21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 诸暨市期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣4m2＝0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．7 D．﹣7
2．（2025春 慈溪市期末）若非零实数b，c满足b2＝4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之差必为（　　）
A．﹣b B．c C．b+c D．0
3．（2025春 鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）．下列说法中正确的有（　　）
①若a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0有一个根是1；
②若方程的两根为﹣1和2，则有2a+c＝0成立；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则有ac+b+1＝0成立．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2025春 仓山区期末）设m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
5．（2025 武安市二模）已知x1＝﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的一个解，该方程的另一个解为x2，则下列说法正确的是（　　）
A．b﹣c＝﹣1 B．b2≤4c C．b＝1﹣x2 D．c＝x2
6．（2025 丛台区校级三模）已知关于x的一元二次方程﹣x2+4ax+4＝0，以下不正确的是（　　）
A．此方程必有实数根
B．若方程有一个根为2，则另一个根为﹣2
C．两根之积为﹣4
D．两根之和为﹣4
7．（2025 克什克腾旗一模）定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程的两根，则b★b﹣a★a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 红谷滩区校级期末）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x1x2+x2＝ 　 　 ．
9．（2025春 鼓楼区校级期末）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则m+n的值为 　 　 ．
10．（2025 慈利县一模）已知方程x2﹣3x+1＝0的两根是m、n，则代数式（m+1）（n+1）的值为 　 　 ．
11．（2025春 肥城市期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则该方程的另一个根为 　 　 ．
12．（2025 烟台模拟）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 昌平区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣3＝0有两个不相等实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根．
14．（2025 和平区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值．
15．（2025春 高青县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足，求m的值．
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 诸暨市期末）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣4m2＝0的两个不同实数根，则x1+x2的值是（　　）
A．﹣4 B．4 C．7 D．﹣7
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据ax2+bx+c＝0二根之和为即可得到答案．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣7x﹣4m2＝0的两个不同实数根，
∴x1+x27；
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
2．（2025春 慈溪市期末）若非零实数b，c满足b2＝4c，则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之差必为（　　）
A．﹣b B．c C．b+c D．0
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ＝0，则可判断方程有两个相等的实数根，从而确定关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之差必为0．
【解答】解：∵b2＝4c，
∴Δ＝b2﹣4c＝4c﹣4c＝0，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根之差必为0．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，灵活运用根的判别式的意义是解决问题的关键．
3．（2025春 鼓楼区校级期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）．下列说法中正确的有（　　）
①若a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0有一个根是1；
②若方程的两根为﹣1和2，则有2a+c＝0成立；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则有ac+b+1＝0成立．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】当x＝1时，a+b+c＝0，则方程ax2+bx+c＝0有一个根是1；可判断①的正误；由方程的两根为﹣1和2，可得，即2a+c＝0，可判断②的正误；由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，可得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0，由ac≠0，可得a≠0，c≠0，则ac+b+1＝0，可判断③的正误．
【解答】解：当x＝1时，a+b+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0有一个根是1；正确，故①符合要求；
∵方程的两根为﹣1和2，
∴，即2a+c＝0，正确，故②符合要求；
∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
∴ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0，
∵ac≠0，
∴a≠0，c≠0，
∴ac+b+1＝0，正确，故③符合要求；
关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0），说法中正确的有①②③共3个，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
4．（2025春 仓山区期末）设m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到m2＝﹣m+2025，则m2+2m+n可化为2025+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣2025＝0的根，
∴m2+m﹣2025＝0，
∴m2＝﹣m+2025
∴m2+2m+n＝﹣m+2025+2m+n＝2025+m+n，
∵m，n是方程x2+x﹣2025＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2025﹣1＝2024．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解．
5．（2025 武安市二模）已知x1＝﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的一个解，该方程的另一个解为x2，则下列说法正确的是（　　）
A．b﹣c＝﹣1 B．b2≤4c C．b＝1﹣x2 D．c＝x2
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程解的定义可对A选项进行判断；根据根的判别式的意义可对B选项进行判断；利用根与系数的关系可对C、D选项进行判断．
【解答】解：∵x1＝﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的一个解，
∴1﹣b+c＝0，
∴b﹣c＝1，所以A选项不符合题意；
∵关于x的方程x2+bx+c＝0有2个解，
∴Δ＝b2﹣4c≥0，
即b2≥4c，所以B选项不符合题意；
∵x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个解，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，
∴b＝1﹣x2，所以C选项符合题意；
c＝﹣x2，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了一元二次方程的解．
6．（2025 丛台区校级三模）已知关于x的一元二次方程﹣x2+4ax+4＝0，以下不正确的是（　　）
A．此方程必有实数根
B．若方程有一个根为2，则另一个根为﹣2
C．两根之积为﹣4
D．两根之和为﹣4
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】先把二次项系数化为正系数，再计算根的判别式的值，则可对A选项进行判断；根据根与系数的关系可对B、C、D选项．
【解答】解：方程化为x2﹣4ax﹣4＝0，
∵Δ＝（﹣4a）2﹣4×（﹣4）＝16a2+16＞0，
∴方程有两个不相等的实数解，所以A选项的说法正确；
∵方程的两根之积为4，
∴若方程有一个根为2，则另一个根为﹣2，所以B、C选项的说法正确；
方程的两根之和为4a，所以D选项的说法错误．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式和一元二次方程的解．
7．（2025 克什克腾旗一模）定义运算：a★b＝a（1﹣b）．若a，b是方程的两根，则b★b﹣a★a的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【考点】根与系数的关系．
【专题】新定义；判别式法；应用意识．
【答案】A
【分析】由根与系数的关系可找出a+b＝1，根据新运算找出b b﹣a a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a），将其中的1替换成a+b，即可得出结论．
【解答】解：∵a，b是方程x2﹣xm＝0（m＜0）的两根，
∴a+b＝1，
∴b★b﹣a★a＝b（1﹣b）﹣a（1﹣a）＝b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）＝ab﹣ab＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a+b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 红谷滩区校级期末）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则x1+x1x2+x2＝ 　2　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【答案】2．
【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝﹣1，
所以x1+x1x2+x2＝ 3+（﹣1）＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
9．（2025春 鼓楼区校级期末）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则m+n的值为 　2　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴m+n2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1 x2．
10．（2025 慈利县一模）已知方程x2﹣3x+1＝0的两根是m、n，则代数式（m+1）（n+1）的值为 　5　 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，再把（m+1）（n+1）展开，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，
所以（m+1）（n+1）＝mn+m+n+1＝1+3+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
11．（2025春 肥城市期中）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则该方程的另一个根为 　x＝﹣1　 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x＝﹣1．
【分析】把x＝0代入方程先确定a的值，再求解一元二次方程（或利用根与系数的关系）得结论．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0，
得a2﹣1＝0．
∴a＝±1．
当a＝1时，方程不是一元二次方程，不合题意．
∴a＝﹣1．
当a＝﹣1时，﹣2x2﹣2x＝0．
∴﹣2x（x+1）＝0，
∴x＝0或x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的解法、根与系数的关系等知识点是解决本题的关键．
12．（2025 烟台模拟）若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 　6　 ．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用一元二次方程的解，可得出m2+3m＝9，利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣3，再将其代入m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）中，即可求出结论．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的根，
∴m2+3m﹣9＝0，
∴m2+3m＝9．
∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）＝9﹣3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 昌平区期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m﹣3＝0有两个不相等实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x＝﹣2是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m＜2；
（2），x＝0．
【分析】（1）根据方程x2+2x+2m﹣3＝0有两个不相等实数根，可知Δ＞0，然后即可求得m的取值范围；
（2）将x＝﹣2代入题目中的方程，可以求得m的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根．
【解答】解：（1）∵方程x2+2x+2m﹣3＝0有两个不相等实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（2m﹣3）＞0，
解得m＜2；
（2）∵x＝﹣2是方程x2+2x+2m﹣3＝0的一个根，
∴4﹣4+2m﹣3＝0，
解得，
∴方程为x2+2x＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝0，
∴方程的另一个根是x＝0．
【点评】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
14．（2025 和平区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围：
（2）若x1、x2是该方程的两个根，且满足，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m；
（2）m＝1．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，结合x1x2+x1+x2＝m2+6，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＝8m﹣4≥0，
解得：m，
∴实数m的取值范围为m；
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，
∵x1x2+x1+x2＝m2+6，
∴﹣2m+5+4＝m2+6，
整理得：m2+2m﹣3＝0，
解得：m1＝﹣3（不符合题意，舍去），m2＝1，
∴m的值为1．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系及x1x2+x1+x2＝m2+6，找出关于m的一元二次方程．
15．（2025春 高青县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m；（2）﹣1．
【分析】（1）利用判别式得到Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1变形得到x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0，
解得m；
（2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4，
∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，
∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1，
∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）．
故m的值是﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1 x2．也考查了根的判别式．
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