21.2.2 公式法 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.2.2公式法
一．选择题（共7小题）
1．（2024 垦利区模拟）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
2．（2024秋 费县校级月考）关于x的一元二次方程bx2﹣cx﹣a＝0（b≠0）的解是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024春 桥西区期末）利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023秋 忠县期末）若关于x的方程有唯一解，则该解应在（　　）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
5．（2023 天水模拟）定义一种运算：m※n＝m2﹣2mn﹣n2，例如2※3＝22﹣2×2×3﹣32＝4﹣12﹣9＝﹣17，若x※2＝﹣4，则正数x的值为（　　）
A．0 B．0或4 C．3 D．4
6．（2025 长春模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥4 B．k＞4 C．k＜4且k≠0 D．k＜4
7．（2025 淄博二模）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2
二．填空题（共5小题）
8．（2025 宜兴市二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝m有两个不相等实数根，则m的值可能是 　 　 ．（只需写出一个即可）
9．（2025春 淮阴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　 ．
10．（2024秋 嘉定区校级期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 　 　 ．
11．（2024秋 龙川县期中）定义新运算：a b＝（a+b）（a﹣2b），例如：2 3＝（2+3）（2﹣2×3）＝﹣20．若（x﹣1） （2x+1）＝0，则x的值为 　 　 ．
12．（2024秋 新城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，当y＞0时，a的取值范围为　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 怀宁县期中）根据下列条件，求代数式的值．
（1）a＝1，b＝8，c＝﹣4；
（2）a＝3，b＝﹣6，c＝2．
14．（2024秋 永川区期末）解方程：
（1）x2﹣6x+9＝0；
（2）3x2+5x+1＝0．
15．（2025春 呈贡区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣4＝0．
（1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，m取最小的整数时求方程的解．
21.2.2公式法
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2024 垦利区模拟）如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
2．（2024秋 费县校级月考）关于x的一元二次方程bx2﹣cx﹣a＝0（b≠0）的解是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的求根公式即可解答．
【解答】解：由题意得，，
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的求根公式是解题的关键．
3．（2024春 桥西区期末）利用公式解可得一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，则a的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】利用公式法即可求解．
【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
∴，
∵一元二次方程式2x2﹣4x﹣1＝0的两解为a、b，且a＞b，
∴a的值为．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．
4．（2023秋 忠县期末）若关于x的方程有唯一解，则该解应在（　　）
A．7和8之间 B．6和7之间 C．5和6之间 D．4和5之间
【考点】解一元二次方程﹣公式法；估算无理数的大小．
【专题】配方法；一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由方程有唯一解知能配成完全平方式，利用配方法将方程配方得0，再根据估算无理数大小的方法即可作出选择．
【解答】解：∵关于x的方程有唯一解，
∴能配成完全平方式，
∵，
∴，
∴0，
∴关于x的方程的唯一解为x，
∵，
∴该解在7和8之间．
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程﹣配方法、估算无理数的大小，由方程有唯一解可知该方程可用配方法求解，以此得出该解是解题关键．
5．（2023 天水模拟）定义一种运算：m※n＝m2﹣2mn﹣n2，例如2※3＝22﹣2×2×3﹣32＝4﹣12﹣9＝﹣17，若x※2＝﹣4，则正数x的值为（　　）
A．0 B．0或4 C．3 D．4
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意列式为x2﹣4x﹣4＝﹣4，整理后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：由题意得x2﹣4x﹣4＝﹣4，
整理得：x2﹣4x＝0，
因式分解得：x（x﹣4）＝0，
解得：x＝0或x＝4，
则正数x的值为4，
故选：D．
【点评】本题考查解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
6．（2025 长春模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥4 B．k＞4 C．k＜4且k≠0 D．k＜4
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，
解得k＜4．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
7．（2025 淄博二模）关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜4 B．m≤4 C．m＜4且m≠2 D．m≤4且m≠2
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝16﹣8（m﹣2）＞0且m﹣2≠0，
解得m＜4且m≠2，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，熟知以上知识是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 宜兴市二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝m有两个不相等实数根，则m的值可能是 　0（答案不唯一）　 ．（只需写出一个即可）
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】0（答案不唯一）．
【分析】由题意可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，计算即可得解．
【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＞0，
解得：m＞﹣1，
∴m的值可能是0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①Δ＞0，方程有两个不相等的实数根，②Δ＝0，方程有两个相等的实数根，③Δ＜0，方程没有实数根是解题的关键．
9．（2025春 淮阴区期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜4　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k＜4．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝b2﹣4ac＝16+4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4k＞0，
解得，k＜4．
故答案为：k＜4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
10．（2024秋 嘉定区校级期中）若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为 　2x2+3x+1＝0（本题答案不唯一）　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2x2+3x+1＝0（本题答案不唯一）．
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若其有实数根，那么其实数根为，据此结合题意得到a＝2k，b＝3k，c＝k，即可写出一个一元二次方程，如果各项系数同时扩大或者缩小相同的倍数也是符合题意的．
【解答】解：∵一元二次方程的根为，
∴a＝2k，b＝3k，c＝k，
∴当k＝1时，该一元二次方程可以为2x2+3x+1＝0，
故答案为：2x2+3x+1＝0（本题答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出符合题意的方程．
11．（2024秋 龙川县期中）定义新运算：a b＝（a+b）（a﹣2b），例如：2 3＝（2+3）（2﹣2×3）＝﹣20．若（x﹣1） （2x+1）＝0，则x的值为 　0或﹣1　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0或﹣1．
【分析】根据题意列得方程并解方程即可．
【解答】解：由题意得（x﹣1+2x+1）[x﹣1﹣2（2x+1）]＝0，
整理得：3x（﹣3x﹣3）＝0，
即x（x+1）＝0，
解得：x＝0或x＝﹣1，
故答案为：0或﹣1．
【点评】本题考查解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
12．（2024秋 新城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2＝0（a＞0），设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于a的函数，且y＝x1﹣ax2，当y＞0时，a的取值范围为　0＜a＜3　 ．
【考点】解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】0＜a＜3．
【分析】利用一元二方程的求根公式求出两根，即可得出结论．
【解答】解：Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）＝4＞0，
由求根公式，得，
∴x＝1或，
∵a＞0，x1＞x2，
∴x1＝1，，
∴，
解得a＜3，
∴0＜a＜3，
故答案为：0＜a＜3．
【点评】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 怀宁县期中）根据下列条件，求代数式的值．
（1）a＝1，b＝8，c＝﹣4；
（2）a＝3，b＝﹣6，c＝2．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；二次根式的性质与化简．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】把各自的字母值代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝8，c＝﹣4时，原式4+2；
（2）当a＝3，b＝﹣6，c＝2时，原式1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2024秋 永川区期末）解方程：
（1）x2﹣6x+9＝0；
（2）3x2+5x+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝x2＝3；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法求解；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣3）2＝0，
解得：x1＝x2＝3；
（2）a＝3，b＝5，c＝1，
则b2﹣4ac＝25﹣4×3×1＝13＞0，
∴，
解得：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
15．（2025春 呈贡区校级期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣4＝0．
（1）当方程有两个实数根时，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，m取最小的整数时求方程的解．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m且m≠0；
（2）1和1．
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可列出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）结合（1）可得出m＝1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣4＝0有两个实数根，
∴，
解得：m且m≠0，
∴m的取值范围为m且m≠0；
（2）∵m且m≠0，且m取最小的整数，
∴m＝1，
∴此时原方程为x2﹣2x﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20，
解得：x11，x21，
∴在（1）的条件下，m取最小的整数时求方程的解为1和1．
【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于m的一元一次不等式组；（2）熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤．
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