2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与角度和差问题（含答案）

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二次函数与角度和差问题
第一部分：基础知识储备
角度和差问题是一类比较复杂的问题，学了前面的三个类型，学一块就相对比较轻松了，对于基本功要求较高，解决的核心思想是转化角度，主要分为两类：
类型一：三个角之间有一个是特殊角，比如两个角之和等于45°、90°、180°等。
这一类题目中必然含有隐形的特殊角，要注意观察和计算，这样就可以构成角度和差从而进行角度的等量转换，一般情况下找这个角相关的相似或全等三角形即可求解。特殊角比如：直线与x轴形成的夹角，90°的角平分线等，45°一般都是等腰直角三角形中的内角，三边有特殊比例。30°所对的直角边等于斜边的一半。60°容易出现等边三角形，可以利用三线合一的基本性质。下面左图中一次函数的|K|=1，直线与x轴成的锐角度数为45°；一次函数的 直线与x轴成的锐角度数为60°；一次函数的 直线与x轴成的锐角度数为30°；互补180°或者找不到等角可以考虑隐形圆、四点共圆来构造同弧所对的圆周角相等。这些基本性质要非常熟练，对于转化角度帮助巨大。
类型二：三个角都不是特殊角。
难点主要是要转化角度，常见的辅助线是作对称、作平行线、作线段相等构造等腰三角形等，这样就可以得到很多的等角，利用等量代换最后转化成两角相等，最后利用三角函数、相似或全等三角形、勾股定理、二次方程来处理即可。如上右图，过点A作AC∥BO，则. ；过B点作y轴对称B'，则. =∠AB'O;作DB=DA,则∠ABO=∠DAB.
第二部分：典型例题分析
例 1 如图，抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(4,0),与y轴交于点C. 连接AC,BC,点P在抛物线上运动.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当. 时，求点 P的坐标；
【解答】(1)∵A(-1,0),B(4,0)是抛物线 与x轴的两个交点，且二次项系数
∴根据抛物线的两点式知，
(2)根据抛物线表达式可求C(0，2)，即( △AOC∽△COB,∴∠ACO=∠CBO,∴∠QAB=∠QAC+∠CAO=∠CBA+45°+∠CAO=∠ACO °,设P(m,n),且过点P作PD⊥x轴于D,则△ADP是等腰直角三角形,∴AD=PD,即m+1=-n①,又∵P在抛物线上, 4)②,联立①②两式,解得m=6(-1舍去),此时n=-7,∴点P的坐标是(6,-7).
例 2 如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO=∠ABC 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)设抛物线的表达式为 故-3a=3，解得a=-1，故抛物线的表达式为
(3)存在,理由:①当点P在BC上方时,由点B、C的坐标知,OB=OC=3,则∠OCB=∠OBC=45°,过点C作CH∥PB交x轴于点H,如图,则∠PBC=∠BCH,则∠OCB=∠OCH+∠BCH=45°,∵∠CBP+∠ACO=∠ABC=45°,即∠OCA=∠OCH,而CO⊥AH,故OA=OH=1,故点H(1,0),由点C、H的坐标得,直线CH的表达式为y=-3x+3,∵PB∥CH,则直线PB的表达式为y=-3(x-3)②，联立①②并解得 或 故点P的坐标为(2,3);
②当点P在BC下方时，同理可得PB的表达式为 联立①③并解得 或 故点P的坐标为 综上，点P的坐标为(2，3)或
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点A(-2,0)和点B(4,0).
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；
(2)点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当. 时，求t的值.
练 2 如图，抛物线 与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m.连接CP，是否存在点 P，使得. ，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由.
练 3 已知抛物线的解析式 与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-1,0)抛物线与y轴正半轴交于点C，△ABC面积为6.
(1)如图1，求此抛物线的解析式；
(2)P为第一象限抛物线上一动点，过P作. ，垂足为点G，设点P的横坐标为t，线段PG的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
(3)如图2，在(2)的条件下，过点B作CP的平行线交y轴上一点F，连接AF，在BF的延长线上取点E，连接PE，若 ，求点P的坐标.
【练1】解：(1)设抛物线的表达式为 -x ),则 即-8a=4,解得 故抛物线的表达式为y=
(2)在OB上取点E(2,0),则∠ACO=∠OCE,∵∠OCA=∠OCB-∠OMA,故∠AMO=∠ECB,过点E作EF⊥BC于点F,
在RtΔBOC中,由OB=OC知,∠OBC=45°,
则
由点B、C的坐标知，
则
则
则 则OM=6,
故CM=OM±OC=6±4=2或10,则t=2或10.
【练2】解:假设存在点 P使得∠BCO+2∠BCP=90°,即0∵∠BCO+2∠PCB=90°,∠BCO+∠BCM+∠MCF=90°,∴∠MCF=∠BCP,延长CP交x轴于点M,∵CF∥x轴,∴∠PCF=∠BMC,∴∠BCP =∠BMC∴△CBM为等腰三角形,
∵BC=5,∴BM=5,OM=8,∴M(8,0),
∴直线CM的解析式为： 令 解得 或x=0(舍)，∴存在点P满足题意，此时
【练3】解:(1)当x=0时,y=3,C(0,3),∴OC=3,∵B(-1,0),∴OB=1,∴S△ABC= ×3×AB=6,∴AB=4,∴OA=AB-OB=3,∴A(3,0),将A，B的坐标代入抛物线的解析式 得， 解得 +3，即抛物线的解析式为
(2)作PD⊥x轴交AC于点E,如图,
∵OA =OC,∴∠A =45°,∵∠A +∠EDA =∠PEA,∠P+∠PGE=∠PEA,∠EDA=∠PGE= 设直线AC的解析式为y= kx+b,∵A(3,0),C(0,3), 解得 直线AC为y=-x+3,设P(t,-t +2t+3),∵PD⊥x轴,∴E(t,-t+3),∴PE=-t +2t+3+t-3 ∵P为第一象限抛物线上一动点，∴0(3)如图. 过点P作PN⊥BE交BE于点N,过点C作CH⊥BE于点H,过点A作AG⊥BE于点G,设BE与AC交于点M,∵∠BEP+∠PEN=180°,∠AFE+∠BEP=180°,∴∠PEN=∠AFG,∵∠PNE=∠AGF=90°,PE=AF,∴△PEN≌△AFG(AAS),∴PN=AG,∵CP∥BE,∴四边形CPNH是矩形,
∴PN=CH=AG,∵∠CMH=∠AMG,∠CHM=∠AGM,∴△CMH≌△AMG(AAS),∴CM=AM, 求得直线BM的解析式为 ,∵CP∥BM,∴直线CP的解析式为 解得 或