2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与特殊角问题（含答案）

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二次函数与特殊角问题
第一部分：基础知识储备
特殊角一般是30°,45°,60°,90°,120°,135°,150°以及他们的和差角,比如75°,15°。
类型一：定点为特殊角顶点-构造直角三角形
引例1:已知A(1,1)、B(6,3),求x轴上的点P坐标,使得∠PAB=45°.
【解析】因为点P在x轴上，是直线AP与x轴的交点，所以只需要求直线AP的解析式，已知点A(1，1)，那么只需要在直线AP上再找一个点即可，已知∠PAB=45°，因此构造等腰直角三角形，再造一线三垂直全等，有以下两种构造方式：
如图二:由一线三垂直可得△ADB≌△BEC,所以BE=AD=2,CE=BD=5,所以E(8,3),C(8,-2),所以直线AC的解析式为： 所以点P的坐标为
如图三:设点C(m,n),则D(1,n)、E(6,n),所以AD=1-n,CD=m-1,CE=6-m,BE=3-n,由一线三垂直可得△ADC≌△CEB,所以 即解得 所以 又因为点A(1，1)，所以直线AC的解析式为： 所以点P的坐标为
类型二：动点为特殊角顶点-构造隐形圆
引例2:已知A(1,1)、B(6,3),求x轴上的点P坐标,使得∠APB=45°.
【分析】因为AB为定值，∠APB=45°为定弦定角，所以联想到隐形圆，根据圆周角定理可得：圆心角为∠AMB=90°;
如图二，以AB为斜边向下构造等腰直角三角形AMB，则点M为圆心；
如图三，构造一线三直角，可得△ACM≌△MDB 即可求出点M坐标为 同类型一。设点P(t，
0),因为MA=MP,所以
解得： 所以点P的坐标为 或
第二部分：典型例题分析
例1 如图，抛物线 与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,已知B(3,0).
(1)求m的值和直线BC对应的函数表达式；
(2)Q为抛物线上一点,若∠ACQ=45°,求点Q的坐标;
【解答】(1)∵抛物线 经过点B(3,0),
解得:m=0(舍去)或m=-1,
∴抛物线的解析式为
令x=0,得y=-3,∴C(0,-3),
设直线BC的函数表达式为y=kx+b，
则 解得： ∴直线BC的函数表达式为y=x-3；
(2)令y=0,得 解得：
∵C(0,-3),∴OC=3,
如图,在x轴上取点E(4,0),在x轴下方过点E作ED⊥x轴,使DE=1,连接AD,CD,设CD交抛物线于点Q,则D(4,-1),
∴AE=OE-OA=3=OC,DE=OA,∠AED=∠COA=90°,
∴△ADE≌△CAO(SAS),
∴AD=AC,∠DAE=∠ACO,
∵∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠DAE+∠CAO=90°,
∴∠CAD=90°,
∴∠ACD=45°,即∠ACQ=45°,
设直线CD的解析式为y= mx+n,
则 解得：
∴直线CD的解析式为
由
解得： (舍去),
例2 如图,已知抛物线y=a(x+2)(x-4)(a为常数,且a>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C，经过点B的直线 与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；
(2)在(1)的条件下，直线BD上是否存在点E，使∠AEC=45° 若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)抛物线y=a(x+2)(x-4),令y=0,解得x=-2或x=4,∴A(-2,0),B(4,0),把B(4,0)代入直线 中，b=3，∴直线的解析式为 当x=-5时, ∵点 在抛物线y=a(x+2)(x-4)上, ∴抛物线的函数表达式为：
(2)在(1)的条件下，二次函数的解析式为： 当x=0时,y=-2,∴C(0,-2),∴OA=OC=2，如图3，以O为圆心2为半径画圆，在 上取一点 过点O作OF⊥BD于F,
在直线 中， ∴直线BD与⊙O相离,∴∠AEC<45°,∴在直线BD上不存在点E,使∠AEC=45°.
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，抛物线 经过点A(-1,0),B(4,0),交y轴于点C;
(1)求抛物线的解析式(用一般式表示)；
(2)将直线BC绕点B顺时针旋转 ，与抛物线交于另一点E，求BE的长.
练 2 (江苏苏州)如图，在二次函数 n是常数，且m>0)的图像与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为D.其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F. 连接AC,BD.
(1)求A，B，C三点的坐标(用数字或含m的式子表示)，并求 的度数；
(2)若∠ACO=∠CBD,求m的值;
(3)若在第四象限内二次函数 (m是常数，且m>0)的图像上，始终存在一点P，使得 ，请结合函数的图像，直接写出m的取值范围.
练 3 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点坐标为C(3，6)，并与y轴交于点B(0，3)，点A是对称轴与x轴的交点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP，求 的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴AC的右侧作 交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点 Q，使 若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【练1】解:(1)∵抛物线 经过点A(-1,0),B(4,0),. 解得 ∴抛物线解析式为
(2)∵AO=1,OC=2,OB=4,AB=5,∴AC=
∴△ABC为直角三角形，
即BC⊥AC，如图，设直线AC与直线BE交于点F,过F作FM⊥x轴于点M,
由题意可知∠FBC=45°,∴∠CFB=45°,∴CF=
即 解得OM=2, 即 解得FM=6,∴F(2,6),且B(4,0),
设 直 线 BE 解 析 式 为 y = kx +m ,则 可 得 解得
∴直线BE解析式为y=-3x+12,
联 立 直 线 BE 和 抛 物 线 解 析 式 可 得解得 或
∴E(5,
【练2】解:(1)当y=0时, 解方程，得 ∵点A在点B的左侧,且m>0,∴A(-1,0),B(2m+1,0). 当x=0时,y=2m+1. ∴C(0,2m+1). ∴OB=OC=2m+1. ∵∠BOC=90°,∴∠OBC=45°.
(2)如图,连接AE. ∵y=-x +2mx+2m+1=-(x-m) +(m+1) ,∴D(m,(m+1) ),F(m,0).∴DF=(m+1) ,OF=m,BF=m+1. ∵点A,点B关于对称轴对称,∴AE=BE.
∴∠EAB=∠OCB=45°. ∴∠CEA=90°. ∵∠ACO=∠CBD,∠OCB=∠OBC,
∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC,即∠ACE=∠DBF. ∵EF∥OC,∴tan∠ACE=AECE= m>0,∴解方程,得m=1.
设PC与x轴交于点Q，当P在第四象限时，点Q总在点B的左侧，此时∠CQA>∠CBA,即∠CQA>45°. ∵∠ACQ=75°,∴
∠CAO<60°. ∴tan∠CAO<
∵OC=2m+1,∴2m+1< 解得m< 又
【练3】解:(1)抛物线顶点坐标为C(3,6),∴可设抛物线解析式为 将B(0,3)代入可得
(2)连接PO,
由题意,BO=3,AO=3,设
∴当 时,S△ABP的最大值为
(3)存在，设D点的坐标为 过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则 2t+3,∵∠ACD=30°,∴2DG=DC,在Rt△CGD中， 或t=3(舍),∴D(3+3 ,-3),∴AG=3,GD=3 ,连接AD,在RtΔADG中,∴AD=√AG +GD =6,∴AD= AC=6,∠CAD=120°，∴在以A为圆心，AC为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时， 设Q(0,m),AQ为圆A的半径, 或m ，综上所述：Q点坐标为(0，3 )或(0,