2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与等腰三角形的存在性（含答案）

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二次函数与等腰三角形的存在性
第一部分：基础知识储备
几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法.
一、等腰三角形的分类标准
等腰三角形的分类方法一般利用顶角分类，这样具有顺序性的分类，既不会重复也不会遗漏.如若△ABC为等腰三角形,则可以分为三类:(1)若∠A为顶角,则AB=AC;(2)若∠B为顶角,则BA=BC;(3)若∠C为顶角,则CA=CB.
二、几何法，“两圆一中垂”法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形.
①若AB=AC，以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图(1)所示；
②若BA=BC，以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图(2)所示；
③若CA=CB，作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图(3)所示；
归纳：下面我们将上述三个图形合并成一个，如图(4)所示.
“两圆一中垂”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中都会对C点都有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少.
二、代数法，“两点间距离公式计算”法
(1)两点间的距离公式
如右图，已知：A(x ,y ),B(x ,y ),
则
所以由勾股定理可得：
所以 两点距离公式)
(2)代数法解题步骤：
1.先假设点C存在，分别表示出点A、B、C的坐标，再表示出三边长的平方，
2.由①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB列方程求解,
若方程无解，则点P不存在；若方程有解，则满足条件的点P存在.
几何法适用选择填空题找点的个数，代数法适合计算点的坐标.
注意：步骤1中表示出三边的平方后先对式子化简，再代入步骤2，如果不化简直接代入步骤2则会化简同样的式子三次，加大计算量.
第二部分：典例分析
例1 如图,点A坐标为(1,1),点B坐标为(4,3),在x轴上取点C使得 是等腰三角形.
【解答】：【几何法】“两圆一中垂”得坐标
(1)以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC;
(2)以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC;
(3)作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有(CA=CB.
【注意】若有三点共线的情况，则需排除，作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求.
(1)若 ∴作 轴于H点，AH=1则(
(2)若 同理可求；
(3)若CA=CB,，可用垂直平分线，AB直线解析式为
AB中点坐标D为 根据两直线垂直， 设
令y=0,故 坐标为
而对于本题的C，或许下面的代数法更好用一些.
【代数法】表示线段构相等
(1)表示点:设点C坐标为(m,0),又A点坐标(1,1)点坐标(4,3);
(2)表示线段： ;
(3)分类讨论：AB=AC,BA=BC,CA=CB;
(4)求解得答案.
【小结】几何法：(1)“两圆一线”作出点；(2)利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标.
代数法：(1)表示出三个点坐标A、B、C
(2)由点坐标表示出三条线段: AB、AC、BC;
(3)根据题意要求取(①AB=AC、②BA=BC、③CA=CB;
(4)列出方程求解。
例 2 如图，平面直角坐标系中，二次函数 交x轴于点.A(-4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0,-2),连接AE.
(1)求二次函数的表达式；
(2)抛物线对称轴上是否存在点P，使 为等腰三角形 若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由.
【解答】(1)∵二次函数 经过点A(-4,0)、B(2,0),C(0,6),
解得 所以二次函数的解析式为：
的对称轴为x=-1,
设P(-1,n),又E(0,-2),A(-4,0),
可求
当 时，
解得，n=1,此时P(-1,1);
当 时，
解得， 此时点P坐标为
当 时，
解得， 此时点P坐标为：
综上所述，
P点的坐标为：
例 3 如图，抛物线 交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C,连接AC,BC. 点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m.
(1)求此抛物线的表达式；
(2)过点P作 轴，垂足为点M，PM交BC于点Q.试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
【解答】(1)由二次函数交点式表达式得： ,即：-12a=4,解得: 则抛物线的表达式为
(2)存在,理由:
点A、B、C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,4),
则
设BC的解析式为y=kx+b，将点B、C的坐标代入解得：
解得
设直线AC的解析式为y=k'x+b',则有
解得 直线AC的表达式为：
设线段AC的中点为 过点M与CA垂直，直线的表达式中的k值为
同理可得过点K与直线AC垂直，直线的表达式为：
①当AC=AQ时,则AC=AQ=5,
设:QM=MB=n,则.AM=7-n,
由勾股定理得： 解得:n=3或4,
∵点Q在点B的左侧,∴n=3故点Q(1,3);
②当AC=CQ时,
CQ=5,则
则 故点
③当CQ=AQ时,
联立①②并解得： (舍去);
故点Q的坐标为:Q(1,3)或
第三部分：针对提高训练
练1 如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于A(-1,0),B(3,0)两点, 与y轴相交于点C(0,3)
(1)求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
(2)若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.当△PCM是等腰三角形时，求点P的坐标.
练 2 抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C，D重合).过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PCF的面积为5时,求点 P的坐标;
(3)当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.
练 3 (遂宁)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为(0,-2),求 周长的最小值；
(3)如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标.
【练1】解:(1)将A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y= 得：
解得： ∴二次函数的表达式为
∴二次函数图象的顶点坐标为(1，4).
(2)∵点P的坐标为( 点M的坐标为(t,-t+3),点C的坐标为(0,3),
∴PM=-t +2t+3-(-t+3)=-t +3t,CM=
当PM=PC时,有
∵0当PM=CM时,有
解得： (舍去), ∴点P的坐标为
当CM=PC时,有
∵0得： (舍去),∴点P的坐标为(1,4).综上所述：当△PCM是等腰三角形时，点P的坐标为(2,3)或(3- ,-2+4 )或(1,4).
【练2】解：(1)函数的表达式为：
(2)抛物线的对称轴为x=2,则点C(2,2),设点P(2,m),
将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：函数PB的表达式为： ∵CE⊥PB，故直线CE表达式中的k值为 将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为： 解得:x=2- 故点 解得:m=5或-3,故点P(2,-3)或(2,5);
(3)由(2)确定的点F的坐标得：
m ,
①当CP=CF时,即: 解得：m=0或 (0舍去),
②当CP=PF时,同理可得:
③当CF=PF时,同理可得:m=±2(舍去2),故点 或(2,-2)或 或
【练3】解:(1)∵抛物线 经过点A(-1,0),点(C(0,-3).
∴抛物线的解析式为
(2)如图，设D 为D关于直线AB的对称点，D 为D关于直线BC的对称点,连接D E,D F,D D .
由对称性可知DE=D E,DF=D F,△DEF的周长
∴当D ,E. F. D 共线时,△DEF的周长最小,最小值为D D 的长，
令y=0,则 解得x=-1或3,
∴B(3,0),∴OB=OC=3,∴△BOC是等腰直角三角形,∵BC垂直平分DD ,且D(0,-2),∴D (1,-3),∵D,D 关于x轴对称,∴D (0,2),
∴△DEF的周长的最小值为
(3)∵M到x轴距离为d,AB=4,连接BM.
∴S△ABM=2d,又∵S△AMN=2d,∴S△ABM=S△AMN,
∴B,N到AM的距离相等,
∵B,N在AM的同侧,∴AM∥BN,
设直线BC的解析式为y= kx+m,
则有
∴直线BC的解析式为y=x-3,
∴设直线AM的解析式为y=x+n,∵A(-1,0),
∴直线AM的解析式为y=x+1,
由 解得 或
∴M(4,5),∵点N在射线CB上,∴设N(t,t-3),过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q.
∵A(-1,0),M(4,5),N(t,t-3),
∵△AMN是等腰三角形，
当AM=AN时, 解得
当AM=MN时, 解得
当 AN = MN 时 , 解得
∵N在第一象限,∴t>3,
∴t的值为
∴点N的坐标为 或 或