2026年中考数学二次函数专题复习讲练：面积等积变换求二次函数面积问题（含答案）

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面积等积变换求二次函数面积问题
第一部分：基础知识储备
1.在平面内找出所有的点D使得
解析:如图(1),因为△ABC与△ABD共底,所以要使 则它们的高相等，因为平行线间的距离处处相等，所以过点C作AB的平行线l ，所以点D在直线l 上，但是要注意点D也可能出现在l 的异侧，点D也可以在直线l 关于直线AB的对称直线l 上.
2.在平面内找出所有的点E使得
解析:如图(2),因为△ABC与△ABE共底,所以要使 则△ABE的高是△ABC高的 所以只需要在第一题的前提下，将直线l 向下平移△ABC的高的 个单位长度得到直线l ，点E就在直线l 上，同理点E也可能出现在l 的异侧，点E也可以在直线l 关于直线AB的对称直线l 上.
3.在平面内找出所有的点F使得
解析:如图(3),因为△ABC与△ABF共底,所以要使 则△ABF的高是△ABC高的2倍,所以只需要在第一题的前提下，将直线l 向上平移△ABC的高的2倍个单位长度得到直线l ，点F就在直线l 上，同理点F也可能出现在l 的异侧，点F也可以在直线l 关于直线AB的对称直线l 上.
解题思路：(1)构造等积变形，同底等高的三角形面积相等；(2)等底，面积比等于高之比；(3)通常情况下面积相等或者倍数问题有两种情况.
第二部分：典型例题分析
例1如图，抛物线 与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，抛物线上取一点P，连接PB、PC，若 面积为3，求点P坐标.
【解答】思路1：铅锤法
根据B、C两点坐标得直线BC解析式：y=-x+3,设点P坐标为
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,则点Q坐标为(m,-m+3),
或2或 或 P点坐标(1,4),(2,3),
思路2：构造等积变形
同底等高三角形面积相等.取BC作水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3，可知铅垂高为2，
在y轴上取点Q使得CQ=2，过点Q作BC的平行线，交点即为满足条件的P点.
当点Q坐标为(0,5)时,PQ解析式为:y=-x+5,联立方程： 解之即可.
当点Q坐标为(0,1)时,PQ解析式为:y=-x+1,联立方程： 解之即可.
例 2 如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点 M，连接PB.
(1)在抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)在抛物线上是否存在点Q，使得△QMB等于△PMB的面积的 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在点Q，使得ΔQMB与ΔPMB的面积2倍 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，
∵P点的坐标为(1,4),直线BC的解析式为y=-x+3,
∴过点P与BC平行的直线为y=-x+5,
由 得Q的坐标为(2,3),
∵PM的解析式为x=1,直线BC的解析式为y=-x+3,
∴M的坐标为(1,2),
设PM与x轴交于点E，
∵PM=EM=2,
∴过点E与BC平行的直线为y=-x+1,
由 得 或
∴点Q的坐标为
当Q和P重合时,则Q(1,4);
∴ 使得 与 的面积相等的点 Q 的 坐标为(2，3)，
(2)只需在第1问的前提下将直线PQ向下或者向上平移一个单位长度得：y=-x+4,y=-x+2联立 即可解得点Q的坐标.
(3)只需在第1问的前提下将直线PQ向下或者向上平移一个单位长度得：y=-x+7,y=-x-1联立 即可解得点Q的坐标.
第三部分：针对提高训练
练 1 在平面直角坐标系中，直线y=x+22与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 0)经过点A、B.
(1)求a、b满足的关系式及c的值.
(2)如图,当a=-1时，在抛物线上是否存在点P，使 的面积为1 若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
练 2 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线 与x轴交于另一点C(-1,0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使 若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在抛物线上是否存在一点P，使 若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由
练 3 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 bx+c经过A，B两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若抛物线上有且仅有三个点. 使得 的面积均为定值S，求 这三个点的坐标，并求出定值S的值.
【练1】解:(1)y=x+2,令x=0,则y=2,令y=0,则x=-2,故点A、B的坐标分别为(-2,0)、(0,2),则c=2，则函数表达式为： 将点A坐标代入上式并整理得：b=2a+1；
(2)当a=-1时，二次函数表达式为： 2,
过点P作直线l∥ AB,作PQ∥y轴交BA 于点Q,作PH⊥AB于点H,
∵OA=OB,∴∠BAO=∠PQH=45°,
1,
则PQ= yp-yQ=1,在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，
故:| yp-yQ|=1,设点. 则点Q(x,x+2),即:· ,解得:x=-1或 故点P(-1,2)或( 或(
【练2】解:(1)∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B,∴点A(4,0),点B(0,-2),
设抛物线解析式为:y=a(x+1)(x-4),∴-2= ∴抛物线解析式为：
(2)如图，当点 P 在直线AB上方时，过点O作OP∥AB,交抛物线于点P,
∵OP∥AB,∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，.
解得： 或
∴点P(2+2 ,1+ )或(
当点P"在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE=OB=2,过点E作EP"∥AB,交抛物线于点P",连接AP",BP",∴AB∥EP"∥OP,OB=BE,
∵EP"∥AB,且过点E(0,-4),∴直线EP"解析式为 联 立 方 程 组 可 得
解得 ∴点P"(2,-3),综上所述：点P坐标为 或 或(2,-3);
∴在第(2)问的前提下将直线OP'向上平移2个单位得到直线：
联 立 方 程 组 可 得 解 得： 或 ∴P坐标为(2+ 或
∴在第(2)问的前提下将直线P"E向下平移2个单位得到直线：
联立方程组可得 化简得： 4x+8=0,∵△<0,∴方程没有实数根,∴直线与二次函数无交点，故此种情况不存在.
综上所述：P坐标为 或(2-
【练3】解:(1)当x=0时, ∴点B的坐标为(0,2);当y=0时, 解得：α-4,
∴点A的坐标为(-4,0). 将A(-4,0),B(0,2)代入 得： 解得： ∴抛物线的函数表达式为
(2)作直线P D∥AB，使得该直线与抛物线y= 只有一个交点P ，且与y轴交于点D.设直线P D的解析式为
将 代入 中，整理，得：
∵两函数图象只有一个交点， -4)=0,∴k=4,∴直线P D的解析式为 +4,点D的坐标为(0,4).
联立直线P D和抛物线的解析式成方程组，得： 解得：
∴点P 的坐标为(-2,3).
过点B作BN⊥P D于点N.
∵点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(0,2),
∴OA=4,OB=2,AB=2
∵P D∥AB,∴∠BDN=∠ABO,
∴sin∠BDN=sin∠ABO,
即
由对称性，可知直线P P 过原点，∴直线P P 的解析式为
联立直线P P 和抛物线的解析式成方程组，得： 解 得 : ∴点P 的坐标为 )，点P 的坐标为
综上所述：P ，P ，P 这三个点的坐标分别为(-2，3),(-2-2 ,-1- ),(-2+2 ,-1+ ),定值S=4.