2026年中考数学二次函数专题复习讲练：铅锤法求二次函数面积最大值（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
铅锤法求二次函数面积最大值
第一部分：基础知识储备
一、铅锤法：如图A、B两点之间的水平距离称为“水平宽”；
过点C作x轴的垂线与AB交点为D，线段CD即为AB边的“铅垂高”.
如图：(三角形的面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半)
二、理论依据：铅锤法求三角形的面积本质是割补法，下面我们用割补法去证明铅锤法的正确性，通常情况下分为两种情况：
类型一：铅锤高在三角形内部 类型二：铅锤高在三角形外部
三、解题方法及步骤
(1)求A、B两点水平距离，即水平宽；(2)过点C作x轴垂线与AB交于点D，可得点D横坐标同点C；
(3)求直线AB解析式并代入点D横坐标，得点D纵坐标；(4)根据C、D坐标求得铅垂高；
(5)利用公式求得三角形面积.
第二部分：典型例题分析
例1 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，连接PB、PC，使得 的面积最大，求面积最大值即此时P的坐标.
方法一：铅锤法
【解答】取BC两点之间的水平距离为水平宽，过P作 轴交直线BC于点Q，则PQ 即为铅锤高.当y=0时， 解得 ,则B(3,0),A(-1,0),当x=0时， 则C(0,3),
根据B、C两点坐标得B、C水平距离为3.
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把B(3,0),C(0,3)代入得 解得
∴直线BC的解析式为y=-x+3,，设P点坐标为 则Q点坐标(t,-t+3),
当 时，三角形PBC面积最大，最大值为
此时P点坐标为
方法二：切线法
【解答】由方法一知直线BC为y=-x+3,
过点P作BC的平行线l，从而设直线l为y=-x+b
联立
由 得
直线l为 此时P点坐标为
此时 的面积最大，最大面积
方法三：对点法
【解答】连接PO，设P点坐标为
当 时，三角形PBC面积最大，
最大值为 ，此时P点坐标为(
方法四：中点法
【解答】面积最大值时，P点横坐标与BC中点横坐标一样，即 此方法可快速用于求值，也可以用来检验结果是否正确，是一个通用方法。本质是第二个方法切线法和方程函数思想的一个结合。证明方法同方法2，l直线与抛物线相切，求出对应的方程的解，即为P点横坐标。只不过为了表示一般性，可以用其他字母表示出来，不用带BC点坐标相关数值进去。l直线与直线BC平行，k值相同，联立BC直线和抛物线，得到一个一元二次方程，此方程的解即为B、C两点横坐标，根据韦达定理，B、C两点横坐标之和可以表示出来，我们会发现刚好是P点横坐标2倍，建议大家自行证明一下。
例 2 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，(OA=1,，经过点A的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D， 的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求. 面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
【解答】(1)将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为 ∴点A的坐标为(-1,0),，代入抛物线的解析式得，4a-2=0, ∴抛物线的解析式为 即
令y=0,则 解得
的面积为5，
代入抛物线解析式得，
解得
设直线AD的解析式为y=kx+b,
解得：
∴直线AD的解析式为
(2)过点E作 轴交AD于M，如图，
设 则
,
∴
当 时， 的面积有最大值，最大值是 此时E点坐标为
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，已知抛物线 经过A(-5,0),B(-4,-3))两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D,连接CD.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B，C不重合)，设点P的横坐标为t.当点P在直线BC的下方运动时，求 的面积的最大值及点P的坐标；
练 2 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l:y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.
(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数解析式(其中k，b用含a的式子表示).
(2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若 CE的面积的最大值为 ，求a的值.
练 3 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴分别交于点A，点B(3,0),与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点，连接AD，交BC于点E，若AE=2ED,求点D的坐标；
(3)直线y=kx-2k+1与抛物线交于M,N两点,取点P(2,0),连接PM,PN,求 面积的最小值.
【练1】解:(1)将点A(-5,0)、B(-4,-3)代入抛物线 得： 解得： ∴该抛物线的表达式为： ①;
(2)令y=0,得: 解得： -5,∴点C(-1,0),
设直线BC的解析式为y=kx+d，将点B、C的坐标代入得： 解得：
∴直线BC的解析式为y=x+1…②,如图，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
设点G(t,t+1),则点.P(t,t +6t+5),∴PG=t+1
有最大值，当 时，其最大值为 此时
【练2】解: 3),
令y=0,得到(x+1)(x+3)=0,∴x+1=0或x+3=0,x =-1,x =3,∴B(3,0),A(-1,0),
∵直线l经过点A(-1,0),∴-k+b=0,即b=k,∴y= kx+k. 令ax -2ax-3a= kx+k,整理得,ax -(2a+k)x-3a-k=0,∵CD=4AC,∴D点的横坐标为4，. ∴直线l的函数表达式为y= ax+a;
(2)过点E作EF∥y轴,交直线l于点F,设E(x,ax -2ax-3a),则F(x, ax+a).
∵a<0,∴S△ACE面积有最大值，最大值为 解得
【练3】解:(1)将B(3,0),C(0,3)代入得:
解得：
∴抛物线的解析式为
∴抛物线的对称轴为x=1,∵B(3,0),∴A(-1,0),∴AB=4,如图，过点D作x轴的平行线，交BC于点F，
设直线BC的解析式为y= kx+n,则
解得： ∴直线BC解析式:y=-x+3,设点
∵DF∥AB.
∴∠FDE=∠BAE,∠DFE=∠EBA,
∴m=1或m=2,∴D(1,4)或(2,3);
(3)∵直线y= kx-2k+1=k(x-2)+1,
∴ 直 线 过 定 点 (2 , 1) , 记 为 点 Q ,
又∵P(2,0),∴PQ∥y轴且PQ=1,
由韦达定理得：
∴当k=-2时, 有最小值2
∴△PMN面积的最小值为