2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与相似三角形的存在性（含答案）

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二次函数与相似三角形的存在性
第一部分：基础知识储备：
一、相似三角形的判定方法
判定1：两角对应相等，两三角形相似；
判定2：两边比例且夹角相等两三角形相似；
判定3：三边成对应比例两三角形相似；
判定4：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成三角形与原三角形相似，简称：“平行截相似”.
说明：在解决二次函数相似三角形的存在性时，一般只会运用判定1和判定2.
二、解题方法和策略
二次函数中相似三角形的存在性问题，通常情况下需要分类讨论，一般有两种解题思路：
策略1：两边比例且夹角相等两三角形相似。先找到一组对应角相等，再通过相似找到对应边成比例，建立两组对应边的比例关系分别解决问题；
策略2：两角对应相等，两三角形相似。先找到一组对应角相等，再通过找到另一组角相等，利用平行关系或者等腰三角形的关系解决问题.
三、找等角的方法；
1.公共角或者钝角必对应为相等角；2.平行线中同位角、内错角相等，此时可以借助直线解析式K来判断；
3.相等角三角函数值必相等，借助正切值进行判断；4.注意90°、60°、45°、30°等特殊角.
第二部分：典型例题分析
题型一：单动点
类型一：公共角是对应角
例 1如图，抛物线 与x轴交于点A(-1,0),,点B(3,0),与y轴交于点C,且过点D(2,-3).点Q是抛物线 上的动点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线OQ与线段BC相交于点E，当 与 相似时，求点Q的坐标.
【解答】(1)函数的表达式为：y=a(x+1)(x-3),，将点D坐标代入上式并解得：(a=1,故抛物线的表达式为：
故 与 相似时，分为两种情况：
①当 时，
过点A作 于点H，
解得： 则 则tan∠ACB=2,
则直线OQ的表达式为:y=-2x…②,
联立①②并解得： 或
故点 或
②∠BAC=∠BOQ时,
则点Q(n,-3n),
则直线OQ的表达式为:y=-3x···③,
联立①③并解得：
故点 或
综上 , 当 △OBE 与 △ABC 相似时 , Q 的 坐标为: 或 或 或
类型二：平行构造相等角
例 2 如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线 交于A、B两点,其中A(m,0)、B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；
(2)如图，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)把A(m,0),B(4,n)代入y=x-1得:m=1,n=3,∴A(1,0),B(4,3), 经过点A与点B, 解得： 则二次函数解析式为
(2)存在
易得直线CD解析式为y=x-5,设Q(x,x-5),
由题意得:∠BAD=∠ADQ=45°,
当△ABD∽△DAQ时, 即
解得：
由两点间的距离公式得：
解得： 或 此时 或 (舍去);
当△ABD∽△DQA时, 即
解得:x=2或x=4,此时Q(2,-3)或(4,-1)(舍去),
综上，点Q的坐标为(2，-3)或
类型三：计算三角函数得相等角
例 3已知抛物线 与x轴分别交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)点F是线段AD上一个动点，如图，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似 若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由.
【解答】(1)∵抛物线 过点A(-3,0),B(1,0),
解得：
∴抛物线解析式为
.顶点D的坐标为(-1,4);
(2)∵在Rt△AOC中,OA=3,OC=3,
∵D(-1,4),C(0,3),A(-3,0),
∴△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°.
在Rt△ACD中,
在Rt△OBC中,
∴∠CAD=∠OCB,∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=45°,∴∠FAO=∠ACB,
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，
则可分两种情况考虑：
当∠AOF=∠ABC时,△AOF∽△CBA,∴OF∥BC,
设直线BC的解析式为y= kx+b,
解得： ∴直线BC的解析式为y=-3x+3，∴直线OF的解析式为y=-3x,设直线AD的解析式为y= mx+n,
解得： ∴直线AD的解析式为 解得：
当∠AOF=∠CAB=45°时,△AOF∽△CAB,
∵∠CAB=45°,∴OF⊥AC,
∴直线OF的解析式为 解得：
∴F(-2,2).
综合以上可得F点的坐标为 或(-2,2).
题型二：双动点
类型一：构造两边成比例
例 4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点P为线段BC上一动点(点P不与点B，C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q，当△PQC与△ABC相似时,求△PQC的面积.
【解答】(1)函数表达式为： ,即-4a=4,解得:a=-1,故抛物线的表达式为： 函数顶点
(2)过点P作y轴的平行线交抛物线和x轴于点Q、H,∵OB=OC=4,∴∠PBA=∠OCB=45°=∠QPC,直线BC的表达式为:y=-x+4,则 设点 点P(m,-m+4),
①当△CPQ∽△CBA,
即 解得：
相似比为：
②当△CPQ∽△ABC,
同理可得：相似比为：
利用面积比等于相似比的平方可得：
或 类型二：构造两直角边成比例
例5 如图，已知二次函数的图象过点O(0，0)，A(8，4)，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x=3.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)P是x轴上的点,过P作. 轴与抛物线交于Q.过A作. 轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标.
【解答】(1)∵抛物线过原点，对称轴是直线x=3,，∴B点坐标为(6，0)，设抛物线解析式为y=ax(x-6),把A(8,4)代入得 解得 ∴抛物线解析式为 即
(2)设 ∴当 时， 即 即 解方程 得 (舍去), ，此时P点坐标为(14,0);解方程 得 )(舍去), ，此时P点坐标为(-2,0);∴当 时， 即 即 解方程 得 (舍去), 此时P点坐标为(8，0)；解方程 得 (舍去), ,此时P点坐标为(4,0);综上所述,P点坐标为(14,0)或(-2,0)或(4,0)或(8,0).
类型三：构造直角
例6 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线 经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作 轴于点C，交直线AB于点E.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是否存在点D，使得 和 相似 若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
【解答】(1)在 中，令x=0,得y=3,令y=0,,得x=4,∴ A(4,0),B(0,3),将A(4,0),B(0,3)分别代入抛物线 中，得：
解得： ∴抛物线的函数表达式为：
(2)存在. 过点B作BH⊥CD于H,设C(t,0),则
∵△BDE和△ACE相似,∠BED=∠AEC,∴△BDE∽△ACE或△DBE∽△ACE
①当△BDE∽△ACE时,∠BDE=∠ACE=90°,此时BD∥AC,可得
②当△DBE∽△ACE时,∠BDE=∠CAE,∵BH⊥CD,∴∠BHD=90°,
即:BH·AC=CE·DH
解得： (舍), (舍), 综上所述，点D的坐标为 或
类型四：构造相等的锐角
例7 如图，抛物线 经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于E.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得ΔCDE中有一个角与∠CFO相等 若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)由题意，得 解得 抛物线的函数表达式为
(2)存在.假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，
∵点F为AB的中点，
过点B作BG⊥BC,交CD的延长线于G点,过点G作GH⊥x轴,垂足为H,如图
①若∠DCE=∠CFO,
∵△GBH∽BCO,
∴GH=8,BH=6,∴G(10,8),设直线CG的解析式为y= kx+b',
解得
∴直线CG的解析式为解得 或x=0(舍).
②若 同理可得 同理可得，直线CG的解析式为解得 或x=0(舍),
综上所述，存在点D，使得 中有一个角与 相等，点D的横坐标为 或
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E(2,6),且 与 的面积之比为3：2.
(1)求直线AD和抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且 与 相似，直接写出点Q点的坐标.
练 2 如图，已知抛物线 经过 的三个顶点,其中点A(0,1),点B(9,10),AC∥x轴.
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当 与 相似时，求点E的坐标.
练 3 如图，以D为顶点的抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3.
(1)求抛物线的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与 相似 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
练4 如图，已知抛物线 与直线 交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作 交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与 相似 若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
练5 如图,已知抛物线经过点A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m，0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
(2)点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与 相似 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
练 6 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 经过点A(-2,0),B(8,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)当与 相似时，求点P的坐标.
二次函数与相似三角形存在性
【练1】解:(1)∵△ABE与△ABC的面积之比为3:2,E(2,6),∴C(0,4),D(0,2),
设直线 AD 的解析式为 y = kx +b,由题意得 解得 直线 AD的解析式为y=2x+2,
∴A(-1,0). 抛物线经过A、C、E三点,得 所求抛物线的解析式为：y=
(2)∵当Q 在第三象限时△ABQ为钝角三角形，不与△ADF相似，∴答案为两个.
当△ABQ 与△CED 相似时,由(1)有 B(4,0),
①若 即 AQ=2 ,Q(1,4)或(-3,-4)(舍去)
②若 即 或 (舍去).综上所述，Q点的坐标为Q(1，4)或( ,5).
【练2】解:(1)∵抛物线 经过点A(0,1) 和点 B(9,10), 解得 ∴这条抛物线的解析式为 +1.
(2)如图所示:过点D作DK⊥AC,垂足为K.
∵点D是抛物线 的顶点，
∴D(3,-2). ∴K(3,1)
∴CK=DK=3. 又∵∠CKD=90°,∴△CDK是等腰直角三角形∴∠DCK=45°
又∵∠BAC=45°,∴∠DCK=∠BAC.
∴要使△CDE与△ABC相似时，则点E在点C的左侧.当 时，则 ∴EC=2,∴E(4,1).
当 时，则
∴EC=9. ∴E(-3,1).
综上所述，当△CDE与△ABC相似时，点E的坐标为E(4,1)或E(-3,1).
【练3】解:(1)把x=0代入y=-x+3,得:y=3,∴C(0,3)把y=0代入y=-x+3,得:x=3,∴B(3,0)将C(0,3)、B(3,0)代入 得： 解得
∴抛物线的解析式为
(2)如图,
连接AC,把y=0代入 解得:x=-1或x=3,
又∵∠AOC=DCB=90°,∴△AOC∽△DCB.
∴当Q的坐标为(0,0)时,△AQC∽△DCB,过点C作CQ⊥AC,交x轴于点Q.
∵△ACQ为直角三角形,CO⊥AQ,
∴△ACQ∽△AOC.
又∵△AOC∽△DCB,∴△ACQ∽△DCB, 即 解得:AQ=10. ∴Q(9,0). 综上所述,当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时,以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似.
【练4】解:(1)将A(0,3),C(-3,0)代入函数解析式,得
解得 抛物线的解析式是y
(2)存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似,
在Rt△BEC中,∵BE=CE=1,∴∠BCE=45°,
在RtΔACO中,∵AO=CO=3,∴∠ACO=45°,
过点P作PG⊥y轴于G点,∠PGA=90°,设P点坐标为
①当∠PAQ=∠BAC时,△PAQ∽△CAB,
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠CAB,∴△PGA
即 解得x =1,x =0(舍去),
∴P点的纵坐标为 6),
②当∠PAQ=∠ABC时,△PAQ∽△CBA,
∵∠PGA=∠ACB=90°,∠PAQ=∠ABC,∴△PGA 即 解得 (舍去),x =0(舍去)综上所述,存在点P(1,6).
【练5】解:(1)由抛物线过点A(-1,0)、B(4,0)可设解析式为y=a(x+1)(x-4),将点C(0,2)代入,得:-4a=2,解得: 则抛物线解析式为
(2)如图所示：
∵QM∥DF,∴∠ODB=∠QMB,分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时,△DOB∽△MBQ,则
∵∠MBQ=90°,∴∠MBP+∠PBQ=90°,
∵∠MPB=∠BPQ=90°,∴∠MBP+∠BMP=90°,
∴∠BMP=∠PBQ,∴△MBQ∽△BPQ,∴BMBQ= 即 解得： =4,当m=4时,点P、Q、M均与点B重合,不能构成三角形,舍去,∴m=3,点Q的坐标为(3,2);
②当∠BQM=90°时,此时点Q与点A重合,ΔBOD∽△BQM',此时m=-1,点Q的坐标为(-1,0);
综上,点Q的坐标为(3,2)或(-1,0)时,以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.
【练6】解:(1)把A(-2,0),B(8,0)代入抛物线y= 得：
(2)∵A(-2,0),B(8,0),C(0,4),∴OA=2,OB=8,OC=4,
∴∠ACB=90°,∴△COA∽△BOC,当△PDC与△COA相似时,就有△PDC与△BOC相似，∵相似三角形的对应角相等，∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO,
(I)若∠PCD=∠CBO时,即RtΔPDC∽RtΔCOB,此时CP∥OB,∵C(0,4),∴yp=4,∴- t + +4=4,解得: (舍),即 RtΔPDC∽Rt△COB时,P(6,4);
(II)若∠PCD=∠BCO时,即 RtΔPDC∽RtΔBOC,如图，过P作x轴的垂线PG，交直线BC于F，∴PF∥OC,∴∠PFC =∠BCO,∴∠PCD =∠PFC,∴PC=PF,
设 则 过P作PN⊥y轴于N,RtΔPNC中,
解得:n=3,即RtΔPDC∽RtΔBOC时, 综上所述，当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为(6,4)或