2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与倍半角问题（含答案）

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二次函数与倍半角问题
第一部分：基础知识储备
当我们题目出现一个角是另外一个角的2倍的时候，我们称这一类问题是倍半角问题。当然也有可能出现3倍角或者两个小角和差等于另外一个角的2倍之类的情况，都属于这一大类问题。常见方法如下
方法一：将这个二倍角直接进行平分，辅助线为作大角角平分线或者作平行线。
若∠AOB是二倍角，则作OC平分∠AOB，这样就会出现∠AOC=∠COB，若再作一条平行线，根据内错角相等，则会出现∠AOC=∠COB=∠ODP.根据等角就会出现角度的转化和边长的转化。
方法二：将小角作为等腰三角形的底角构造一个等腰三角形，辅助线为作线段相等，此时等腰三角形的顶角的补角即为二倍角。
若∠AOC是小角，则可以在OC取点B，作BP=OP，则根据三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和可得,∠APB=∠AOC+∠OBP=2∠AOC. 同样的思路,再作BD=BP,则∠PDB=∠APB=∠AOC+∠OBP=2∠AOC.如果是求点坐标，容易出现漏解，需要注意一下。
方法三：如果前面两个方法都无法直接求出，则需要分析两个等角所在几何图形，考虑是否构造全等三角形，或者通过等角的三角函数值相同来解决相关问题。
第二部分：典型例题分析
类型一：有公共边一构造等腰三角形
例 1 如图，抛物线 交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=x-5经过点B,C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A的直线交直线BC于点M.连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标.
【解答】(1)当x=0时，y=x-5=-5,，则C(0,-5),
当y=0时，x-5=0,解得x=5,,则B(5,0),
把B(5,0),C(0,-5)代入 得 解得
∴抛物线解析式为
②作 于N, 轴于H，作AC的垂直平分线交BC于. ,交AC于E,如图,
为等腰直角三角形，
易得AC的解析式为y=5x-5,，E点坐标为 设直线 的解析式为
把 代入得 解得 ∴直线 的解析式为
解方程组 得 则
在直线BC上作点. 关于N点的对称点 ，如图2，则
设
综上所述，点M的坐标为 或
例 2 (内蒙古呼和浩特)如图，抛物线 经过点B(4,0)和点C(0,2),与x轴的另一个交点为A,连接AC、BC.
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标；
(2)如图，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作. 轴,分别交BC、x轴于点M、N,当 中有某个角的度数等于 度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标.
【解答】(1)把点B(4,0)和点C(0,2)代入,得 解得：
∴抛物线的解析式为 令y=0,则 解得：
∴点A(-1,0);
(2)∵点B(4,0),C(0,2),∴OB=4,OC=2,∴tan∠OBC=OC/OB= 设直线BC的解析式为y=kx 把点B(4,0),C(0,2)代入得: 解得：
∴直线BC的解析式为 设点 则
1、若∠PCM=2∠OBC,过点C作CF∥x轴交PM于点F,如图甲所示,∴∠FCM=∠OBC,即 轴,∴CF⊥PQ,∴PM=2FM,
解得:a=2或0(舍去),∴点P的横坐标为2;
2、若∠PMC=2∠OBC,∵∠PMC=∠BMN,
∴∠BMN=2∠OBC,∵∠OBC+∠BMN=90°,∴∠OBC=30°,与 相矛盾，不合题意，舍去；
3、若∠CPM=2∠OBC,如图乙,过点P作PG平分∠CPM,则∠MPG=∠OBC,∵∠PMG=∠BMN,
∴△PMG∽△BMN,∴∠PGM=∠BNM=90°,∴∠PGC=90°,∵PG平分∠CPM,
即. 解得 或0(舍去)，∴点P的横坐标为
综上所述，点P的横坐标为2或
第三部分：针对提高训练
类型二：无公共边二倍角-利用锐角三角函数
练 1 如图所示，二次函数 的图象与一次函数y=kx-k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k<0.
(1)求A、B两点的横坐标；
(2)二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC=2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
练 2 二次函数 的图象经过点A(-4,0),B(1,0),，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作. 轴于点D.
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC,当. 时，求直线BP的表达式；
类型三：半角问题
练 3 若一次函数y=-3x-3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为(3，0)，二次函数y= 的图象过A,B,C三点,如图(1).
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图(1),过点C作( 轴交抛物线于点D，点E在抛物线上(y轴左侧)，若BC恰好平分 求直线BE的表达式；
倍半角问题
【练1】解：(1)将二次函数与一次函数联立得：k(x- 解得:x=1和2,故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；
(2)存在,理由:
①当点B在x轴上方时，过点B作BH⊥AE于点H，过点A作∠HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MN⊥AB于点N,过点B作BK⊥x轴于点K，
图中:点A(1,2)、点B(2,k+2),则AH=-k,HB=1,设:HM=m=MN,则BM=1-m,
则 b,由勾股定理得： 即:(1-m) = 解得：
在△AHM中,
解得： 此时k+2>0,则-2②当点B在x轴下方时，同理可得： 解得： 或 此时k+2<0,k<-2,故舍去 故k的值为：. 或
【练2】解:(1)∵二次函数 的图象经过点A(-4,0),B(1,0),
解得：∴二次函数的表达式为
(2)如图,设BP与y轴交于点E,
∵PD∥y轴,∴∠DPB =∠OEB,∵∠DPB =2∠BCO,∴∠OEB=2∠BCO,
∴∠ECB=∠EBC,∴BE=CE,∵C(0,4),B(1,0),∴OC=4,OB=1,
设OE=a,则CE= BE=4-a,在 RtΔBOE 中,
解得： 设BP 所在直线表达式为y= kx+b(k≠0),
解得： ∴直线BP 的表达式为
【练3】解:(1)一次函数y=-3x-3的图象与x轴,y轴分别交于A，C两点，
当x=0时,y=-3,当y=0时,0=-3x-3,解得x=-1,∴点A(-1,0),C(0,-3),
将点 A、B、C的坐标代入抛物线表达式得 解得
故抛物线的表达式为：
(2)如图：设直线BE交y轴于点M，从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x=1，
∵CD∥x轴交抛物线于点D，∴点D的横坐标是2，当x=2时,y=x -2x-3=-3,∴D(2,-3),
由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB=∠DCB=45°,∵BC恰好平分∠DBE,故∠MBC=∠DBC,而BC=BC,∠BCD=∠OBC=∠MCB=45°,
故△BCD≌△BCM(ASA),∴CM=CD=2,故OM=3-2=1,故点M(0,-1),
设直线BE的表达式为:y= kx+b,则 解得 故直线BE的表达式为：