2026年中考数学二次函数专题复习讲练：二次函数与平行四边形的存在性（含答案）

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二次函数与平行四边形的存在性
第一部分：基础知识储备
一、线段中点坐标公式
平面直角坐标系中,点A(x ,y ),点B(x ,y ),则线段AB的中点坐标为:
二、平行四边形顶点坐标公式
平行四边形ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xc, yc)、D(xD,yD)则有：
证明：∵AC的中点也是BD的中点.
结论：平行四边形两组相对的顶点的横纵坐标之和相等，简记为：A+C=B+D
三、平行四边形分类讨论的情况
(1)四边形ABCD 是平行四边形:,则AC、BD 一定是对角线;
(2)以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形，则对角线不确定需要分类讨论.
四、利用坐标公式列方程解出点的坐标后需要检验，因为可能出现四个点在同一直线上此时不能构成平行四边形；
五、平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题.
类型一：三定一动
(引例):已知A(1,2)、B(5,3)、C(3,5),在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为(m,n),又A(1,2)、B(5,3)、C(3,5),可得:
(1)BC为对角线时:解得
(2)AC为对角线时:解得
(3)AB为对角线时:解得D (3,0).
思路2：利用平移大法，分类讨论：
(1)BC为对角线时:A平移到B,C平移到D,得D (7,6);(2)AC为对角线时：B平移到A，C平移到D，得
(3)AB为对角线时:C平移到A,B平移到D,得D (3,0).
平移法运用的基本原理是：图像上所有的点平移的方向和距离相同，如A(1，2)先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到B(5，3)，则C(3，5)也相应的先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到D (7，6).
类型二、两定两动
(引例):已知A(1,1)、B(3,2),点C在x轴上,点D在y轴上,且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形,求C、D坐标.
【分析】
设C点坐标为(m,0),D点坐标为(0,n),又A(1,1)、B(3,2).
1.当AB为对角线时：解得 故C(4,0)、D(0,3);
2.当AC为对角线时：解得 故C(2,0)、D(0,-1);
3.当AD为对角线时：解得 故C(-2,0)、D(0,1).
“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“自由”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半自由点”.
从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标，若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：自由点未知量=半自由点未知量×2，找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量，原因在于平行四边形两大性质：对边平行且相等和对角线互相平分.此两个性质统一成一个方程组：两个方程只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量，因此可设两个点的坐标，利用坐标公式列出方程组求解.
第二部分：典型例题分析
例1 如图,已知抛物线交x轴于A、B两点,交y轴于C点,A点坐标为(-1,0),OC=2,OB=3,点D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为坐标平面内一点，以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点坐标；
(3)若抛物线上有且仅有三个点M 、M 、M 使得△M BC、△M BC、△M BC的面积均为定值S,求出定值S及M 、M 、M 这三个点的坐标.
【解答】(1)由OC=2,OB=3,,得到B(3,0),C(0,2),
设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),
把C(0,2)代入得:2=-3a,即
则抛物线解析式为
(2)抛物线
当四边形CBPD是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到
当四边形CDBP 是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到
当四边形BCPD是平行四边形时,由B(3,0),C(0,2),得到
(3)设直线BC解析式为y=kx+b,
把B(3,0),C(0,2)代入得:
解得：
设与直线BC平行的解析式为
联立得：
消去y得：
当直线与抛物线只有一个公共点时，
解得： 即 此时交点 坐标为
向下平移 个单位可得另一条与BC平行的直线方程为
联立解得：
此时
例 2 如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 +bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知E，F分别是x轴和抛物线上的动点，当以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的F点的坐标.
【解答】(1)在 中，令y=0,得x=4;令x=0,得y=2,
∴A(4,0),B(0,2),把A(4,0),B(0,2)代入
得 解得： ∴抛物线的解析式为
(2)A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形分以下两种情况：
①AB为边,如图:
∵点E在x轴上，
∴F的纵坐标与点B纵坐标相等，
设点F(x,2),将其代入
解得：x=3或0,
∵点F在点B右边
∴x=3,∴F(3,2);
②AB为对角线，如图：可知.
∵点E在x轴上，
∴F的纵坐标与点B纵坐标相等，
设点F(x,2),将其代入
解得：x=3或0,
∵点F在点B右边
∴F(3,2),
③当AB为边时，F在x轴下方，点F的纵坐标y=-2,
解得
或
综上，点F的坐标为(3，2)或 或
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，已知抛物线 经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,-3).
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
练 2 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
(2)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.
练 3 ：如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 +bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标.
【练1】解:(1)把A(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式得： 解得： 则该抛物线解析式为
(2)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况考虑：设Q(x，0)，P(m,m -2m-3),当四边形BCQP为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3),
根据平行四边形对角线互相平分得：-1+x=0+
解得：
当 时， -3=3,即
当 时， -3=3,即
当四边形BCPQ为平行四边形时,由B(-1,0),C(0,-3)
根据平行四边形对角线互相平分得：-1+m=0+ 解得:m=0或2,
当m=0时,P(0,-3)(舍去);当m=2时,P(2,-3),当四边形BQCP 是平行四边形时，
根据平行四边形对角线互相平分得：-1+0=m+x: 解得:m=0或2,x=-1或-3,
当m=0时,P(0,-3)(舍去);当m=2时,P(2,-3),综上，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为(1+ ,3)或( 或(2,-3).
【练2】解:(1)将点A(-1,0),B(3,0)代入 bx+2,得 解得 故该抛物线的解析式为 其对称轴为直线
(2)存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
由题得,B(3,0),C(0,2),设N(1,n),M(x,y),
①四边形CMNB是平行四边形时， x
②四边形CNBM是平行四边形时， . x=2,∴M(2,2);
③四边形CNMB是平行四边形时，
综上所述:M(2,2)或 或
【练3】解:(1)在 中,令y=0得x=4,令x=0得 y=2,∴A(4,0),B(0,2),
把A(4,0),B(0,2)代入 得 解得：
∴抛物线的解析式为
(2)当BO为边时,OB∥EF,OB=EF
设
解得
当BO为对角线时，OB与EF互相平分过点O作OF∥AB,
直线 交抛物线于点 和
求得直线EF解析式为 或 +1直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为 或
∴E点的坐标为(2,1)或( 或(2+ 或 或