2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数的几何变换（含答案）

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二次函数的几何变换
第一部分：基础知识储备
一、平移变换：图像平移变换口诀：“左加右减，上加下减”.
(1)顶点式的平移变换
向右平移m(m>0)个单位得到：
向左平移m(m>0)个单位得到：
向上平移n(n>0)个单位得到：
向下平移n(n>0)个单位得到：
(2)一般式的平移变换
向右平移m(m>0)个单位得到：
向左平移m(m>0)个单位得到：
向上平移n(n>0)个单位得到：
向下平移n(n>0)个单位得到：
二、对称变换：
(1)关于x轴对称
的图像关于x轴对称后，得到的解析式是
的图像关于x轴对称后，得到的解析式是
(2)关于y轴对称
的图像关于y轴对称后，得到的解析式是
的图像关于y轴对称后，得到的解析式是
(3)关于原点对称
的图像关于原点对称后，得到的解析式是
的图像关于原点对称后，得到的解析式是
(4)关于顶点对称
的图像关于顶点对称后，得到的解析式是
的图像关于顶点对称后，得到的解析式是
(5)关于点(m,n)对称
的图像关于点(m，n)对称后，得到的解析式是
三、旋转变换：
在初中阶段不研究二次函数旋转变换。更多的是特殊点绕着特殊点旋转特殊角度，比如旋转90度，就可以构造一线三等角基本模型。旋转180度，就可以利用点对称或者中点坐标公式或者构造中位线相似来解决。
第二部分：典型例题分析
例 1 已知抛物线
①将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线表达式为 ；
②将抛物线平移后使其顶点与原点重合，平移后的抛物线表达式为 ；
③该抛物线关于原点对称的抛物线表达式为 ；
④该抛物线关于x轴对称的抛物线表达式为 ；
关于直线y=1对称的抛物线表达式为 ；
⑤该抛物线关于y轴对称的抛物线表达式为 ；
关于直线x=-2对称的抛物线表达式为 ；
⑥将抛物线绕点(-2，0)旋转180°，则旋转后的抛物线表达式为 .
【解答】
①将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的抛物线表达式为y=(x+2m+
故答案为：
②将抛物线平移后使其顶点与原点重合，则抛物线的表达式为： 故答案为：
③该抛物线关于原点对称，则抛物线表达式为 故答案为：
④该抛物线关于x轴对称的抛物线表达式为： 故答案为：
关于直线y=l对称，则新抛物线的顶点为： 则抛物线表达式为 +4，故答案为：y= +4;
⑤关于y轴对称的抛物线表达式为： 关于直线x=-2对称，则新抛物线的顶点为： 故抛物线表达式为
⑥将抛物线绕点(-2，0)旋转180°，新抛物线的顶点为： 则旋转后的抛物线表达式为y 故答案为：
例2 直线y=m是平行于x轴的直线，将抛物线 在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分与没有翻折的部分组成新的函数图象，若新的函数图象刚好与直线g=-x有3个交点，则满足条件的m的值为 .
【解答】根据题意∵ ∴顶点为(-4,8),
∴在直线y=m上侧的部分沿直线y=m翻折，翻折后的部分的顶点为(-4，-8+2m)，
∵直线y=-x与抛物线 相交∴交点坐标为(-6,6),(0,0)
∴m=6时，新的函数图象刚好与直线y=-x有3个交点
翻折后的抛物线的解析式为 由题意： 消去y得到： 由题意△=0时,满足条件,∴100-16m=0, 综上所述，m=6或
例 3 如图，将抛物线 的图象位于直线y=4以上的部分向下翻折，得到新的图象(实线部分)，若直线y=-x+m与新图象只有四个交点，则m的取值范围为
【解答】令y=4,则 解得x=3或-1,∴A(-1,4),
平移直线y=-x+m知：直线位于 和 时，它与新图象有三个不同的公共点.
①当直线位于 时，此时 过点A(-1,4),∴4=1+m,即m=3.
②当直线位于 时，此时 与函数 的图象有一个公共点，∴方程 即 有两个相等实根,∴△=1-4(1-m)=0,即
由①②知若直线y=-x+m与新图象只有四个交点，m的取值范围为 故选:A.
例4 如图，抛物线 与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作( 将 向右平移得 与x轴交于点B,D,若直线y=x+m与 共有3个不同的交点，则m的取值范围是 .
【解答】令 即 解得x=1或3,则点A(1,0),B(3,0),由于将 向右平移2个长度单位得 则 解析式为 ,当直线过A点时候,m=-1,令x-1 得到 可知△<0，此时，直线与C2无交点。当 与 相切时，令 即 解得 当 过点B时，即 当 时直线,y=x+m与 共有3个不同的交点，故答案是：
第三部分：针对提高训练
练 1 已知二次函数的表达式为 将其图象向右平移k(k>0)个单位，得到二次函数 的图象,使得当-1A.1≤k≤3 B.2≤k≤3 C.3≤k≤4 D.4≤k≤5
练 2 已知抛物线 经过点A(-2，n)，将点A先向右平移3个单位，再向下平移b个单位恰好落在抛物线的最低点处，则b的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.9
练 3 在平面直角坐标系中，若抛物线 与 关于直线x=1对称，则符合条件的m，n的值可以为（ ）
B. m=-1,n=1 C. m=1,n=9 D. m=2,n=2
练 4 在平面直角坐标系中，若抛物线 与抛物线 关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
C. m=0,n=3 D. m=3,n=0
练 5 已知二次函数 (a,b是常数,a≠0)的图象经过A(2,1),B(4,3),C(4,-1)三个点中的其中两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y=x-1上，则平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的（ ）
A.最大值为-1 B.最小值为-1 C.最大值为 D.最小值为
练 6 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y 则原抛物线的解析式是（ ）
练 7 抛物线的函数表达式为 若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
练 8 如图，在平面直角坐标系中，将抛物线 绕点A(2，0)旋转180°，则旋转后的抛物线所对应的函数表达式为 .
练9 将抛物线 绕其顶点旋转180°后得到抛物线的解析式为 ；
将抛物线 绕原点旋转180°后得到抛物线的解析式为 .
练10如果抛物线C 的顶点在抛物线C 上，同时，抛物线C 的顶点在抛物线上，那么，我们称抛物线与C 关联.现将抛物线 绕点P(t,2)旋转 得到抛物线 ，若抛物线 与 关联，则t的值为 .
二次函数的几何变换
【练1】解: ∴将二次函数 的图象向右平移k(k>0)个单位得 的图象，∴新图象的对称轴为直线x=k-1,∵当-1【练2】解:· 顶点为 将点A(-2,n)先向右平移3个单位，再向下平移b个单位得到(1，n-b)，∴m=1,n-b=-4,∵抛物线 经过点A(-2,n),∴n=4+4-3=5,∴b=9,故选:D.
【练3】解:∵抛物线y 2与y 关于直线x=1对称，∴当x=1时,y相等,∴1+2m-n-2m-2=1-m-2n+n,解得m=2,故选:D.
【练4】解：∵抛物线 与抛物线 关于y轴对称，
解得 故选:D.
【练5】解:∵A(2,1),B(4,3)在直线y=x-1上,∴A或B是抛物线的顶点,∵B(4,3),C(4,-1)的横坐标相同，∴抛物线不会同时经过B、C点，∴抛物线过点A和C两点,把A(2,1),C(4,-1)代入y=ax + bx-1得 解得 ∴二次函数为 1，∵顶点始终在直线y=x-1上，∴抛物线向左、向下平移的距离相同，∴设平移后的抛物线为y= 令x=0,则 ∴抛物线与y轴交点纵坐标最大值为
故选:C.
【练6】解：∵抛物线的解析式为： 设原抛物线上有点(x ，y )，绕原点旋转180°后，变为(-x ,-y ),点(-x ,-y )在抛物线 上，将((-x ,-y )代入 得到新抛物线 所以原抛物线的方程为y = ∴向下平移3个单位长度的解析式为 故选:A.
【练7】解：根据题意知，将抛物线 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为： 故选:C.
【练8】解：抛物线 的顶点坐标(0，4)，该顶点关于A(2，0)对称的点的坐标是(4，-4).根据旋转的性质，旋转后的抛物线所对应的函数表达式为 故答案是： 4.
【练9】解：抛物线 的顶点坐标为(-1,1),由于抛物线 绕其顶点旋转180°后抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则所得抛物线解析式为
抛物线 的顶点坐标为(-1，1)，由抛物线 绕原点旋转180°后抛物线的顶点坐标为(1，-1)，并且开口方向相反，则所得抛物线解析式为
故答案为
【练10】解：抛物线 的顶点-1,-2);由于抛物线C 是抛物线C 绕点P(t,2)旋转180°所得，所以抛物线C 、C 的顶点关于点P对称,∴抛物线C 的顶点坐标M'(2t+1,6),抛物线 已知抛物线C 和抛物线C 相关联，那么点M'必在抛物线C 的函数图象上，即： 解得： -5,故答案为:3或-5.