2026年中考数学二次函数专题复习讲练：线段和差最值问题（含答案）

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线段和差最值问题
第一部分：基础知识储备
一、PA+PB最小值模型
模型1：两定一动之“点一点最值”(异侧和最小)
如图，A、B为定点，P为l上一动点，在直线l上确定点P的位置，使得PA+PB的值最小
解析:PA+PB≥AB,当点A、P、B共线时,PA+PB最小,此时点P即为所求.
模型2：两定一动之“点一点最值”(异侧和最小)
如图，定点A、B分别在定直线l的同侧，在直线l上确定点P的位置，使得PA+PB的值最小.
解析:作点A关于直线的对称点A',连接PA',则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB≥A'B,当A'、P、B三点共线的时候，PA+PB值最小，此时点P即为所求.
方法总结：同侧点通过作对称转为为异侧点，折线段转化为直线段，两点之间线段最短解决问题.
模型3：一定两动之最值(垂线段最短)
如图，定点P在AB上，M是CA上动点，N是CB上动点，确定M，N的位置，使PM+MN的值最小.
解析:作定点P关于CA的对称点D,连接MD,则MD=PM,所以PM+MN=DM+MN≥ND。过D作CB的垂线,垂足为N',所以PM+MN=DM+MN≥N'D当N、M、D三点共线且DN垂直CB的时候,PM+MN最小,此时点M',N'即为所求.
模型4:一定两动之最值(两次对称+四点共线) . A定点,B、C动点,求AB+BC+AC最小值(A'A")解析:动点B与定点A相连,动点所在直线是OB,OC,作两次对称,AB+BC+AC=A'B+BC+A"C≥A'A'',当A'、B、C、A''四点共线时候,AB+BC+AC取到最小值A'A'。
模型5：两定两动之最值(两次对称+四点共线).
1、如图,A、B定点,M、N动点,求BN+NM+MA最小值(A'B')
2、如图,A、B定点,P、Q动点,求AQ+QP+PB最小值(A'B')
解析：思路参考模型4，定点关于动点所在直线作两次对称之后，三条线段首尾相连，四点共线即可。
模型6：两定两动(两动点之间是定长)之最值(平移+三点共线).
1、如图,A、B定点,M、N动点,MN定长,求BN+MA最小值(AB")
解析：AB是定长。将BN向左平移MN个单位长度得B'M，(也可以将AM向右平移MN个长度)，作对称点A'(当然也可以作B'点的对称点)，此时A'B'与直线的交点就是所求的M点，此时向右移动MN个长度就是N点位置，A'B'即为最小值.
2、如图,A、B定点,M、N动点,MN等于河宽,,求AM+BN+NM最小值(A'B)
解析：将A向上平移MN个单位长度得A'，则AM=A'N，再利用三角形三边关系，知B、N、A'三点共线的时候取到最值.连接BA'，与河对岸交于点N，即为所求点，再做河边垂线，交点即为M点.实际最短路线就是AM—MN—BN.
二、PA-PB最大值模型
模型7：差最大模型(同侧差最大)
如图，定点A、B分布在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大.
解析:|PA-PB|≤AB,当A、B、P三点共线时|PA-PB|=AB,此时|PA-PB|最大.
连接AB，交l于点P，则点P即为所求.
模型8：差最大模型(同侧差最大)
如图，定点A、B分布在定直线l的两侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大.
解析：作点B关于直线l的对称点B'，则 ,当A、B'、P三点共线时， 此时|PA-PB|最大。连接AB',与l交点即为所求P点.
第二部分 典型例题分析
例 1 如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(1,0)、B(5,0)、C(0,4)三点.
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标.
【解答】(1)将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：
则5a=4,解得: 抛物线的表达式为： 函数的对称轴为：x=3，顶点坐标为
(2)连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得： 解得： 直线BC的表达式为： 当x=3时, 故点
例 2 如图所示，抛物线 的顶点坐标为点A(-2，3)，且抛物线 与y轴交于点B(0,2).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P是x轴上任意一点，则当PA-PB最大时，求点P的坐标.
【解答】(1)∵抛物线的顶点坐标为A(-2，3)，∴可设抛物线的解析式为 由题意得： 解得：
∴物线的解析式为 即
(2)∵|PA-PB|≤AB,
∴当A、B、P三点共线时，可得PA-PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点.
设直线AB的解析式为y= kx+b,则: 解得
∴直线AB的解析式为 当 时,解得x=4.
∴当PA-PB最大时,点P的坐标是(4,0).
例 3 如图，抛物线 经过点C(0,3),与x轴交于点A(-1,0)和点B(点B在点A的右边),且OB=OC.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值.
【解答】(1)∵点C(0,3),OB=OC,∴B(3,0),把A、B、C三点坐标代入 得 解得， ∴抛物线的解析式为：
4,∴顶点坐标为(1,4);
把C向下移1个单位得点C',再作C'关于抛物线的对称轴的对称点C'',连接AC'',与对称轴交于点E，再在对称轴上E点上方取点D，使得DE=1,,连接CD,则CD=C'E==C''E,∵C(0,3),∴C'(0,2),∵对称轴是直3,
AE+DE+CD+AC= 的值最小，∴四边形 ACDE的周长的最小值为
例 4 已知抛物线 其顶点为E,与y轴交于点D(0,4).
(1)求抛物线的解析式；
(2)若有两个定点 请在抛物线上找一点K，使得 的周长最小，请求出周长的最小值.
【解答】(1)将D点(0,4)代入 得：4=a+3a,解得
(2)作直线 交y轴于点G，过点K作 直线m交于点H，连接AH，则点
设点K(x,y),则 则 而 即KF=HK,而 (点K位于点D时取等号)，故AK+KF的最小值为 而 故周长的最小值为：
第三部分 针对提高训练
练 1 如图，抛物线 的图象过点A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及 的周长；若不存在，请说明理由；
练 2 如图，已知抛物线 与直线 交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使 的值最大，并求出这个最大值；
练 3 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，直线 交y轴于C，且过点D(6，m)，左右平移抛物线 记平移后的点A对应点为A'，点B的对应点为B'.
(1)求线段AB,CD的长;
(2)当抛物线平移到某个位置时，.A'D+B'D最小，试确定此时抛物线的解析式；
(3)平移抛物线是否存在某个位置，使四边形.A'B'DC周长最小 若存在，求出此时抛物线的解析式和四边形A'B'DC周长最小值；若不存在，请说明理由.
线段和差最值问题
【练1】解:(1)∵抛物线 的图象过点
A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),∴将点A、B、C坐标代入抛物线得： 解得 ∴抛物线的解析式为
(2)存在.如图，连接BC交抛物线对称轴于点P，此时的周长最小.
设BC的解析式为y= kx+3,则3k+3=0,解得k=-1,∴BC的解析式为y=-x+3.
由抛物线的轴对称性可得其对称轴为直线x=1，当x=1时,y=-x+3=2,∴P(1,2).
∴AC= ∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB,∴△PAC的周长=AC+PC+PA=AC+PC+PB
【练2】解:(1)将A(0,3),C(-3,0)代入函数解析式,得 解得 抛物线的解析式是
由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，∴对l上任意一点有MD=MC，
联立方程组 解得 不符合题意，舍)， ∴B(-4,1),当点B,C,M共线时,|MB-MD|取最大值,即为BC的长,过点B作BE⊥x轴于点E,在Rt△BEC中,由勾股定理,
得 取最大值为
【练3】解:(1)令x=0,则y=3,令y=0,则x=1或3,∵A(1,0)、B(3,0),∴AB=2,直线 1,则点C(0,1)、D(6,4),∴CD=3
(2)如图1,作D关于x轴对称点E,EG∥x轴,且EG=AB=A'B'=2,连接DG交x轴于B'，连接A'E,∵A'B'CE是平行四边形,∴A'E=A'D=B'G,∴当D,B',G三点共线时,A'D+B'D=B'D+B'G最小,此时B'(7,0),A'(5,0),则抛物线的解析式为：
(3)如图2,作D关于x轴对称点E,作EF∥x轴,且EF=AB=A'B'=2,连接CF交x轴于A'，连接B'E,B'D,∵A'B'EF是平行四边形,∴B'E=A'F=B'D,∴当C,A',F三点共线时,A'C+B'D=A'C+A'F最小,此时四边形A'B'DC周长最小,
F(4,-4),则直线CF的表达式为: ∴点A'、B'的坐标分别为( ,0)、( ,0),则抛物线解析式为： 四边形A'B'DC的最小周长：