-1，2，求直线l的关系式；
(2)如图2，若直线l运动过程中，始终有OA⊥OB，试探究直线l是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
练 2 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx-3(k≠0)与抛物线 相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点B关于y轴的对称点为B'.
(1)当k=2时,求A,B两点的坐标;
(2)连接OA,OB,AB',BB',若△B'AB的面积与△OAB面积相等,求k的值
(3)试探究直线AB'是否经过某一定点.若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
练 3 如图，已知二次函数 过点(2,1),(0,0),且图象关于y轴对称. 直线AB为过点 F(0,1)的动直线，与二次函数 的图象于第一、二象限分别交于点A，B.
(1)求二次函数的解析式.
(2)求证: 为定值.
练 4 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x-1)(x+3))的图象与x轴交于点A，B(A在B的左边)，且经过点C(-2，3)，P为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及点P的坐标；
(2)平面内一动点H自点C出发，先到达x轴上的某点M，再到达y轴上某点N，最后运动到点P，求使点H运动的总路径最短的点M、点N的坐标，并求出这个最短总路径的长；
(3)如图，过点C的直线l与抛物线有唯一的公共点，将直线l向下平移交抛物线于D，E两点，连BD交y轴正半轴于F，连BE交y轴负半轴于G，试判断|OF-OG|是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
练 5 如图，抛物线 与x轴交于点A,B. 与y轴交于点C. 连接AC,BC. 已知 的面积为2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N(2，0).点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E.连接AD并延长交MN于点F.在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值 若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【练1】解:(1)当x=-1时, 则点 同理可得,点B(2,2),
将点 A、B的坐标代入直线 l的表达式得： 解得： 即直线l的表达式为：
(2)存在,理由:
分别过点A、B作AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N,
∵OA⊥OB,则∠AOM+∠BON=90°,∴∠BON+∠OBN=90°,
∴∠AOM=∠OBN,∴tan∠AOM=tan∠OBN,由(2)知，A、B的坐标分别为 即 即 解得 st=-4,
由(2)知 st=-2m=-4,解得:m=2,即直线l的表达式为:y= kx+2,
即直线l过定点，定点为(0，2).
【练2】解:(1)当k=2时,直线为y=2x-3,由 得： 或
∴A(-3,-9),B(1,-1);
(2)当k>0时,如图:
∵△B'AB 的面积与 △OAB 的面积相等,∴OB'∥AB,∴∠OB'B=∠B'BC,
∵B、B'关于y轴对称,∴OB=OB',∠ODB=∠ODB'=90°,
∴∠OB'B=∠OBB',∴∠OBB'=∠B'BC,
∵∠ODB=90°=∠CDB,BD=BD,∴△BOD≌△BCD(ASA),
∴OD=CD,在y= kx-3中,令x=0得y=-3,∴C(0,-3),OC=3,
在 中，令 得 解得 或
把 代入y= kx-3得：
解得
当k<0时,过B'作B'F∥AB交y轴于F,如图:
在y= kx-3中,令x=0得y=-3,∴E(0,-3),OE=3,∵△B'AB的面积与△OAB的面积相等,∴OE=EF=3,
∵B、B'关于y轴对称,∴FB=FB',∠FGB=∠FGB'=90°,∴∠FB'B=∠FBB',
∵B'F∥AB,∴∠EBB'=∠FB'B,∴∠EBB'=∠FBB',∵∠BGE=90°=∠BGF,BG=BG,∴△BGF ΔBGE(ASA),∴GE=GF= EF=
在 中，令 得 解得x= 或
把 代入y= kx-
3得: 解得
综上所述，k的值为 或
(3)直线 AB'经过定点(0,3),理由如下:由 得：
设 二根为a,b,∴a+b=-k, ab=-3,A(a,-a ),B(b,-b ),
∵B、B'关于y轴对称,∴B'(-b,-b ),
设直线AB'解析式为y= mx+n,将A(a,-a ),B'(-b,-b )代入得:
解得：
∵a+b=-k, ab=-3,∴m=-(a-b)=b-a=
∴直线AB'解析式为 令x=0得y=3,∴直线AB'经过定点(0,3).
【练3】解:(1)∵函数经过(0,0),∴c=0,∵图象关于y轴对称,∴b=0,∵函数经过点(2,1),
(2)设直线AB的解析式为y= kx+b,∵直线AB为过点F(0,1),∴b=1,∴y= kx+1,联立方程组 整理得， 设A(xA,yA),B(xB,yB),
∵A点在第二象限，B点在第一象限， >0,∴xA+xB=4k,xA·xB=-4,
为定值1；
【练4】解:(1)把C(-2,3)代入y=a(x-1)(x+3),可得 ∴P(-1,4);
(2)如图1中,
作点C关于x轴的对称点C''，点P 关于y轴的对称点P',连接C'P'交x轴于点M,交y轴于点N,得C'(-2,-3),P'(1,4),此时点H运动的总路径最短，
(3)如图,过点D,E分别作DK⊥y轴于点K,EH⊥y轴于点H.
设直线l的表达式为y= kx+b,将C(-2,3)代入得到b=2k+3,
∴y= kx+2k+3,
由 得到 由△=0可得
∴k=2,
设DE为y=2x+m,E(x ,y ),D(x ,y ),由 得
由△DKF∽△BOF,△BOG∽△EHG,
可得
将 代入上式，可得|OF-OG|=2.
【练5】解:(1)如图,
1),
∴A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,
∵△ABC的面积为2,即 OC=2,∴OC=1,∴C(0,1),
将C(0,1)代入 ,得:-3a=1,∴a ∴该二次函数的解析式为 +1;
(2)分两种情况：
①当PQ在x轴的上方时，如图2，
设点P的纵坐标为m，当y=m时， 1=m,
解得：
∴点P的坐标为 点Q的坐标为 m)，∴点G的坐标为 0)，点H的坐标为(
∵矩形PGHQ为正方形，
解得： (舍),
②当PQ在x轴的下方时,m<0,同理可得m=-6 ∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6 或
(3)如图,
设点 延长BD交y轴于K,∵A(-1,0),设AD的解析式为:y= kx+b,
则 解得：
∴AD的解析式为：
当x=2时,
∴F(2,3-n),∴FN=3-n,
同理得直线BD的解析式为： +1,∴K(0,n+1),∴OK=n+1,∵N(2,0),B(3,0),∴BB= ,∵EN∥OK,∴BK=BNB=
∴OK=3EN,
∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3-n=4,
∴在点D运动过程中,3NE+NF为定值4.