2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与直角三角形的存在性（含答案）

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二次函数与直角三角形的存在性
第一部分 基础知识储备
一、直角三角形的分类标准
如果一个三角形是直角三角形，那么它的三个角都有可能是直角，要分三种情况进行讨论，如若△ABC为直角三角形,分为三种情况:(1)∠A=90°;(2)∠B=90°;(3)∠C=90°.
二、方法一：几何法“两线一圆”法
已知线段AB和直线l，在直线l上找点P，使△ABP为直角三角形
①若∠PAB=90°,则过点A作线段AB的垂线,交直线l于点P ,则△ABP 为直角三角形;
②若∠PBA=90°,则过点B作线段AB的垂线,交直线l于点P ,则△ABP 为直角三角形;
③若∠APB=90°以线段AB为直径作圆，交直线l于点P 、P ，利用直径所对的圆周角为 得 ,则△ABP 、△ABP 为直角三角形.
二、方法二：代数法，勾股法
设点P的坐标为(m,n),求出AB、AP、BP的长度,分类讨论: 求出点P(m，n)，检验看是否有重复和不符合题意的点.
代数法解题步骤：
1.先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出三条线段长度的平方；
2.由A P 列出方程，若方程无解，则点P不存在；若方程有解，则满足的点P存在.
注意：步骤1中表示出三边的平方后先对式子化简，再代入步骤2，如果不化简直接代入步骤2则会化简同样的式子三次，加大计算量.
第二部分 典型例题分析
例1 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(1，1)，点B坐标为(5，3)，在x轴上找一点C使得 是直角三角形，求点C坐标。
方法一：【几何法】两线一圆得坐标
(1)若 为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C
(2)若 为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C
(3)若 为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C.(直径所对的圆周角为直角)
重点还是如何求得点坐标， 求法相同，以( 为例：
方法二：【构造三垂直】
易证 由A、B坐标得 代入得： 故 坐标为
求法相同，以 为例：易证
由A、B坐标得AM=1,BN=3,设 代入得： 即ab=3,又a+b=4,故a=1或3，故 坐标为(2,0),C 坐标为(4,0)
构造三垂直步骤：
第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线；
第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得三垂直相似
方法三：【代数法】表示线段构勾股
还剩下C待求，不妨来求下
(1)表示点:设C坐标为(m,0),又A(1,1)、B(5,3);
(2)表示线段：
(3)分类讨论：当 为直角时，
(4)代入得方程： 解得：
还有个需要用到一个教材上并没有出现但是大家都知道的算法：互相垂直的两直线K之积为-1。
考虑到直线 与AB互相垂直， 可得： 又直线AC过点A(1，1)，可得解析式为：y=-2x+3,所以与x轴交点坐标为 即 坐标为
确实很简便，但问题是这个公式出现在高中的教材上，所以考试时大题不能直接使用，当然用三角函数可以直接证明，在答题中可用于快速验算。
【小结】
几何法：(1)“两线一圆”作出点；
(2)构造三垂直相似，利用对应边成比例求线段，必要时可设未知数
代数法:(1)表示点A、B、C坐标;
(2)表示线段AB、AC、BC;
分类讨论①A AB ；代入列方程，求解。
(如果问题变为等腰直角三角形存在性，则同样可采取上述方法，只不过三垂直得到的不是相似，而是全等)
例 2 (四川广安)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与x轴交于A、C两点,与y轴交于点B,其中点B坐标为(0,-4),点C坐标为(2,0).
(1)求此抛物线的函数解析式.
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
【解答】(1)将B(0,-4),C(2,0)代入 得： 解得：
∴抛物线的函数解析式为：
(2)向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大， 时， ∴A点坐标为:(-4,0),设直线AB关系式为:y= kx+b(k≠0),将A(-4,0),B(0,-4),代入y= kx+b(k≠0),
得： 解得：∴直线AB关系式为：y=-x-4，设直线AB平移后的关系式为：y=-x-4+n,则方程 有两个相等的实数根，即 有两个相等的实数根,∴n=-2,即 的解为:x=-2,
将x=-2代入抛物线解析式得， ∴点D的坐标为:(-2,-4)时,△ABD的面积最大；
(3)①当∠PAB=90°时,即PA⊥AB,则设PA所在直线解析式为:y=x+z,将A(-4,0)代入y=x+z得,-4+z=0,解得:z=4,∴PA所在直线解析式为:y=x+4,∵抛物线对称轴为:x=-1,∴当x=-1时,y=-1+4=3,∴P点坐标为:(-1,3);
②当∠PBA=90°时,即PB⊥AB,则设PB所在直线解析式为:y=x+t,将B(0,-4)代入y=x+t得,t=-4,∴PA所在直线解析式为:y=x-4,∴当x=-1时,y=-1-4=-5,
∴P 点坐标为:(-1,-5);
③当 时，设P点坐标为： ∴PA所在直线K值为： PB在直线K值为： 解得： ∴P点坐标为：
综上所述，P点坐标为：( 时， 为直角三角形.
第三部分 针对训练
练 1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形 若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
练2 如图，已知抛物线 的对称轴为直线x=-1,且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点,其中A(1,0),C(0,3).
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)设点P为抛物线的对称轴；x=-1上的一个动点，求使 为直角三角形的点P的坐标.
练 3 如图，已知一条直线过点(0，4)，且与抛物线 交于A，B两点，其中点A的横坐标是-2.
(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.
(2)在x轴上是否存在点C，使得 是直角三角形 若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由.
练 4 如图，直线y=-2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线 经过A，C两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P为抛物线上一点，若 是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离.
【练1】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),即y=ax -2ax-3a,∴-2a=2,解得a=-1,∴抛物线解析式为：
(2)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图,
∵抛物线与y轴交于点C,∴当时,y=3,∴点C(0,3),设直线AC的解析式为:y= px+q,把C(0,3),)代入得： 解得 ∴直线AC的解析式为y=3x+3,∵AC⊥PC,∴设直线PC解析式为： 把C(0,3)代入得:d=3，∴直线PC解析式为 解方程组 解得 或 则此时点P坐标为 过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，则直线AP的解析式可设为y= 把A(-1,0)代入得 解得e= ∴直线AP的解析式为：
解 方 程 组 解 得 或 则此时点P 坐标为 综上所述，符合条件的点P的坐标为： 或
【练2】解:(1)依题意得: 解之得： ∴抛物线解析式为
∵对称轴为直线x=-1,且抛物线经过A(1,0),∴把B(-3,0)、C(0,3)分别代入直线y= mx+n,得 解之得：
∴直线y= mx+n的解析式为y=x+3;
(2)设P(-1,t),
又∵B(-3,0),C(0,3),
①若点B为直角顶点，则. 即:18+ 解之得:t=-2;
②若点C为直角顶点，则 即:18+ 解之得:t=4,
③若点P为直角顶点，则. 即:4+t 解之得：
综上所述P 的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或 或
【练3】解：(1)∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为- A,点的坐标为(-2,1),
设直线的函数关系式为y= kx+b,将(0,4),(-2,1)代入得 解得 ∴直线 +4，∵直线与抛物线相交， 解得:x=-2或x=8,当x=8时,y=16,∴点B的坐标为(8,16);
(2)连接AC,BC,∵由A(-2,1),B(8,16)可求得
设点C(m,0),同理可得
①若∠BAC=90°,则. 即 ，解得：
②若∠ACB=90°,则. 即 ,解得:m=0或m=6;
③若∠ABC=90°,则. 即 解得:m=32;
∴点C的坐标为(- ,0),(0,0),(6,0),(32,0)
【练4】解:(1)直线y=-2x+10中,令x=0,则y=10,令y=0,则x=5,∴A(5,0),B(0,10),
∵点C是OB中点,∴C(0,5),将A和C代入抛物线 中， 解得：
∴抛物线表达式为：
(2)抛物线表达式为：
∵△APB是以AB为直角边的直角三角形，设点P(n,n -6n+5),∵A(5,0),B(0,10),
当点A为直角顶点时， 解得：n 或5(舍),
当点B为直角顶点时， 解得：n 或
而抛物线对称轴为直线x=3，则 综上：点P到抛物线对称轴的距离为：32或 或