2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与线段交点问题（邯郸啊）

中小学教育资源及组卷应用平台
二次函数与线段交点问题
第一部分：基础知识储备
类型一：二次函数与线段PQ有一个交点的条件有两种情况，下面以二次函数开口向上为例进行讨论；情况一：
(1)线段PQ与二次函数有一个交点的前提是直线PQ与二次函数有交点，即联立二次函数解析式与直线PQ的解析式，得到一元二次方程，△≥0；
(2)线段PQ的两个端点应满足以下条件，下面分3中情况讨论：
①如图(1)点P在开口内，点Q在开口外，即如图(2)点P在开口外，点Q在开口内
②如图(3)点P在图像上，点Q在开口外，即如图(4)点P在图像上，点Q在开口内
③如图(5)点Q在图像上，点P在开口外，即如图(6)点Q在图像上，点P在开口内
情况二：线段PQ与二次函数图像相切，即满足：△=0，且
类型二：二次函数与线段PQ有两个交点有四种情况，下面以二次函数开口向上为例进行讨论；
类型三：二次函数与线段PQ无交点有三种情况，下面以二次函数开口向上为例进行讨论.
第二部分(1)：典型例题分析
类型一、定抛物线与动线段
例 1 点C(0，2)和点D(3，m)为平面直角坐标系内两点，连接CD，若抛物线 与线段CD只有一个公共点，求m的取值范围；
【解答】将x=3代入 中，解得y=4,
∵抛物线 与线段CD只有一个公共点，
例 2点E(2,-2)和点F(t，4)为平面直角坐标系内两点，连接EF，若抛物线 与线段EF只有一个公共点，求t的取值范围；
【解答】将y=4代入 中，解得x=3或x=-2,
∵抛物线 与线段EF只有一个公共点，
例 3 交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，点P是直线AB上的一个动点，将点P向右平移4个单位长度得到点 Q，若线段PQ与抛物线 只有一个公共点，求点 P的横坐标. 的取值范围.
【解答】 交x轴正半轴于点A,交y轴于点B,∴A(2,0),B(0,-2),顶点为 ∴直线AB的解析式为y=x-2,分析得：线段PQ过抛物线顶点或点P在线段AB上时(不与点B重合),即( 抛物线 与线段PQ只有一个公共点，综上所述，点P的横坐标： 的取值范围是( 或
1.方法: 当线段的一端点固定，另一端点运动时，求线段与抛物线的交点个数，利用动点的纵坐标与动点横坐标代入抛物线解析式所得的函数值进行大小比较求解； 2.关键点 找临界点(一般为线段端点)、顶点； 3.数形结合思想 画图有助于分析题目.
第三部分(1)：针对提高训练
练 1 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+2(k≠0)分别与x轴，y轴交于点 A，B，若抛物线 3x+4与线段 AB 有公共点，结合函数图象，求k的取值范围.
第二部分(2)：典型例题分析
类型二、动抛物线(二次项系数a确定)与定线段
例 4 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,2),点B(3,2),抛物线 与线段AB有交点，结合函数图象，求出c的取值范围.
【解答】由题意得，抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为(2,c-4)，即抛物线顶点在直线x=2上上下平移，如图，
①当抛物线的顶点在线段AB上时，c-4=2,解得c=6;
②当抛物线过点A时，将A(-1,2)代入 中，解得c=-3;
③当抛物线过点B时，将B(3，2)代入 中，解得c=5.
结合函数图象得，c的取值范围为-3≤c≤6.
当二次函数解析式 中二次项系数a确定时，求抛物线与线段的交点：
(1)当一次项系数b确定，顶点在对称轴上上下平移；
求解关键：确定三个临界点即抛物线过线段两端点以及抛物线顶点在线段上的点；
(2)当一次项系数b不确定，但顶点的纵坐标确定，顶点在水平直线上左右平移；
求解关键：确定两个临界点，即抛物线过线段两端点；
第三部分(2)：针对提高训练
练 2 在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,3),B(2,3),若抛物线 与线段AB有公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
第二部分(3)：典型例题分析
类型三、动抛物线(二次项系数a不确定)与定线段
例 5 在平面直角坐标系xOy中，已知点.A(-2,3),点B(3,3),若抛物线 与线段AB仅有一个交点，结合函数图象，求a的取值范围.
【解答】∵ ∴抛物线的顶点坐标为(0，0)，
∴当a<0时，易知抛物线与线段AB无交点；
当a>0时，如右图，
当抛物线过点A(-2,3)时，代入抛物线解析式 中，解得 此时抛物线与线段AB有两个交点；
当抛物线过点B(3，3)时，代入抛物线解析式 中，解得 此时抛物线与线段AB有一个交点.
结合函数图象，a的取值范围为
当二次函数解析式 中二次项系数a不确定时，求抛物线与线段的交点：
(1)二次项系数a不确定时，需分类讨论，分抛物线的开口向上和开口向下两种情况讨论；
(2)抛物线的顶点确定时，求交点时，关键是确定两个临界点，即抛物线过线段两端点；
(3)数形结合：画出抛物线的大致图象，根据图象的变化情况，计算出在临界点时参数的值，从而求出参数的取值范围.
第三部分(3)：针对提高训练
练 3 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,2),点B(3,2),若抛物线 与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
第二部分(4)：典型例题分析
类型四、动抛物线(二次项系数a不确定)与动线段
例 6 在平面直角坐标系xOy中，已知点 若抛物线 与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
【解答】(1)若a>0,当 时， 所以点P在开口内；当x=2时， 所以点P也在开口内，所以线段PQ与抛物线无交点.
(2)若a<0,当 时， 所以点P在开口内，要使线段PQ与抛物线恰好有一个公共点，则点Q在开口外或者在抛物线上，所以当x=2时， 所以
第三部分(4)：针对提高训练
练 4 在平面直角坐标系xOy中，已知点 若抛物线 与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围.
练 5 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(a+4,1),Q(0,a+1),，如果抛物线 与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
练6 在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),(Q(2+2a,5a),，若抛物线 与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围.
二次函数与线段交点
【练1】∵抛物线的解析式为 ∴与x轴的交点为(-1,0)、(4,0),与y轴的交点为(0,4)∵一次函数y= kx+2与y轴交于点B(0,2),与x轴交于点 所以点B在二次函数开口内，因为二次函数图像与线段AB只有一个交点，所以点A在开口外，所以 此时k<0;或 -1,此时k>0,所以 或0【练2】解:把A(0,3)的坐标代入 1,得 解得 m=±2. 把B(2,3)的坐标代入 得 -1,1即 解得m=0或m=4. 结合函数图象可知:-2≤m≤0或2≤m≤4.
【练3】解:· 抛物线顶点坐标为(2，-9a)，
当-9a=2时, 抛物线顶点在线段AB上，符合题意.∵ ∴抛物线经过定点(-1，0)，(5，0)，开口向上时无交点.开口向下，a减小，抛物线顶点上升，当抛物线经过点B(3,2)时,2=9a-12a-5a,解得 ∴ 时满足题意，综上所述， 或a<
【练4】解：因为点 C(2,2). ∴把点 代入抛物线 时，方程无解；把点C(2，2)代入抛物线y= 得 解得m=1或m=2,根据图象性质：当m≤1或m≥2时，抛物线与线段BC有公共点，∴m的取值范围是：m≤1或m≥2.
【练5】解:当a>0时,抛物线过点P(a+4,1)时,则 解得a=4,∴Q(0,5),此时,抛物线与线段PQ有一个公共点.当a<0时，抛物线过点P(a+4,1)时,a+4=0,解得a=-4,此时,Q(0,-3),抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当0【练6】解: 4a,∴抛物线的顶点坐标为(2,-4a). 令y=5a,得ax -4ax=5a,a(x-5)(x+1)=0,解得x=-1或x=5,∴当y=5a时,抛物线上两点M(-1,5a),N(5,5a).
①当a>0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且Q(2+2a,5a)位于点P的右侧,
如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ 有公共点，此时2+2a≥5，解得
②当a<0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点Q(2+2a,5a)位于点P的左侧,
(i)如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点,此时-4a≤2,解得
(ii)如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时2+2a≤-1,
解得 综上，a的取值范围是 或 或