2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数的区间最值问题（含答案）

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二次函数的区间最值问题
定轴定区间
第一部分：基础知识储备
以二次函数 为例，其中ymax表示y的最大值，ymin表示y的最小值.
1.若自变量x的取值范围为全体实数，当 时,y= ymin,无最大值；
若自变量x的取值范围为某个区间时，利用二次函数的对称性求最值，离对称轴越远的点位置越高，所对应的函数值越大，离对称轴越近的点位置越低，所对应的函数值越小，求二次函数的最值转化成为比较点到对称轴的距离.(开口朝向思路一致，总结为谁离对称轴越远谁就能取到最值)
2.如图(1),若 当x=m时,y=ymax,当x=n时,y= ymin;
3.如图(2),若 当x=m时,y= ymin,当x=n时,y=ymax;
4.如图(3),若m≤x≤n,且
当 当x=n时,y=ymax;
5.如图(4),若m≤x≤n,且
当 当x=n时,y= ymin·
第二部分：典型例题分析
例 1 已知二次函数 在-2≤x≤2时有最小值-2,则m=( )
A.3 B.-3或 C.3或 D.-3或
【解答】∵二次函数 ∴对称轴为直线x=-1，
①m>0，抛物线开口向上，
x=-1时,有最小值y=-m+1=-2,解得:m=3;
②m<0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x=-1,在-2≤x≤2时有最小值-2,
∴x=2时,有最小值y=4m+4m+1=-2,解得: 故选:C.
例 2 已分别求出在下列条件下，函数 的最值：
(1)x取任意实数;(2)当-2≤x≤0时;(3)当1≤x≤3时;(4)当-1≤x≤2时.
【解答 ∴当 时，函数的最大值为 无最小值；
在-2≤x≤0右侧,∴当x=0时,函数取得最大值1;当x=-2时,函数取得最小值-13;
在1≤x≤5左侧，∴当x=1时，函数取得最大值2；当x=3时，函数取得最小值-8;
且 ∴当 时，函数取得最大值 当x=-1时，函数取得最小值-4.
第三部分：针对提高训练
练 1 已知二次函数 当-1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
练 2 已知二次函数 当自变量满足-1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a-b的值为 .
练 3 已知二次函数 (其中x是自变量)，当x≥2时，y随x的增大而减小，且-2≤x≤1时,y的最小值为15,则a的值为( )
A.1或-2 或 C.-2 D.1
练 4 已知二次函数 关于该函数在-2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A.有最大值4，有最小值0 B.有最大值0，有最小值-4
C.有最大值4，有最小值-4 D.有最大值5，有最小值-4
练 5 已知二次函数 当x≤1时，y随x的增大而增大，且-1≤x≤6时，y的最小值为-4,则a的值为( )
A.1 B.
动轴定区间
第一部分：基础知识储备
以二次函数 为例(ymax表示y的最大值，Ymin表示y的最小值)
1.若自变量x的取值范围为全体实数，当 时,y= ymin,无最大值；
2.如图(1),若 当x=m时,y=ymax,当x=n时,y= ymin;
3.如图(2),若 当x=m时,y= ymin,当x=n时,y=ymax;
4.如图(3),若m≤x≤n,.且 当 当x=n时,y=ymax;
5.如图(4),若m≤x≤n,.且
当 当x=n时,y= ymin·
第二部分：典型例题分析
例 1二次函数 (m为常数)，当-1≤x≤2时，函数值y的最小值为-2，则m的值是（ ）
或 或
【解答】由二次函数 (m为常数)，得到对称轴为直线x=m，抛物线开口向上，
当m≥2时,由题意得:当x=2时,y最小值为-2,代入得:4-4m=-2,即 不合题意，舍去;当-1≤m≤2时,由题意得:当x=m时,y最小值为-2,代入得: 即 或m= (舍去);当m<-1时,由题意得:当x=-1时,y最小值为-2,代入得:1+2m=-2,1即 综上，m的值是 或 故选:D.
例 2 已知二次函数 当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则 mn的最大值为（ ）
A.4 B.6 C.8
【解答】抛物线 的对称轴为直线
①当m>1时，抛物线开口向上，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小， 即2m+n≤8.解得n≤8-2m,∴mn≤m(8-2m),m(8-2m)=-2(m-2) +8,∴mn≤8.
②当0≤m<1时,抛物线开口向下,∵1≤x≤2时,y随x的增大而减小, 即m+n≤7,
解得 ∴此情况不存在.综上所述，mn最大值为8.故选：C.
第三部分：针对提高训练
练 1当-2≤x≤1时，二次函数 有最大值4，则实数m的值为（ ）
或 或2
或 或 或 或 或2
练 2 函数 在-1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 .
定轴动区间
第一部分：基础知识储备
以二次函数 )为例(ymax表示y的最大值，Ymin表示y的最小值)
1.若自变量x的取值范围为全体实数，当 时,y= ymin,无最大值；
2.如图(1),若 当x=m时,y=ymax,当x=n时,
3.如图(2),若 当x=m时, ,当x=n时,
4.如图(3),若m≤x≤n,.且
当 当x=n时,y=ymax;
5.如图(4),若m≤x≤n,.且
当 当x=n时,
第二部分：典型例题分析
例 1 当二次函数 的自变量x满足m≤x≤m+22时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p-q=2,求m的值;
【解答】∵抛物线 的对称轴为直线x=1,
①当m>1时,
x=m时,
x=m+2时,
解得 (舍);
②当m+2<1,即m<-1,
x=m时,
x=m+2时,(
解得 (舍);
③当m≤1≤m+1,即0≤m≤1,
x=1时，q=-4,
x=m+2时，
解得 或 (舍);
④当m+1<1≤m+2,即-1≤m<0,
x=1时,q=-4,
x=m时,
解得 (舍)或
综上所述：m的值 或
例2 已知二次函数 当a≤x≤b且 ab<0时,y的最小值为2a,最大值为2b,则a+b的值为
【解答】:∵a≤x≤b且 ab<0,∴a,b异号,∴a<0,b>0,由二次函数的对称性,b关于对称轴的对称点为-b-2，分三种情况讨论：
若-1≤a<0,则( 解得 (舍);
若-b-2≤a<-1,则-4=2a,a=-2,.且 解得
若a<﹣b﹣2,则(舍).
第三部分：针对提高训练
练 1当a≤x≤a+1时,函数 的最小值为1，则a的值为（ ）
A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
练 当-1≤x≤m时，此函数的最小值为-8，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A.0≤m<2 B.0≤m≤5 C. m>5 D.2≤m≤5
练 3 已知函数 在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是 则m的取值范围是（ ）
A.m≥-2
二次函数区间最值
定轴定区间
【练1】解：∵二次函数 c+1,∴该抛物线的对称轴为x=1,且a=-1<0,∴当x=1时,二次函数有最大值为c+1,∵|-1-1|>|2-1|,∴当x=-1时,二次函数有最小值为: ∴函数的最大值与最小值的差为(c+1-(-3+c)=4.故选:D.
【练2】解：∵二次函数 1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，∵当自变量满足-1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b,∴当x=-1时,取得最大值,当x=2时,函数取得最小值,∴a=1+4+3=8,b=-1,∴a-b=8-(-1)=8+1=9,故答案为:9.
【练3】解：∵二次函数 (其中x是自变量)，∴对称轴是直线 ∵当x≥2时,y随x的增大而减小,∴a<0,∵-2≤x≤1时,y的最小值为15,∴x=1时,y=2a+ =0,∴a=1(不合题意舍去)或a=-2. 故选:C.
【练4】解：∵二次函数 +5，∴该函数的对称轴是直线x=1，函数图象开口向下,∴当-2≤x≤2时,x=1时取得最大值5,当x=-2时,取得最小值-4,故选:D.
【练5】解：∵二次函数 -4a-1,∴该函数的对称轴是直线x=2,
又∵当x≤1时,y随x的增大而增大,∴a<0,∵当-1≤x≤6时,y的最小值为-4,∴x=6时,y 解得 故选:D.
动轴定区间
【练1】解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m<-2时,x=-2时二次函数有最大值,此时- 解得 与m<-2矛盾，故m值不存在；
②当-2≤m≤1时,x=m时,二次函数有最大值,此时， 解得 (舍去);③当m>1时，x=1时二次函数有最大值，此时， 解得m=2.综上所述，m的值为2或 故选:B.
【练2】解：二次函数 的对称轴为x= 由题意，分以下三种情况：
(1)当a≤-1时,在-1≤x≤2内,y随x的增大而增大，则当x=2时，y取得最大值，最大值为22-4a-2=2-4a,∴2-4a=6,1解得:a=-1,符合题设；
(2)当-1(3)当a≥2时,在-1≤x≤2内,y随x的增大而减小，则当x=-1时，y取得最大值，最大值为1+2a-2=2a-1,因此有2a-1=6,解得 符合题设;综上,a=-1或 故答案为：-1或 3.3定轴动区间
【练1】解:当y=1时,有 解得： 0,x =2. ∵当a≤x≤a+1时,函数有最小值1,∴a=2或a+1=0,∴a=2或a=-1,故选:D.
【练2】解:· ∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,1),∴x=-1和x=5对应的函数值相等,∵当-1≤x≤m时，此函数的最小值为-8，最大值为1，当x=-1时,y=-8,∴2≤m≤5,故选:D.
【练3】解:∵函数 的对称轴为直线x=∴当 时，y有最小值，此时 ∵函数 在m≤x≤1上的最小值是 ∵当x=1时,y=1+1-1=1,对称轴为直线 ∴当 时，y=1,∵函数 1在m≤x≤1上的最大值是1,且 故选:C.