2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与等腰直角三角形的存在性（含答案）

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二次函数与等腰直角三角形的存在性
第一部分：基础知识储备
一、等腰三角形的存在性综述
等腰直角三角形是前两节所讲的等腰三角形和直角三角形的一个结合，是介于等腰三角形和直角三角形的一个综合体，等腰三角形的本质是找等腰，找三角形中相等的线段，直角三角形的本质是找直角，找三角形中垂直的线段，因此等腰直角三角形问题本质上是找线段相等且互相垂直的线段，因此，在解决等腰直角三角形的存在性问题时，关键在于寻找使两线段相等且互相垂直的点。
二、等腰三角形的性质
1、等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质；
2、等腰直角三角形的两个锐角为45°，三条边的比值为1：1：
三、确定一个三角形是等腰直角三角形的常见方法
1、确定一个直角，令两条直角边相等；2、确定一个直角，另两个角度相等；
3、确定一个直角，再确定一个角等于45°；4、确定一个三角形有两个45°的角；
5、作正方形的对角线；
四、等腰直角三角形的基本策略
1、遇45°角，想构造等腰直角三角形；
2、遇到等腰直角三角形，常常构造K型全等，如右图；
3、等腰直角三角形，可利用 列方程解决问题；
4、知道了两个定点，确定第三个等腰直角三角形的顶点，常用“两个正方形法”.
如图，若A、B为两个定点，使得△ABC为等腰直角三角形的第3个顶点C是以AB为边长的两个正方形的4个顶点和正方形对角线的2个交点.
五、等腰直角三角形存在性解题思路
1、分类讨论思想：动点构成的等腰直角三角形问题，要分三个角分别可能为直角(或者三条边可能为斜边)分类讨论；
2、数形结合思想与方程思想：画出适合题意的图形，根据等腰直角三角形的边角关系(或4 角的三角函数)构造方程是解决等腰直角三角形相关问题的最常用方法.
第二部分：典型例题分析
例 1二次函数 的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.
(1)求二次函数 的表达式；
(2)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标.
【解答】(1)将点(-1,0),B(4,0)代入
(2)∵BM=5-2t,
∴M(2t-1,0),
设P(2t-1,m),
∵PB=PC,
∴m=4t-5,∴P(2t-1,4t-5),
∵PC⊥PB,
∴t=1或t=2,
∴M(1,0)或M(3,0),
∴D(1,3)或D(3,2).
例 2 如图，抛物线 与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当ΔPMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标.
【解答】(1)将点A(-1,0),点B(3,0)代入
解得
(2)当∠BPM=90°时,PM=PB,
∴M点与A点重合，
∴M(-1,0);
当∠PBM=90°时,PB=BM,
如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G,
∵∠PBM=90°,
∴∠PBH+∠MBG=90°,
∵∠PBH+∠BPH=90°,
∴∠MBG=∠BPH,
∵BP=BM,
∴△BPH △MBG(AAS),
∴BH=MG,PH=BG=2,
设P(1,t),则M(3-t,-2),
解得 或
或
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为
如图2，当P点在M点下方时，
同理可得M(3+t,2),
解得 (舍)或
∴M(1- ,2);
综上所述：M点的坐标为 或 或(-1,0).
第三部分：针对提高训练
练 1 如图所示，抛物线 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当△OMP是以OM为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；
练 2 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图像上有一点点A(-1,1),坐标系内有一点B(2，0)，在抛物线的图像上是否存在一点P，使得 为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【练1】解：二次函数的表达式为 5),则点A、B、C的坐标分别为(-1,0)、(5,0)、(0,2)；②过点P作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线于点F，交x轴于点E，
设点P的坐标为
∵∠MPO=90°,∴∠MPF+∠OPE=90°,
∵∠OPE+∠POE=90°,∴∠POE=∠MPF,
∵∠PFM=∠OEP=90°,PM=PO,∴△PFM≌△OEP(AAS),∴PE=MF,
则 解得 或4或0或 ，故点P的坐标为 或(4,2)或(0,2)或
【练2】存在，设
分三种情况：
①当∠ABP=90°时,. 即 解得:m=-4或1,当m=-4时, 即△BAP不是等腰直角三角形，不符合题意，当m=1时, . BA=PB，即△BAP是等腰直角三角形，符合题意，∴P(1,-3);
②当∠BAP=90°时, 即 解得:m=-1(舍)或-2,当m=-2时, ∴BA=PA,即此时△BAP为等腰直角三角形,∴P(-2,-2);
③当∠BPA=90°时,且BP=AP,有. PB ,如图,
当△BAP为等腰直角三角形时，点P 和P 不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；
综上,点P的坐标是(1,-3)或(-2,-2).