2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与直线射线交点问题（邯郸啊）

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二次函数与直线射线交点问题
第一部分：基础知识储备
一、二次函数与直线交点问题
求二次函数与直线的交点，联立二次函数和直线的解析式得到一个一元二次方程，(1)△>0 二次函数与直线有两个交点；(2)△=0 二次函数与直线有一个交点；(1)△<0 二次函数与直线无交点.
二、二次函数与射线交点问题
二次函数与射线有一个交点有两种情况
情况一：联立二次函数解析式和射线所在直线解析式得到的一元二次方程△≥0，如图(1)(2)射线的端点在二次函数图像开口的内部或者图像上.
情况二：联立二次函数解析式和射线所在直线解析式得到的一元二次方程 ，射线的端点在二次函数图像开口外部.
第二部分：典型例题讲解
例1如图，函数 的图象如图，坐标系中一次函数 的图象记为 ，则以下说法中正确的有
①当m=1,且 与恰好有三个交点时b有唯一值为1；
②当m=4,且与只有两个交点时， 或-2③当m=-b时,与 一定有交点：
④当m=b时， 与至少有2个交点，且其中一个为(0，m).
【解答】①错误.如下图，当直线y=x+b与抛物线相切时，也只有三个交点.此时b≠1,，故①错误.
②正确.如图2中，当抛物线经过点(-2,0)时，0=4-m,m=4.
由 消去y得到 当 △=0时, 观察图象可知当 或-2③错误.如图3中，当b=-4时，观察图象可知， 与 没有交点，故③错误.
④正确.如图4中，当b=4时，观察图象可知， 与 至少有2个交点，且其中一个为(0，m)，故④正确.
例 2 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为A，与y轴交于点C，线段( 轴，交该抛物线于另一点B.
(1)求点B的坐标及直线AC的解析式；
(2)平移抛物线 使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围.
【解答】 ∴顶点A(1,-4),
令x=0,则 轴，
设直线AC解析式为 解得
(2)设直线AC的解析式为y=kx+b,
解得
①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向上平移h个单位，
∴平移后的抛物线解析式为
设直线BA的解析式为y=k'x+b',
解得
联立方程组
整理得
当 时， 解得
此时抛物线的顶点为 此时平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点；
②如下图，当抛物线向右平移k个单位，则向下平移k个单位，
∴平移后的抛物线解析式为
当抛物线经过点B时， 解得k=0(舍)或k=3,
当抛物线的顶点为(2,-5)时，平移后的抛物线与射线BA有一个公共点，
∴综上所述： 或
第三部分：针对提高训练
练 1 将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线y=x+b与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为
练 2 已知二次函数 及一次函数y=-x+m,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数(如图所示)，当直线y=-x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是
练 3 如图，抛物线 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作( 将 向左平移得到 与x轴交于点B、O，若直线 与 共有3个不同的交点，则m的取值范围是
练4 已知函数 的图象如图所示，若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为 .
练 5 如图，抛物线 经过A(-3,0),B(-1,0)两点,
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
【练1】解：二次函数解析式为 ∴抛物线 的顶点坐标为(1,4),当y=0时, 解得 =3，则抛物线 与x轴的交点为A(-1,0),B(3,0),把抛物线 图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为 顶点坐标M(1,-4),如图,当直线y=x+b过点B时,直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，∴3+b=0,解得b=-3;当直线y=x+b与抛物线y=(x 相切时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，即 有相等的实数解，整理得x -3x-b-3=0,△=3 -4(-b-3)=0,解得 所以b的值为-3或
【练2】解：如图，当y=0时, 解得x =-2,x =3,则A(-2,0),B(3,0),将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(x+2)(x-3),即: ≤x≤3),当直线·y=-x+m经过点A(-2,0)时,2+m=0,解得m=-2;当直线y=-x+m与抛物线 有唯一公共点时，方程 有相等的实数解，解得m=-6，所以当直线y=-x+m与新图象有4个交点时,m的取值范围为-6【练3】解：∵抛物线 -8)与x轴交于点A、B,∴B(4,0),A(8,0).
∴抛物线向左平移4个单位长度.∴平移后解析式 当直线 过B点，有2个交点， 解得m=-2.当直线 与抛物线C 相切时，有2个交点，∴ 整理，得 =0. ∴△=25+8m=0. ∴m=- 如图，∵若直线 与C 、C 共有3个不同的交点，
【练4】解：直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则直线与y=-x有一个交点，∴m>0，∵与 有两个交点，. 故答案为0
【练5】解:(1)抛物线 经过点A(-3,0),B(-1,0)两点, 解得a=1,b=4，∴抛物线解析式为
(2)由(1)配方得 .抛物线的顶点M(-2,-1),直线OD的解析式为 于是设平移后的抛物线的顶点坐标为(h, h),∴平移后的抛物线解析式为
①当抛物线经过点C时,∵C(0,9), 解得 ∴当 时，平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，
②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组 得 解得h=4，此时抛物线 与射线CD只有唯一 一个公共点为(3，3)，综上所述，平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点时，顶点横坐标h的取值范围为h=4或