2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数面积比问题（含答案）

二次函数面积比问题
第一部分 基础知识储备
除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的题型，对面积比例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类，大部分题目的处理方法可以总结为两种，即计算和转化.
一、转换方法
如图,B、D、C三点共线,考虑△ABD和△ACD面积之比。
类型一：共高转底，面积之比化为底边之比：则 S△ABDS△ACD=BDCD.
类型二：共底转高，面积之比化为高之比： S△ABDS△ACD=BNCM=BECE.
二、进阶板转化
在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值，常见有：构造“A”字型相似、“8”字型相似.
“A”字型线段比： S△ABDS△ACD=BDCD=BAAM;
“8”字型线段比： S△ABDS△ACD=BDCD=ABCM.
三、方法总结
面积比问题一般出现在解答题，题目中往往牵涉求面积比的最值，已知面积比求点的坐标等问题，此类问题解决的基本思路几乎都是：将面积比转化为线段比，再将线段比转化为相似比，最后构造“A”型或者“8字”型相似解决问题.
如果是解决面积比的最值问题，我们常见的方法还是将面积比转化成线段比，建立一个新的二次函数，然后用函数的角度来解决最值问题。
第二部分 典型例题分析
例1已知抛物线 y=ax2+bx+3经过点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
(2)如图,连接PB,PO,PC,BC. OP交BC于点D,当 S△CPD:S△BPD=1:2时，求出点D的坐标.
【解答】(1)将点A(1,0)和点B(-3,0)代入函数解析式,
可得 {a+b+3=09a?3b+3=0,解得：
又∵ ?y=?x2?2x+3=?x+12+4,∴.抛物线的顶点坐标为(-1，4)；
(2)如图,过点D作DM⊥y轴,
由 y=?x2?2x+3,,当x=0时,y=3,∴C点坐标为(0,3),设直线BC的解析式为y= kx+b,将B(-3,0),C(0,3)代入,
可得： {?3k+b=0b=3,解得： {k=1b=3,
4762500136525∴直线BC的解析式为y=x+3,
∵SΔCPD:S△BPD=1:2,∴CDBD=12,BDBC=23,
又∵DM⊥y轴, ∴DM‖OB,∴OMOC=BDBC=23,∴OM3=23,
解得:OM=2,
在y=x+3中,当y=2时,x=-1,
∴D点坐标为(-1,2).
例 2 如图，抛物线 y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3.
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD,OD交BC于点F,当 S△COF:S△CDF=3:2时，求点D的坐标.
【解答】(1)∵OB=OC=3.
∴c=3,点B(3,0),
将点B的坐标代入抛物线表达式： y=ax2+2x+3并解得:a=-1,故抛物线的表达式为： y=?x2+2x+3;
(2)如图,过点D作DH⊥x轴于点H,交BC于点M, S△COF:S△CDF=3:2,则OF:FD=3:2,
∵DH∥CO,故CO:DM=3:2,则 DM=23CO=2,
470217599695由B、C的坐标得:直线BC的表达式为:y=-x+3,
设点 Dx?x2+2x+3,则点M(x,-x+3),
DM=?x2+2x+3??x+3=2,
解得:x=1或2,
故点D(1,4)或(2,3).
例 3 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点. P是抛物线上一点，且在直线AB的上方.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标;
(3)如图,OP交AB于点C,PD∥BO交AB于点D. 记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为 S1,S2,
S3.判断 S1S2+S2S3是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
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【解答】:(1)将A(4,0),B(1,4)代入 y=ax2+bx,∴{16a+4b=0a+b=4,解得 {a=?43b=163
5540375246380∴抛物线的解析式为： y=?43x2+163x.
(2)设直线AB的解析式为:y= kx+t,将A(4,0),B(1,4)代入解得
∴S△OAB=12×4×4=8,
∴S△OAB=2S△PAB=8,即 S△PAB=4,过点P作PM⊥x轴于点M,PM与AB交于点N,过点B作BE⊥PM于点E,如图,
∴S△PAB=S△PNB+SΔPNA=12PN×BE+12PN×AM=32PN=4,∴PN=83.
设点P的横坐标为m，. ∴Pm?43m2+163m(1 ∴PN=?43m2+163m??43m+163=83.解得m=2或 m=3;∴P2163或(3,4).
(3)∵PD∥OB,∴∠DPC=∠BOC,∠PDC=∠OBC,
(4)∴△DPC∽△BOC,
∴CP:CO=CD:CB=PD:OB,
∵S1S2=CDCB,CDCB=CPCO,∴S1S2+S2S3=2PDOB.4533900-330200
设直线AB交y轴于点F.则 F0163,
过点P作PH⊥x轴,垂足为H,PH交AB于点G,如图,
∵∠PDC=∠OBC,∴∠PDG=∠OBF,
∵PG∥OF,∴∠PGD=∠OFB,∴△PDG△OBF,
∴PD:OB=PG:OF,
设 Pn?43n2+163n(1 PG=?43n2+203n?163,
∴S1S2+S2S3=2PDOB=2PGOF=38PG=?12n?522+98
. ∵1第三部分 针对提高训练
练 1 在平面直角坐标系中，过点A(3，4)的抛物线 y=ax2+bx+4与x轴交于点B(-1，0)，与y轴交于点C,过点A作AD⊥x轴于点D.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1，点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，连接PD交AB于点Q，连接AP，当 S△AQD= 2S△APQ时，求点P的坐标.
练 2 如图抛物线 y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),点C(0,3),且(OB=OC.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标.
练 3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax2+2x+c与坐标轴分别相交于点A,B,C(0,6)三点,其对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴，直线BC交于点D，E.
①当CD=CE时，求CD的长；
②若 △CAD,△CDE,△CEF的面积分别为 S1,S2,S3,，且满足 S1+S3=2S2,求点F的坐标.
练 4 (湖北黄冈)抛物线 y=x2?4x与直线y=x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D.
(1)直接写出点B和点D的坐标；
(2)如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m(0【练1】解:(1)将点A(3,4),B(-1,0)代入: y=ax2+bx+4,
得： {9a+3b+4=4a?b+4=0,解得 {a=?1b=3,
∴y=?x2+3x+4;
(2)过点P作PE∥x轴,交AB于点E,
∵A(3,4),AD⊥x轴,∴D(3,0),
∵B(-1,0),∴BD=3-(-1)=4,
∵S△AQD=2S△APQ,△AQD与△APQ是等高的两个三角形， ∴PQDQ=12,
∵PE∥x轴,∴△PQE∽△DQB, ∴PEDB=PQDQ= 12,∴PE= 12,∴PE=2,∴可求得直线AB的解析式为y=x+1,
设E(x,x+1),则.P(x-2,x+1),
将点P坐标代入 y=?x2+3x+4得 ?x?22+3(x-2)+4=x+1,解得 x1=3+2,x2=3?2,
当 x=3+2时， x?2=3+2?2=1+2,x+1
=3+2+1=4+2,∴点. P1+24+2;
当 x=3?2时， x?2=3?2?2=1?2,x+1 =3?2+1=4?2,∴P1?24?2,
∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，∴-1【练2】解:((1)∵OB=OC,∴点B(3,0),
则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-3)=a(x?- 2x?3)=ax2?2ax?3a,
故-3a=3,解得:a=-1,故抛物线的表达式为:y= ?x2+2x+3?①,，函数的对称轴为：x=1；
(2)如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵ S△PCB:S△PCA=12EB×(yC?yP):12AE×(yC?yp)=BE:AE,则BE:AE=3:5或5:3,则. AE=52或 32
即：点E的坐标为( 32,0)或( 12,0),
将点E的坐标代入直线CP的表达式：y=kx+3，解得:k=-6或-2,
故直线CP的表达式为:y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8(不合题意值已舍去)，故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).
【练3】解:(1)由题意得: {x=?22a=2,,解得： {a=?12c=6,即表达式为： y=?12x2+2x+6;
(2)令 y=?12x2+2x+6=0,则x=6或-2,即点A、B的坐标分别为:(-2,0)、(6,0);
①设点 Fm?12m2+2m+6,由点A、F得，直线AF的表达式为： y=?12m?6x+2①,
当x=0时, y=?12m?6x+2=6?m,即点D(0,6-m),则CD=6-6+m=m,由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-x+6②，联立①②得: ?12m?6x+2=?x+6,解得:x=2m8?m,则点 E2m8?m6?2m8?m,由点C、E的坐标得， CE=22m8?m,∵CD=CE,即 m=22m8?m,解得:m=0(舍去)或 8?22,则CD=m=8- 22;
②过点E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为点M、N,∵△CAD,△CDE,△CEF同高,则其面积比为边的 比 ，即 S1+S3S2=AD+EFDE=2,∵OD∥EM∥FN,
则 ADDE=AOOM=2OM,EFDE=MNOM,则 S1+S3S2 =AD+EFDE=2OM+MNOM=2,
即 2xE+xF?xExE=2,整理得：3xε-xF=2,由①知， xE=2m8?m,xF=m,
则 3×2m8?m?m=2,解得:m=±4(舍去负值),经检验,m=4是方程的根,则点F(4,6).
【练4】解:(1)令 y=x2?4x=x,解得x=0或x= 5,∴B55;∵y=x2?4x=x?22?4,∴顶点D(2,-4). (2)如图,过点D作DE⊥y轴于点E,∴DE=2,OE=4,∴tan∠DOE= 12,∵tan∠PDO =12,∴ODG=∠DOE,①当点P在线段OD的右侧时,DP∥y轴,如图,∴P(2,0);
②当点P在线段OD左侧时，设直线DO与y轴交于点G，则ΔODG是等腰三角形，
∴OG=DG,设OG=t,则DG=t,GE=4-t,在Rt△DGE中, t2=22+4?t2,解得 t=52,: G0?52,∴直线DG的解析式为： y=?34x? 52,令y=0,则 ?34x?52=0,解得 x=?103,∴ P?1030. 综上，点P 的坐标为(2，0)或 ?1030.
(3)∵点B(5,5)与点M关于对称轴x=2对称,∴M(-1，5).如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N,K,∴N(-1,-1),MN=6,∵点Q横坐标为m,∴Q(m,m?-4m),K(m,m),∴KQ =m?m2?4m=?m2+5m.∵S1=12QK(xB ?xE),S2=12MNxB?xE,∴S1S2=QKMN=?16 m2?5m=?16m?522+2524,∵?16<0,∴当 m=52时， S1S2·的最大值为· 2524.