2026年中考数学二次函数专题复习讲练：线段最值及周长最值问题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
线段最值及周长最值问题
第一部分：基础知识储备
1.平面直角坐标系中的水平线段与竖直线段公式
竖直线段：(1)已知点A、B的位置关系则. (2)未知点A、B的位置关系则
水平线段：(1)已知点A、B的位置关系则 (2)未知点A、B的位置关系则
2.抛物线中的竖直线段PQ最值问题解题方法
(1)设出动点P的坐标；(2)表示竖直线段PQ的长；(3)配方求最值.
3.抛物线中的水平线段PM最值问题解题方法
(1)利用三角函数将水平线段转化为竖直线段，在Rt△PQM中， 即
(2)设出动点P的坐标；(3)表示竖直线段PQ的长；(4)配方求最值.
4.抛物线中斜线段PH、QH及△PQH周长最值问题解题方法
(1)利用三角函数将斜线段转化为竖直线段，在Rt△PQH中， 即PH=PQcosα,QH=PQsinα; 故△PQH周长C=PQ+PH+HQ=PQ+PQcosα+PQsinα=(1+cosα+sinα)PQ;
(2)设出动点P的坐标；(3)表示竖直线段PQ的长；(4)配方求最值.
归纳总结：三种类型解题思路均为“化斜为直，改邪归正”，水平线段转化为竖直线段，斜线段转化为竖直线段，周长转化为竖直线段.
第二部分 典型例题解析
例1 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，点M是线段AC下方抛物线上一点，过点M作y轴的平行线与AC交于点N，求线段MN的最大值.
【解答】当y=0时, 解得
当x=0时,
设直线AC的解析式为y= kx+b,
把A(-3,0),C(0,-3)分别代入得解得
∴直线AC的解析式为y=-x-3;
设 则N(t,-t-3),
∴MN有最大值，当 时，MN的最大值为
例 2 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值.
【解答】过P点作PQ∥y轴交BC于Q,如图,
当y=0|时，
解得 则B(3,0),A(-1,0),
当x=0时, ,则C(0,3),
设直线BC的解析式为y= kx+b,
把B(3,0),C(0,3)代入得, 解得
∴直线BC的解析式为y=-x+3,
∵OB=OC=3,∴△OBC为等腰直角三角形,∴∠OCB=45°,
∵PQ∥y轴,∴∠PQM=45°,
∵PM⊥BC,∴△PMQ为等腰直角三角形,. 设 则Q(t,-t+3),
当 时，PM的最大值为
例 3 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，求△DEF周长的最大值；
【解答】(1)令x=0,则y=-3,∴C(0,-3),令y=0,则 解得x=3或x=-1,∴A(-1,0),B(3,0),∴OB=OC=3,∴∠OBC=45°,
∵DE∥y轴,∴∠OCB=∠FED=45°,
F周长 设直线BC的解析式为 解得 设 则E(t,t-3),
∴当 时，DE的值最大，最大值为
∴△DEF周长的最大值为
例4 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点D是直线BC下方抛物线上的动点，连接AD交BC于点E，求 的最小值.
【解答】过点D作DF∥y轴交BC于F,过点A作AG∥y轴交BC于G,
∵A(-1,0),直线BC的解析式为y=x-3,
∴G(-1,-4),
∴AG=4,
设 ,则F(m,m-3),
当DF取最大值时， 有最小值，
∴当 时，DF有最大值 有最小值
第三部分 针对训练
练 1 抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P为AC上方抛物线上的动点，过点 P作 于点D，求PD的最大值.
练 2 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点,B点坐标为(3,0). 与y轴交于点C(0,3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；
练 3 如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 +bx+c经过A，B两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点M是第二象限抛物线上的点，连接OM交直线AB于点C，设点M的横坐标为m，MC，OC的比值为k，求k与m的函数关系式，并求k的最大值；
练 4 如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作. 交 轴于点E，连接AD交BC于点 F，当 取得最小值时，求点D的坐标.
练5 如图，抛物线 与x轴交于A(-1,0),B两点，与y轴交于点C，在直线BC上方的抛物线上有一动点E，过点E作. 轴于G，EG交直线BC于点F，过点E作. 于点D.
(1)求抛物线及直线BC的函数关系式；
(2)设 为为 当 时，求点E的坐标.
练 6 如图，抛物线 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C(0，7)，A、B两点间的距离为8，抛物线的对称轴为x=-3.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，抛物线的顶点为F，对称轴交x轴于点D，点E为抛物线上一点，点E不与点F重合.当-7线段最值及周长最值问题
【练1】解:过点P作PF⊥x轴于点F,交直线AC于点E，如图，
设直线AC的解析式为 解得： ∴直线AC的解析式为 ∵点 P 为 AC 上方抛物线上的动点，∴设点 则 F(m,0
∵∠EPD+∠PED=90°,∠EAF+∠AEF=90°,∠PED=∠AEF,∴∠EAF=∠EPD,
∵∠AOC=∠PDE=90°,∴△AOC∽△PDE,∴ ∴当m=2时，PD有最大值为
【练2】解:(1)把B(3,0),C(0,3)代入 得解得 ∴抛物线的解析式为
(2)易得BC的解析式为y=-x+3,∵直线y=x-m与直线y=x平行,∴直线y=-x+3与直线y=x-m垂直,∴∠CEF=90°,∴△ECF为等腰直角三角形，
作PH⊥y轴于 H,PG∥y轴交BC于G,如图,△EPG为等腰直角三角形，
设P(t,t -4t+3)(1∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF
当t=2时,PE+EF的最大值为4
【练3】解:(1)当x=0时, ∴点B的坐标为(0,2);当y=0时,
解得:x=-4,∴点A的坐标为(-4,0). 将A(-4,0),B(0,2)代入 得： 解得： ∴抛物线的函数表达式为
(2)过点M作ME∥y轴,交直线AB于点E,如图所示.∵点M的横坐标为m，∴点M的坐标为 点E的坐标为 E 即k= ∴当m=-2时,k取得最大值，最大值为1.
【练4】解：对于 令 =0,解得x=-1或3,令x=0,则y=3,故A(-1,0),B(3,0),C(0,3),抛物线的对称轴为直线:x=1;设BC的解析式为y= mx+n,将B、C代入解析式y= mx+n,则
设
∵直线DE∥BC，故直线DE的解析式为： +3t+3,令y=0,解得
∴E(-t +3t+3,0),∵DE∥BC,∴BE=ABAE=
∴当 时， 最小，此时.
【练5】解:(1)把A(-1,0)代入抛物线 -4a中得:
∴抛物线的解析式为： 当y=0时， 解得：
∴B(4,0),当x=0时,y=3,∴C(0,3),设直线BC的解析式为: y = kx+b,则 解得： ∴直线BC的解析式为：
(2) 如图 , 设 则
∵ED⊥BC,EG⊥AB,∴∠EDF=∠BGF=90°,∵∠DFE=∠BFG,∴△BGF ∽△EDF,
∴ ∴5ED=9BG,∵∠DEF=∠OBC,
∴cos∠DEF= 解得：m =3,m =4(舍),∴E(3,3);
【练6】解::(1)∵A、B两点间的距离为8,抛物线的对称轴为x=-3,∴点A、B的坐标分别为(-7,0)、(1，0)，设抛物线的表达式为 a(x+7)(x-1),将点C的坐标代入上式得:y=a(0+7)(0-1)=7,解得a=-1,故抛物线的表达式为
(2)设E(x,y),
①-7则 故当 时，l的最大值为
②-3∴矩形EQDH周长的最大值为