2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与全等三角形的存在性（含答案）

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二次函数与全等三角形的存在性
第一部分：基础知识储备：
一、全等三角形的判定方法
判定1：三边对应相等，即SSS；
判定2：两边及其夹角对应相等，即SAS；
判定3：两角及其夹边对应相等，即ASA；
判定4：两角及其一角的对边对应相等，即AAS；
判定5：直角三角形中，有一条直角边和一条斜边对应相等，即HL；
说明：在解决二次函数全等三角形的存在性时，运用判定234相对较多.
二、解题方法和策略
二次函数中全等三角形的存在性问题，通常情况下需要分类讨论，一般有两种解题思路：
策略1：先找到一组对应角相等，再通过全等找到对应边，建立两组对应边的等量关系解决问题；
策略2：先找到一组对应边相等，再通过全等找到对应角或边相等，建立两组对应等量关系解决问题；
三、找等角的方法；
1.公共角或钝角必对应为相等角；2.平行线中同位角、内错角相等，此时可以借助直线解析式K来判断；3.相等角三角函数值必相等，借助正切值进行判断；4.注意 等特殊角.
第二部分：典型例题分析
例 1 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，将抛物线 向上平移1个单位得到抛物线 点Q(m,n)在抛物线( 上，其中m>0且n<0,，过点P作 轴交抛物线 于点P，点M是x轴上一点，当以点P、Q、M为顶点的三角形与 全等时，点M的横坐标为
【解答】∵
设
如图，过点Q作 垂足为H，在 中，
在 中
在 中，
在 中，
由 ,
解得 由 解得a=-2(舍)或a=4.∴点M的横坐标为4.由对称性，另外一个点M横坐标为0.
例 2 (陕西西安三模)如图，抛物线 经过 三点，线段BC与抛物线的对称轴l交于点D，该抛物线的顶点为P，连接PA，AD，线段AD与y轴相交于点E.
(1)求该抛物线的表达式和点P的坐标；
(2)在y轴上是否存在一点Q，使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)设抛物线的解析式为： 将C(0,3)代入得:( 3，解得 ∴抛物线的解析式：
(2)存在,
设直线BC的解析式：y=kx+b，依题意得： 解得 ∴直线BC的解析式为：y 当 时,y 4, ：l是抛物线的对称轴,点D在l上,∴AD=BD. ∴∠ABD=∠BAD=30°. ∴∠ADB=120°. ∴∠ADF=∠BDF=60°. ∴∠ADP=120°,△QCD和△APD中,CD=PD,且点Q在y轴上,当点Q在CD上方,∠DCQ=∠ADP=120°,CQ=AD时,△QCD≌△APD,设点Q(0,y),则CQ=y-3,即y-3=4,解得y=7,∴Q(0,7),当点Q在CD下方时,∠CDQ=120°,此时点Q在抛物线的对称轴上.
综上,当△QCD≌△APD时,点Q的坐标为(0,7).
例 3 如图，二次函数 的图象交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于C点,连结AC,过点C作CD⊥AC交AB于点D.
(1)求点D的坐标；
(2)如图，在直线BC上取一点M(不与点B重合)，在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与 全等 若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)令:x=0,则 令y=0,则 解得： =6,∴A(-4,0),B(6,0),∴OA=4,OB=6. ∵CD⊥AC,∴∠ACD=90°,∵CO⊥AD,∴OC =
①如图， MN交y轴于K,
则
②如图， ,则CN=CB=3 ,∠MCN=∠DBC,∴CN∥AB,∴N(3 ,3).
③如图，
则
作 轴于R，则
作 轴， 于点Q，则
综上所述，满足要标的N点坐标有：
第三部分：针对提高训练
练 1 如图定义：对于抛物线 (a、b、c是常数，a≠0),若 ，则称该抛物线为黄金抛物线.例如： 是黄金抛物线.
(1)请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；
(2)若抛物线 (a、b、c是常数,a≠0)是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x轴的公共点个数的情况(要求说明理由)；
(3)将黄金抛物线 沿对称轴向下平移3个单位.
①直接写出平移后的新抛物线的解析式；
②设①中的新抛物线与y轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，动点Q在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P，使以点P、Q、B为顶点的三角形与 全等 若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明.
练 2 如图，抛物线 与x轴交于点A(-3,0),点B，点D是抛物线y 的顶点，过点D作x 轴的垂线，垂足为点C(-1,0).
(1)求抛物线y 所对应的函数解析式；
(2)如图，将抛物线y 平移后得到顶点为B的抛物线 点P为抛物线 上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y 于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y 于点R.当以点P，Q，R为顶点的三角形与 全等时，请直接写出点P的坐标.
二次函数与全等三角形的存在性
【练1】解:(1)答:如 2x+4等;(2)依题意得 ∴当b=0时,△=0,此时抛物线与x轴有一个公共点，当b≠0时，△<0，此时抛物线与x轴没有公共点；
(2)①抛物线 向下平移3个单位得到的新抛物线的解析式为
②存在.
如图：若BQ=AO，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P,P点的坐标为:(0,-1),(1,-1),
此时,△AOB≌△BQP;若BQ=BO,过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点P，令 解得： 或 ∴ P 点的坐标为： 此时,△AOB≌△PQB;综上所述，有四个符合条件的点P的坐标：(0，-1)，
【练2】(1)由题意得: 解得 抛物线y 所对应的函数解析式为y=
(2)∵抛物线y 平移后得到y ,且顶点为B(1,0),∴ 即 设 则
PQ=1-m,QR=2-2m,∵△PQR与△ACD全等,∴当PQ=DC且QR= AC时,m=0,∴P(0, ),R(2,- ),当PQ= AC且QR=DC时，无解；
②当点P在Q点下方时，同理：PQ=m-1,QR=2m-2,可得
综合可得P点坐标为(0, 或