2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与等角问题（含答案）

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二次函数与等角问题
第一部分：基础知识储备
方法一、两等角顶点相同时利用对称出等角
如图(1)，两等角有公共边OB，公共顶点点B，用轴对称构造等角，构造∠CBO=∠ABO；
方法二、两等角顶点不同时利用平行线构造等角
如图(2)，两等角有公共边OB，顶点分别是公共边的两个端点点O，点B，可利用平行线构造等角，构造∠DOB=∠OBA.
如图(3)，在同一个图中构造以上两种等角及出现了我们熟悉的几何基本模型：平行线+角平分线=等腰三形，及△EBO为等腰三角形.
方法三、出现等角可以通过构造两个角所在三角形相似来解决。参考前面相似三角形存在性问题。
方法四、出现等角可以利用等角三角函数值相同来解决，分别表示出或者求出三角函数值建立等式。
方法五、出现等角也可以构造隐形圆，利用同弧所对圆周角相同来解决。与上一个专题特殊角第二个方法类似。
第二部分：典型例题分析
类型一：有公共边-作平行线或对称(构造等腰三角形)
例 1 在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A(-1,0)和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为(1,-4).
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上且满足. ，求点P的坐标；
【解答】(1)∵顶点D的坐标为((1,-4),∴设抛物线的解析式为
将点A(-1,0)代入，得 解得：(
∴该抛物线的解析式为
(2)∵抛物线对称轴为直线
设直线BD解析式为y=kx+e,
解得：
∴直线BD解析式为y=2x-6,
①当点P在直线BC的上方时，如图，过点C作 交抛物线于点P ，
设直线 的解析式为y=2x+d,将C(0,-3)代入,得-3=2×0+d,解得:d=-3,∴直线( 的解析式为y=2x-3，结合抛物线 可得 解得： (舍), 故P (4,5);
②当点P在直线BC的下方时，
连接CD，取BD的中点F，连接CF并延长交抛物线于点P，过点D作DT⊥y轴于点T，
∵B(3,0),C(0,-3),D(1,-4),
∴OB=OC=3,CT=DT=1,
∵∠BOC=∠CTD=90°,
∴△BOC和△CDT均为等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠DCT=45°,
∴∠BCD=180°-45°-45°=90°,
∵点F是BC的中点，
∴CF=BF=DF,
∴∠PCB=∠CBD,
即F(2,-2),设直线CF的解析式为 则解得： ∴直线CF的解析式为 3,由 解得:x=0(舍去)或
综上所述，符合条件的P点坐标为：P
第三部分：针对提高训练
类型二：无公共边-利用锐角三角函数
练 1 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴相交于O，A两点，顶点 P的坐标为(2，-1).点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC=∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；
类型三：无公共边(相似型)等角-利用三角函数
练 2 如图：抛物线 与x轴交于A、B两点，点A的坐标是(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标；
(2)过点C作( 对称轴于点P，连接BC交对称轴于点D，连接AC、BP，且 求抛物线的解析式；
【练1】解:(1)∵抛物线 顶点P的坐标为(2,-1),∴h=2,k=-1,即抛物线y=a(x 为 ∵抛物线y=a(x- 经过O，即 的图象过(0,0), 解得 ∴抛物线的函数表达为
(2)在 中,令y=x得 解得x=0或x=8,∴B(0,0)或B(8,8),
①当B(0,0)时,过B作BC∥AP交抛物线于C,此时∠ABC=∠OAP,如图:
在 中,令y=0,得 解得x=0或x=4,∴A(4,0),
设直线AP解析式为y= kx+b,将A(4,0)、P(2,-1)代入得：
解得 ∴直线AP 解析式为y ∵BC∥AP,∴设直线BC解析式为y 将B(0,0)代入得b'=0,
∴直线BC解析式为 由 得 此时为点O，舍去)或 ∴C(6,3);
②当B(8,8)时,过P作PQ⊥x轴于Q,过B作BH⊥x轴于H，作H关于AB的对称点M，作直线BM交抛物线于C，连接AM，如图：
∵P(2,-1),A(4,0),∴PQ=1,AQ=2,RtΔAPQ中，
∵B(8,8),A(4,0),∴AH=4,BH=8,Rt△ABH中,
∵H关于AB的对称点M,∴∠ABH=∠ABM,∴∠ABM=∠OAP,即C是满足条件的点,设M(x,y),
∵H关于AB的对称点M,∴AM=AH=4,BM=
两式相减变形可得x=8-2y，代入 即可解得 (此时为H，舍去)或
设直线BM解析式为y= cx+d,将 B(8,8)代入得;
解得 ∴直线BM解析式为y 解 得 或 (此时为B，舍去)，
综上所述，C坐标为(6，3)或
【练2】解：(1)对称轴是直线
∵点A(1,0)且点A、B关于x=2对称,∴点B(3,0);
(2)点A(1,0),B(3,0),∴AB=2,∵CP⊥对称轴于P,∴CP∥AB,
∵对称轴是直线x=2,∴AB∥CP且AB=CP,∴四边形ABPC是平行四边形，
设点C(0,x)(x<0),在 Rt△AOC 中, AC=
在Rt△BOC中,
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP,∴△BPD∽ΔBCP , ∴ BP = BD·BC , 即 ,x =-
∵点C在y轴的负半轴上，∴点C(0,- ),∴y=
∵过点(1,0),. 解得：
∴抛物线解析式是：