21.2.1 配方法 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.2.1 配方法
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 淮阴区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝0时，配方后所得的方程是（　　）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x﹣1）2＝﹣1 D．（x+1）2＝﹣1
2．（2025春 霍邱县期中）把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　）
A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10
3．（2025春 滨江区期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024秋 朔州期中）下列用配方法解方程3x2﹣x﹣9＝0的步骤中，开始出现错误的是（　　）
第①步：3x2﹣x＝9，
第②步：，
第③步：，
第④步：．
A．第①步 B．第2步 C．第③步 D．第④步
5．（2024秋 微山县期中）用配方法解方程3x2﹣2x＝4x+4，配方后得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024春 西湖区期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+6）＝16的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为16×4+36＝100，边长为10，故得x（x+6）＝16的正数解为x2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　）
A．m＝2，n＝3 B．m，n＝2
C．m，n＝2 D．m＝2，n
7．（2024秋 泗县月考）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）
A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 灵武市期末）用配方法将方程x2﹣4x+1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m＝ 　 　 ．
9．（2024秋 宿城区期末）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为　 　 ．
10．（2024秋 蓬江区校级月考）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝8，则c的值为 　 　 ．
11．（2023秋 常州期末）如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　 　 ．
12．（2023秋 于都县期末）下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0．
解：第一步：x2x0
第二步：x2x
第三步：x2x+（）2（）2
第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 兰州校级模拟）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0．
14．（2025 宁江区一模）阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下：
解：x2+6x﹣4＝0
x+6x＝4……①
x2+6x+9＝4……②
（x+3）2＝4……③
x1＝1，x2＝﹣5……④
（1）上述解答过程中，从第 　 　 步开始出现了错误（填序号）；
（2）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
15．（2024秋 邓州市期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：3x2+12x﹣6＝0
二次项系数化为1，得x2+4x﹣2＝0……第一步
移项，得x2+4x＝2……第二步
配方，得x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6……第三步
由此，可得第四步
所以，第五步
任务一、填空：
①“第二步”变形的数学依据是 　 　 ；（用文字语言填空）
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 　 　 ；（用数学符号语言填空）
③小明同学的解题过程中，从第 　 　 步开始出现错误，错误的原因是 　 　 ．
任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：4x2﹣12x﹣2＝0．
21.2.1 配方法
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 淮阴区期末）用配方法解方程x2﹣2x＝0时，配方后所得的方程是（　　）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝1 C．（x﹣1）2＝﹣1 D．（x+1）2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】把方程左边化为完全平方式即可．
【解答】解：x2﹣2x＝0
两边加1得，x2﹣2x+1＝0+1，
即：（x﹣1）2＝1．
故选：B．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解答此题最重要的一步是在等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
2．（2025春 霍邱县期中）把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　）
A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
则x2﹣6x+9＝1+9，即（x﹣3）2＝10，
∴m＝﹣3，n＝10，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
3．（2025春 滨江区期中）用配方法解方程时，变形结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
【解答】解：∵x2x﹣1＝0，
∴x2x＝1，
则x2x1，即（x）2，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
4．（2024秋 朔州期中）下列用配方法解方程3x2﹣x﹣9＝0的步骤中，开始出现错误的是（　　）
第①步：3x2﹣x＝9，
第②步：，
第③步：，
第④步：．
A．第①步 B．第2步 C．第③步 D．第④步
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】按照配方法的步骤逐步分析即可．
【解答】解：第③步出现错误，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、右两边应同时加上，
故选：C．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
5．（2024秋 微山县期中）用配方法解方程3x2﹣2x＝4x+4，配方后得到的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先把4x移到方程左边，再把方程两边除以3，然后把方程两边加上1，最后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：3x2﹣2x＝4x+4，
3x2﹣6x＝4，
x2﹣2x，
x2﹣2x+11，
（x﹣1）2．
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
6．（2024春 西湖区期中）《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+6）＝16的方程的正数解，方法为：如图，将四个长为x+6，宽为x的长方形纸片（面积为16）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为16×4+36＝100，边长为10，故得x（x+6）＝16的正数解为x2．小明用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为14，小正方形的面积为4，则（　　）
A．m＝2，n＝3 B．m，n＝2
C．m，n＝2 D．m＝2，n
【考点】解一元二次方程﹣配方法；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把方程变形得到x（x+m）＝n，设图中长方形的长为（x+m），宽为x，面积为n，则图中小正方形的边长为x+m﹣x＝m＝2，面积为，据此可得答案．
【解答】解：∵x2+mx﹣n＝0，
∴x（x+m）＝n，
∴图中长方形的长为（x+m），宽为x，面积为n，
∴图中小正方形的边长为x+m﹣x＝m，m2，
n，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
7．（2024秋 泗县月考）老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式，用配方法求解一元二次方程，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，…，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（　　）
A．小明 B．小丽 C．小红 D．小亮
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先用配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学．
【解答】解：2x2﹣20x+25＝0，
方程左右两边同时除以2可得：，故小明正确；
由等式的性质可得，故小丽正确；
所以，
（x﹣5）225，
，
故小红负责的式子出现错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2024秋 灵武市期末）用配方法将方程x2﹣4x+1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m＝ 　3　 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】根据配方法将题目中的方程变形，然后即可得到m的值．
【解答】解：∵x2﹣4x+1＝0，
∴x2﹣4x＝﹣1，
∴x2﹣4x+22＝﹣1+22，
∴（x﹣2）2＝3，
∴用配方法将方程x2﹣4x+1＝0变形为（x﹣2）2＝m，m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法将题目中的方程变形．
9．（2024秋 宿城区期末）用配方法解一元二次方程x2+8x+7＝0，则方程可化为　（x+4）2＝9　 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果．
【解答】解：方程移项得：x2+8x＝﹣7，
配方得：x2+8x+16＝9，即（x+4）2＝9．
故答案为：（x+4）2＝9．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（2024秋 蓬江区校级月考）若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝8，则c的值为 　1　 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】把常数项c移项后，在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方得（x+3）2＝﹣c+9，可得8＝﹣c+9，解方程即可得c的值．
【解答】解：x2+6x+c＝0，
x2+6x＝﹣c，
x2+6x+9＝﹣c+9，
（x+3）2＝﹣c+9．
∵（x+3）2＝8，
∴8＝﹣c+9，解得c＝1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
11．（2023秋 常州期末）如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　3　 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】用配方法求解即可．
【解答】解：x2+6x＝40，
x2+6x+9＝40+9，
（x+3）2＝49，
∴m＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
12．（2023秋 于都县期末）下面是用配方法解关于x的一元二次方程3x2+x﹣2＝0的具体过程，3x2+2x﹣1＝0．
解：第一步：x2x0
第二步：x2x
第三步：x2x+（）2（）2
第四步：（x）2∴x±∴x1，x2＝﹣1
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是 　④①③②　 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】④①③②．
【分析】把二次项系数化为1以后，把常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解．
【解答】解：3x2+2x﹣1＝0，
把二次项系数化1得：x2x0，
移项得：x2x，
配方得：x2x+（）2（）2，即（x）2，
开方得：x±，
解得：x1，x2＝﹣1，
故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②，
故答案为：④①③②．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 兰州校级模拟）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣5＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝1，x2＝1．
【分析】先利用配方法得到（x﹣1）2，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：2x2﹣4x﹣5＝0，
x2﹣2x，
x2﹣2x+11，
（x﹣1）2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
14．（2025 宁江区一模）阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程x2+6x﹣4＝0的过程如下：
解：x2+6x﹣4＝0
x+6x＝4……①
x2+6x+9＝4……②
（x+3）2＝4……③
x1＝1，x2＝﹣5……④
（1）上述解答过程中，从第 　②　 步开始出现了错误（填序号）；
（2）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元一次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察解答过程可得答案；
（2）用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）从②开始出现了错误，发生错误的原因是：等号右边没有加9；
故答案为：②；
（2）移项得：x2+6x＝4，
配方得：x2+6x+9＝4+9，即（x+3）2＝13，
∴，
∴或，
∴，．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
15．（2024秋 邓州市期末）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：3x2+12x﹣6＝0
二次项系数化为1，得x2+4x﹣2＝0……第一步
移项，得x2+4x＝2……第二步
配方，得x2+4x+4＝2+4，即（x+2）2＝6……第三步
由此，可得第四步
所以，第五步
任务一、填空：
①“第二步”变形的数学依据是 　等式的基本性质　 ；（用文字语言填空）
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 　a2+2ab+b2＝（a+b）2　 ；（用数学符号语言填空）
③小明同学的解题过程中，从第 　四　 步开始出现错误，错误的原因是 　没有正确运用平方根的意义　 ．
任务二、请你也运用配方法解一元二次方程：4x2﹣12x﹣2＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；平方根；完全平方公式；等式的性质．
【专题】实数；整式；一次方程（组）及应用；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】任务一：①等式的基本性质；②a2+2ab+b2＝（a+b）2；③四；没有正确运用平方根的意义；
任务二：，．
【分析】任务一：①利用等式的基本性质作答即可；②利用完全平方公式作答即可；③利用平方根意义作答即可；
任务二：配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：任务一：①“第二步”变形的数学依据是等式的基本性质；
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是 a2+2ab+b2＝（a+b）2；
③小明同学的解题过程中，从第 四步开始出现错误，错误的原因是没有正确运用平方根的意义．
故答案为：①等式的基本性质；或填 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式
②a2+2ab+b2＝（a+b）2，③四，没有正确运用平方根的意义；
任务二：解：原方程可化为：4x2﹣12x﹣2＝0，
配方得：，即 ，
∴，
∴ 或．
【点评】本题考查等式的性质，完全平方公式，平方根意义，配方法解一元二次方程等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
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