2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数多结论问题（含答案）

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二次函数多结论问题
第一部分 基础知识储备
二次函数 的图像与系数a，b，c之间的关系：
1.抛物线的开口方向及开口大小由a决定
(1)a>0 开口向上;(2)a<0 开口向下;(3)|a|越大开口越小,|a|越小开口越大.
2. a、b共同决定对称轴(二次函数的对称轴为：直线
(1)对称轴为y轴 b=0;
(2)对称轴在y轴左侧 a、b同号(ab>0);
(3)对称轴在y轴右侧 a、b异号(ab<0) ,简称:“左同右异”;
(4)若题目中已知对称轴，则利用 可直接求出a、b之间的数量关系.
3. c决定抛物线与y轴的交点
(1)c=0 抛物线经过原点;(2)c>0 与y轴交于正半轴;(3)c<0 与y轴交于负半轴.
决定抛物线与x轴的交点个数
有一个交点(顶点)；
有两个交点；
>无交点.
5.寻找a、b、c之间数量关系或者不等关系利用取值法
(1)取x=1,则y=a+b+c;(2)取x=-1,则y=a-b+c;
(3)取x=2,则y=4a+2b+c;(4)取x=-2,则y=4a-2b+c;
(5)取x=3,则y=9a+3b+c;(6)取x=-3,则y=9a-3b+c;
(7)取 则
(8)取 则
6. a、b之间的关系，a、b之间的数量关系或者不等关系通常利用对称轴 的具体位置确定.
(1)若对称轴为直线x=1，则 即2a+b=0;
(2)若对称轴为直线x=-1，则 即2a-b=0;
(3)对称轴为其他具体确定的数，做法类似；
(4)若对称轴不确定，能确定范围，比如对称轴在l和2之间，开口向上，则 则可得到2a+b<0,或者4a+b>0;开口向下,则 则可得到2a+b>0,或者4a+b<0.
7. a与c、b与c之间的关系
a与c、b与c之间的关系，通常情况下是通过取值得到a、b、c之间的数量或者不等关系，然后利用对称轴找到a、b之间的数量关系，其次消元求解，具体方法为：组合消元.
8.单个字母的取值范围
若题目中出现一个字母的取值范围，一般题目会直接或者间接告诉其中一个字母的取值范围，利用对称轴和取值构造两个等式消元.
如已知二次函数与y轴交点在2和3之间，对称轴为x=-1，与x交点为(2，0)，求a的取值范围.
二次函数与y轴交点在2和3之间，可得：2则c=-8a,所以2<-8a<3,即
9.顶点纵坐标，这类式子不仅只有 还有别的字母(一般是a)或者数字，联想到顶点坐标的纵坐标，如结合图像，请判断 是否正确，联想到转化为顶点坐标纵坐标，若 若 然后结合图像判断顶点坐标的纵坐标的取值范围.
10.最值(如结合图像，二次函数的对称轴为x=1，二次函数上一动点的横坐标为m，请判断 +b是否正确)
(1)观察式子，两边同时加上c，则判断 是否正确；
(2)左边是当x=m时的函数值，右边是当x=1时的函数值；
(3)若二次函数开口向上，则 若二次函数开口向下则
11.二次函数与方程转化
(1)判断 (常数)解的个数，两种解题思路：
①将左边看成二次函数 右边看成常数函数y=m，解的个数转化两条函数图像交点个数问题；
②移项 将左边看成函数 即将二次函数 向上或者向下平移得到，解的个数转化平移后的二次函数函数图像与x轴交点个数问题
(2)利用函数图像求 (常数)或 (常数)的解集，两种解题思路：
①将左边看成二次函数 右边看成常数函数y=m，解集转化为观察两条函数图像位置关系；
②移项 将左边看成函数 即将二次函数 向上或者向下平移得到，解集转化为观察二次函数与x轴位置关系.
第二部分 典型例题分析
例 1 已知二次函数 的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②a+b+c=2;③2a-b=0;④9a+3b+c=0;⑤b <4ac;⑥(a+c) -b <0;⑦2c<3b;⑧b -4ac=-8a;⑨a+b>m(am+b)(m≠1);⑩若方程 有两个根，则这两个根的和为2.其中正确的结论是
【解答】选项①：∵抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴， ，∵抛物线对称轴为直线x= 故①错误；
选项②：由图像可得：当x=1时，y=a+b+c=2,故②正确；
选项③：∵抛物线对称轴为直线 故③错误；
选项④：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点在-1和0之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在2和3之间,∴当x=3时,y=9a+3b+c<0,故③错误;
选项⑤：由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，. 即 故⑤错误；
选项⑥:当x=1时,y=a+b+c>0,当x=-1时,y=a-b+c<0,∴(a+b+c)(a-b+c)<0,∴ 故⑥正确；
选项⑦:∵当x=-1时,y=a-b+c<0,∴2a-2b+2c<0,∴-b-2b+2c<0,即2c<3b,故⑦正确；
选项⑧:∵抛物线顶点为(1,2), 故⑧正确；
选项⑨：∵抛物线对称轴为直线x=1，开口向下，∴当x=1时，函数有最大值，最大值为a+b+c，∴a 即a+b>m(am+b)(m≠1),故⑨正确;
选项⑩：由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，∴若方程 有两个根，则这两个根的和为2，故⑩正确；
例 2 如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A(-1，0)，与y轴的交点B在(0，-2)和C(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1,下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③a-b+c=0; 其中正确结论的是
【解答】选项①：∵函数开口方向向上，∴a>0；∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，b<0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①正确;
选项②：∵图象与x轴交于点A(-1，0)，对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为(3，0)，∴当x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故②错误;
选项③:当x=-1时,y=0,∴a-b+c=0,故③正确; 可得b=-2a,∴c=-3a;
选项④:∵图象与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间,∴-2故④正确；正确结论为：①③④
例 3 如图，抛物线 的对称轴是直线x=-1，且过点 有下列结论:①abc>0;②25a-10b+4c=0;③a-2b+4c=0;④a-b≥m(am+b);⑤3b+2c>0;其中所有正确的结论是 (填写正确结论的序号).
【解答】①由抛物线的开口向下可得：a<0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b<0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，∴abc>0，故①正确；
②∵抛物线 的对称轴是直线x=﹣1.且过点 ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为 当 时,y=0,即 整理得:25a﹣10b+4c=0,故②正确；③直线x=﹣1是抛物线 的对称轴，所以 可得b=2a,a-2b+4c=a﹣4a+4c=﹣3a+4c,∵a<0,∴﹣3a>0,∴﹣3a+4c>0,即a﹣2b+4c>0,故③错误;④∵x=-1时,函数值最大,∴a-b+c≥m a+ mb+c,∴a-b≥m(am+b),所以④正确;⑤ 即3b+2c<0,故⑤错误；故答案是：①②④.
例4 已知二次函数 的图象与x轴交于点. 且 与y轴正半轴的交点在(0，2)的上方，顶点为C.直线y=kx+m(k≠0)经过点C、B.则下列结论：①b>a;②2a-b>-1;③2a+c<0;④k<-1;⑤k>3a+b,其中正确的结论有 .
【解答】①由图知：抛物线的开口向下，则a<0.对称轴在x轴的左侧，因此，a、b同号，则b<0，∵﹣2 故①正确;②∵抛物线交x轴与点(-2,0),∴4a-2b+c=0,∵c>2,∴4a﹣2b=﹣c<﹣2,即2a﹣b<﹣1. 故②错误;③∵二次函数 +c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣2,0),∴4a﹣2b+c=0,∵b>a,∴2b>2a,∴4a﹣2b<2a,∴4a﹣2b+c<2a+c,即0<2a+c,∴2a+c>0,故③错误;④过顶点C作CD⊥AB于点D. 则k AD和BD的长度都在1.5和2之间,也就是说1.52,所以CD除以BD>1,∴k<-1,故④正确;⑤∵当x=1时,二次函数值大于一次函数值,∴a+b+c>k+m,同理,2k+m>4a+2b+c,相加可知⑤正确;综上所述,正确的结论有①④⑤.
例5 如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，BC∥x轴，AB=1，BC=2，点B的坐标为(2,1),抛物线 的顶点总是在矩形ABCD内部(包括边界)，且与x轴的两个交点分别是点 其中 下列说法:①abc<0;②2a+b≤0;③当k<1时，方程 总有两个不相等的实数根；④a的取值范围是 其中正确的是 .
【解答】观察图形发现，抛物线的开口向下，∴a<0，∵顶点坐标在第一象限， 而抛物线与y轴的交点在y轴的上方,∴c>0,∴abc<0,故①正确;∵点B的坐标为(2,1),BC=2,∴C(4,1),∵抛物线 的顶点总是在矩形ABCD内部(包括边界)， 故②错误；由题意可知，抛物线与直线y=k(k<1)有两个交点，∴当k<1时，方程( 总有两个不相等的实数根；故③正确；∵顶点在矩形ABCD内部(包括边界)，当顶点与A点重合，顶点坐标为(2，2)，则抛物线解析式 由 解得 当顶点与C点重合，顶点坐标为(4，1)，则抛物线解析式 由 解得 ∵顶点可以在矩形内部， 故④正确；故答案为①③④.
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，二次函数 的图象与x轴交于点A(-3，0)，与y轴交于点B，其对称轴为x=-1,以下结论:①abc>0;②当x>-2时,y的值随x值的增大而增大;③5a+2b+c<0; ④抛物线一定经过点 ⑤关于x的方程 有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是
练 2 如图是二次函数 (a,b,c是常数,a≠0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,顶点为(1,3)对于下列结论:①2a+b=0;②a-b+c<0;③3a+c>8;④当-10;⑤若方程有四个根，则这四个根的和为4.其中正确的是
练 3 如图，抛物线 的对称轴为直线x=-2,，与x轴的一个交点在((-3,0)和(-4,0)之间，其部分图象如图所示.则下列结论：①点 是该抛物线上的点，则y ≤y ≤y ;②4a-b=0;③c<0;④-3a+c>0;(t为实数)，其中正确的是
练4 如图，抛物线 的对称轴是直线x=-1，并与x轴交于A，B两点，若(OA=3OB,则下列结论中:①( <0;④若m为任意实数，则 +1)≥a,正确的个数是
练 5 如图，抛物线 与x轴交于点(-3，0)，其对称轴为直线 结合图象分析下列结论:①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时,y随x的增大而增大;④一元二次方程 =0的两根分别为 ⑥若m,n(m2，其中正确的结论有
练 6 已知二次函数 图象的对称轴为直线：x=-1,，部分图象如图所示，下列结论中：①abc>0;②b -4ac>0;③4a+c>0;④若t为任意实数，则有 ⑤当图象经过点 2)时，方程 的两根为 则 其中正确的结论有 .
练7 如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且(OA=OC，则下列结论：①abc<0;②b -4ac>0;③ac-b+1=0;④OA·OB=-.其中正确结论的序号是 .
练 8二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 且经过点(-1,0).下列说法:①abc>0;②-2b+c=0;(③点 在抛物线上，则当 时， 为任意实数).其中一定正确的是 .2
练 9 二次函数 c是常数，a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线.x=-1.有以下结论:①abc>0;( (k为实数); (m为实数);④c<-3a; 有两个不相等的实数根.其中正确的结论有 .
【练1】解:①∵函数开口方向向下,∴a<0;∵对称轴在y轴左侧，∴a、b同号，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴,∴c>0,∴abc>0,故①正确;
②∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，∴当x<-2时，y的值随x值的增大而增大，故②错误；
③∵图象与x轴交于点A(-3，0)，对称轴为直线x=-1,∴图象与x轴的另一个交点为(1,0),∴a+b+c=0,∵x=3时,y<0,∴9a+3b+c<0,∵10a+4b+2c<0,即5a+2b+c<0,故③正确;
④∵图象与x轴的交点为在(-3,0)和(1,0),∴ax + bx+c=0的两根为-3和1, ; ∴抛物线一定经过点 故④正确；
⑤∵抛物线与直线y=-x+1有两个交点，∴关于x的方程 有两个不相等的实数根，故⑤正确.综上所述，正确的有①③④⑤
【练2】解:∵-ba=1,∴2a+b=0,故①正确；∵与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴为直线x=1，∴与x轴的另一个交点B在点(-1，0)和(0,0)之间,∴当x=-1时,y=a-b+c<0,故②正确;∵2a+b=0,∴b=-2a,∵a-b+c<0,∴3a+c<0,故③错误;
函数图象与x轴的交点没有具体说明交点的坐标，∴当-10不一定成立,故④错误;方程 的四个根分别为 =1和 的根，∵抛物线 +c关于直线x=1对称，∴抛物线与直线y=1的交点的横坐标之和为2，抛物线与直线y=-1的交点横坐标之和为2，∴方程 的四个根的和为4，故⑤正确.正确的是①②⑤，
【练3】解：∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大,∴y ∵抛物线的对称轴为直线 =0,故②正确;
∵与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,∴由抛物线的对称性知，另一个交点在(-1，0)和(0，0)之间，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c<0,故③正确;
∵由③知,x=-1时y>0,且b=4a,∴a-b+c=a-4a+c=-3a+c>0,故④正确;
由函数图象知当x=-2时，函数取得最大值，∴4a 即 (t为实数)，故⑤错误；
【练4】解:①观察图象可知:a>0,b>0,c<0,∴abc<0,故①错误;
②∵对称轴为直线x=-1,OA=3OB,可得OA=3,OB=1,∴点A(-3,0),点B(1,0),∴当x=1时,y=0,即a+b+c=0,∴(a+c) -b =(a+b+c)(a+c-b)=0,故②正确;
③抛物线的对称轴为直线x=-1，即 b=2a,∵a+b+c=0,∴3a+c=0,∴c=-3a,∴3a+2c=-3a,∵a>0,∴3a+2c<0,故③正确;
④当x=-1时,函数有最小值y=a-b+c,由am + bm+c≥a-b+c,可得 ∴若m为任意实数，则 故④正确；
【练5】解：∵抛物线 与x轴交于点(-3，0)，其对称轴为直线
∴抛物线 与x轴交于点(-3，0)和(2,0),且a=b由图象知:a<0,c>0,b<0∴abc>0故结论①正确;
∵抛物线 与x轴交于点(-3，0)∴9a-3b+c=0∵a=b∴c=-6a∴3a+c=-3a>0故结论②正确;
∵当 时，y随x的增大而增大；当0时，y随x的增大而减小∴结论③错误；
抛物线 与x轴交于点(-3,0)和 的两根是-3和 即为： =0,解得 故结论④正确；
∵当 时， 故结论⑤正确；∵抛物线 与x轴交于点(-3,0)和((2,0),. +3)(x-2)∵m,n(m2故结论⑥成立；故选:C.
【练6】解：∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，即-bxa=-1,∴b=2a>0,∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,∴c<0,∴abc<0，所以①错误；∵物线与x轴有2个交点，∴△=b -4ac>0,所以②正确;∵x=1时,y>0,∴a+b+c>0,而b=2a,∴3a+c>0,∵a>0,∴4a+c>0,所以③正确;∵x=-1时,y有最小值,∴a- c(t为任意实数)，即( b，所以④正确；∵图象经过点( ,2)时，方程(ax + bx+c-2=0的两根为 ∴二次函数 与直线y=2的一个交点为( ,2),∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴二次函数 与直线y=2的另一个交点为 即 所以⑤正确.
【练7】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①正确;∵抛物线与x轴有2个交点， 所以②错误;∵OA=OC,C(0,c),∴A(-c,0),∴ac -bc+c=0,∴ac-b+1=0,所以③正确;设A、B两点的横坐标为x 、x ,则OA= 所以④正确.
【练8】解：∵抛物线开口向上，且交y轴于负半轴，∴a>0,c<0,∵对称轴 即b=-a,∴b<0,∴abc>0,故①正确;∵二次函数 + bx+c(a≠0)的图象过点(-1,0),∴0=a-b+c,∵a=-b,∴-2b+c=0,故②正确;∵抛物线开口向上，对称轴是直线 点 在抛物线上，∴当 时，即 时， 故③不正确；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线 ∴当x=时，抛物线y取得最小值 当x=m时, n为任意实数)；故④正确，综上，结论①②④正确，故答案为：①②④.
【练9】解:由图象可知:a<0,c>0,又∵对称轴是直线x=-1，∴根据对称轴在y轴左侧，a，b同号，可得b<0,∴abc>0,故①正确;
∵对称轴是直线x=-1，抛物线开口向下，∴当x>-1时，y随x的增大而减小，∵k是实数，. 即 故②正确；
∵抛物线对称轴为 ,∵抛物线开口向下，顶点坐标为(-1,a-b+c)
∴y最大=a-b+c=-a+c,∴am +bm+c≤-a+c,即m(am+b)≤-a,故③正确;
由图象知,x=1时,y<0,∴a+b+c<0,∵b=2a,∴3a+c<0,∴c<-3a,故④正确;
根据图象可知，函数 与y=-1的图象有两个交点， 有两个不相等的实数根，故⑤正确，故答案为：①②③④⑤.