22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+ k的图象和性质 同步练习（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

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22.1.3 二次函数y=a（x-h） + k的图象和性质
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 长沙期末）抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　）
A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
2．（2025 柯城区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），下列说法正确的是（　　）
A．
B．当x＝﹣2时，二次函数有最小值为3
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0
3．（2025 南岗区校级四模）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025春 鼓楼区校级月考）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．当x＝2时，y有最大值1
C．对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
5．（2025 潍坊二模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
6．（2024秋 沧州期末）二次函数y＝﹣3（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上、直线x＝4，（4，5）
B．向上、直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向下、直线x＝4，（4，﹣5）
D．向下、直线x＝﹣4，（﹣4，5）
7．（2025 鼓楼区校级一模）将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3
二．填空题（共5小题）
8．（2025 惠山区三模）某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点（1，﹣3），请写出一个符合上述条件的函数表达式：　 　 ．
9．（2024秋 洪洞县期末）顶点是（2，0），且与抛物线y＝﹣3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为　 　 ．
10．（2024秋 都安县期末）抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线　 　 ．
11．（2025 南关区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点与点O之间的距离为　 　 ．
12．（2024秋 集贤县期末）已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x　 　 时，y随x的增大而减小．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 宁波模拟）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）用含a的代数式分别表示b，c；
（2）当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a，求k的取值范围．
14．（2024春 开福区校级期末）如图，抛物线y（x﹣2）2的顶点为A，与y轴交于点C．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若CD∥x轴交抛物线于另一点D，求CD的长．
15．（2024秋 黄石港区校级月考）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）试判断△ABD的形状，并说明理由，且求S△ABD；
（3）若点Q是直线BD上方抛物线上的一个动点，则S△BDQ的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由．
22.1.3 二次函数y=a（x-h） + k的图象和性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 长沙期末）抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（　　）
A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5）
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】由抛物线解析式求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5，
∴抛物线顶点为（1，5），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
2．（2025 柯城区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），下列说法正确的是（　　）
A．
B．当x＝﹣2时，二次函数有最小值为3
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
D．当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】D
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），可以得到a、b的值，然后根据二次函数的性质即可判断各个选项中的说法是否正确，即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），
∴2，4a﹣2b+3＝﹣1，
解得a＝1，b＝4，故选项A错误，不符合题意；
当x＝﹣2时，二次函数有最小值为﹣1，故选项B错误，不符合题意；
当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意；
由上可得，y＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3），
∴当y＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3，
∴当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．（2025 南岗区校级四模）抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据顶点式直接写出抛物线的顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线的顶点坐标是（﹣2，），
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度较小．
4．（2025春 鼓楼区校级月考）对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+1，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下
B．当x＝2时，y有最大值1
C．对称轴为直线x＝﹣2
D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】C
【分析】根据解析式y＝﹣（x﹣2）2+1，可判定抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，当x＝2时，y有最大值1，当x＜2时，y随x的增大而增大，解答即可．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+1中a＝﹣1＜0，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，
∴当x＝2时，y有最大值1，当x＜2时，y随x的增大而增大，
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
5．（2025 潍坊二模）如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象所在坐标系的原点是（　　）
A．点O1 B．点O2 C．点O3 D．点O4
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】由函数解析式可知函数的对称轴，即可求解．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0），
∴对称轴为直线x1，
所以点O2是原点；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键．
6．（2024秋 沧州期末）二次函数y＝﹣3（x+4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　）
A．向上、直线x＝4，（4，5）
B．向上、直线x＝﹣4，（﹣4，5）
C．向下、直线x＝4，（4，﹣5）
D．向下、直线x＝﹣4，（﹣4，5）
【考点】二次函数的性质；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；符号意识．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣3（x+4）2+5，
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（2025 鼓楼区校级一模）将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4
C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3
【考点】二次函数的三种形式．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】依据题意，由二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3，
∴二次函数为y＝x2﹣2x+4化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的三种形式，解题时要能熟练掌握并能灵活运用配方法转化为顶点式是关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 惠山区三模）某二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点（1，﹣3），请写出一个符合上述条件的函数表达式：　y＝﹣x2﹣2（答案不唯一）　 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】y＝﹣x2﹣2（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数图象开口向下，可知a＜0，再根据顶点在y轴上，且经过点（1，﹣3），可以写出一个符合要求的函数解析式．
【解答】解：∵二次函数图象开口向下，顶点在y轴上，且经过点（1，﹣3），
∴这个函数解析式可以为y＝﹣x2﹣2，
故答案为：y＝﹣x2﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
9．（2024秋 洪洞县期末）顶点是（2，0），且与抛物线y＝﹣3x2的形状、开口方向都相同的抛物线的解析式为　y＝﹣3（x﹣2）2　 ．
【考点】二次函数的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：由题意可得抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣2）2．
故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
10．（2024秋 都安县期末）抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线　x＝﹣1　 ．
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】x＝﹣1．
【分析】二次函数y＝（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，据此即可解答．
【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数y＝（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h．
11．（2025 南关区模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点与点O之间的距离为　　 ．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】．
【分析】利用顶点式求得顶点坐标，然后利用勾股定理求得即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3），
∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点与点O之间的距离为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，利用抛物线的顶点式求得顶点坐标是解题的关键．
12．（2024秋 集贤县期末）已知抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，当x　＞1　 时，y随x的增大而减小．
【考点】二次函数的性质．
【专题】函数及其图象．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次函数的性质求解．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），对称轴为直线x＝1；
当x＞1时，y随x增大而减小．
故答案为：＞1
【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记其y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 宁波模拟）关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（3，0）．
（1）用含a的代数式分别表示b，c；
（2）当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a，求k的取值范围．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）b＝﹣2a，c＝﹣3a
（2）当a＞0时，k≤0或k≥3；当a＜0时，1≤k≤2
【分析】（1）将（﹣1，0），（3，0）代入表达式求出结论即可；
（2）先求出y＝ax2﹣2ax﹣3a，根据题意得出a（x2﹣2x）≥0，再分情况：当a＞0时或当a＜0时分别求出即可．
【解答】解：（1）由题意可得：，
∴，
∴b＝﹣2a，c＝﹣3a；
（2）∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y≥﹣3a，
∴ax2﹣2ax﹣3a≥﹣3a，
∴a（x2﹣2x）≥0，
当a＞0时，x2﹣2x≥0，
解得：x≤0或x≥2，
∵当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a，
∴k≤0或k﹣1≥2，
∴k≤0或k≥3；
当a＜0时，x2﹣2x≤0，
解得：0≤x≤2
∵当k﹣1≤x≤k时，总有y≥﹣3a，
∴，
∴1≤k≤2；
综上所述，k的取值范围是当a＞0时，k≤0或k≥3；当a＜0时，1≤k≤2．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键．
14．（2024春 开福区校级期末）如图，抛物线y（x﹣2）2的顶点为A，与y轴交于点C．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若CD∥x轴交抛物线于另一点D，求CD的长．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点A坐标，令x＝0，y＝﹣1，可得C点坐标；
（2）根据轴对称的性质求得D的坐标，即可求得CD的长．
【解答】解：（1）∵y（x﹣2）2，
∴A（2，0），
抛物线y（x﹣2）2的与y轴的交于点C，
令x＝0得y＝﹣1．
∴C（0，﹣1）；
（2）∵A（2，0），
∴对称轴为直线x＝2，
∴C的对称点为（4，﹣1），
∵CD∥x轴交抛物线于另一点D，
∴D（4，﹣1），
∴CD＝4﹣0＝4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
15．（2024秋 黄石港区校级月考）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）试判断△ABD的形状，并说明理由，且求S△ABD；
（3）若点Q是直线BD上方抛物线上的一个动点，则S△BDQ的面积有最大值吗？若有最大值，请求出最大值，若没有最大值，说明理由．
【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4
（2）△ABD是直角三角形，S△ABD＝3；
（3）当时，的面积有最大值．
【分析】（1）设抛物线顶点式解析式y＝a（x﹣1）2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；
（2）令y＝0，解方程得出点C，D坐标，AB、AD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理得到△ABD是直角三角形，利用三角形面积公式即可求解；
（3）先求得直线BD的解析式，作QG∥y轴交BD于点G，设Q（t，﹣t2+2t+3），则G（t，﹣t+3），利用三角形面积公式得到，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，4），
∴设抛物线的解析式y＝a（x﹣1）2+4，
把点B（0，3）代入得，a+4＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
（2）△ABD是直角三角形，理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；
令y＝0，则0＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴C（﹣1，0），D（3，0）；
∵A（1，4），B（0，3），
∴，，，
∴AB2+BD2＝AD2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD＝90°，
∴；
（3）S△BDQ的面积有最大值，理由如下：
设直线BD的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+3，
设Q（t，﹣t2+2t+3），其中0＜t＜3，
过点Q作QG∥y轴交BD于点G，
∴G（t，﹣t+3），
∴GQ＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的勾股定理，铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
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